n questo appunto vedremo quali caratteristiche ha la legge di sopravvivenza esponenziale nel descrivere la distribuzione di probabilità del tempo di vita di un componente. Prima di procedere, si consiglia la lettura del seguente link per una infarinatura dei concetti base dell’affidabilità da un punto di vista statistico.

In questo appunto vedremo:

Legge di sopravvivenza esponenziale. Formula e caratteristiche

In generale, nella statistica dei modelli di affidabilità, la legge di sopravvivenza descrive come varia nel tempo la probabilità che il componente sia ancora funzionante. La legge esponenziale che descriviamo in questo paragrafo è uno dei modelli più semplici di legge di sopravvivenza ed è rappresentata dalla forma:

v(t) = e^{-\lambda(t) t}

dove lambda è la funzione che rappresenta la rate di fallimento istantanea (a volte detta funzione di rischio o hazard function in inglese) e t è una variabile definita solo per valori positivi o nulli (t maggiore o uguale di 0). Nel caso della legge esponenziale, la funzione lambda è una funzione costante nel tempo. Ovvero:

\lambda (t) = \lambda_{0} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ v(t) = e^{-\lambda_{0}t}

la caratteristica di avere una funzione di rischio costante nel tempo ha un impatto importante sulla memoria della funzione. Vedremo in dettaglio questo concetto in uno dei successivi paragrafi. Ricaviamo adesso la funzione densità di probabilità di fallimento i(t) definita come il negativo della derivata della funzione di sopravvivenza nel tempo:

i(t) = -\frac{dv}{dt} = - \frac{d(e^{-\lambda_{0}t})}{dt} = \lambda_{0}e^{-\lambda_{0}t}

Rappresentiamo graficamente le due funzioni. Partiamo dalla rappresentazione della funzione v(t) per diversi valori di lambda. Abbiamo:

come previsto all’aumentare del valore della costante di rischio λ tanto più velocemente la funzione v(t) decade a zero. Invece per la i(t) abbiamo:

All’aumentare del fattore di rischio, la densità di probabilità i(t) parte da un valore più alto al tempo t=0 ma decresce più velocemente all’aumentare di t. Vediamo adesso nei prossimi paragrafi quali sono i valori del valore atteso e della varianza per questa legge di sopravvivenza

Valore atteso del tempo di vita della legge esponenziale

Per calcolare il valore atteso del tempo di vita della densità di probabilità della legge esponenziale, applichiamo la regola generale che il valore atteso del tempo di vita di un componente è dato dall’integrale della sua legge di sopravvivenza [qui dimostrazione]:

\overline{T}=E[T] =  \int_{0}^{+\infty}v(t) dt =  \int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda_{0}t} dt = -\frac{1}{\lambda_{0}} [e^{-\lambda_{0}t}]_{0}^{+\infty} =  -\frac{1}{\lambda_{0}} [0-1] = \frac{1}{\lambda_{0}}

dunque il valore atteso del tempo di vita di un componente è pari all’inverso del fattore di rischio lambda. Maggiore sarà il fattore di rischio e minore sarà il tempo di vita atteso. Vediamo graficamente questo andamento riprendendo il grafico della funzione v(t).

Varianza della legge esponenziale

Abbiamo visto che la varianza può essere espressa con la seguente formula generale [qui dimostrazione]::

\sigma^{2}_{T} = E[T^{2}]-E[T]^{2} = 2\int_{0}^{+\infty} tv(t)dt - \left[ \int_{0}^{+\infty} v(t)dt\right]^{2}

il secondo termine, quello nella parentesi quadra, lo abbiamo calcolato nel paragrafo precedente e risultava essere pari all’inverso del fattore di rischio. Calcoliamo il primo termine integrando per parti:

2\int_{0}^{+\infty} tv(t)dt = 2\int_{0}^{+\infty} te^{-\lambda_{0}t} = 2\left[ -\frac{t}{\lambda_{0}} e^{-\lambda_{0}t}\right]_{0}^{+\infty}-2\int_{0}^{+\infty}-\frac{e^{-\lambda_{0}t}}{\lambda_{0}}dt = \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\= 0+\frac{2}{\lambda_{0}}\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda_{0}t}dt = \frac{2}{\lambda_{0}^{2}}

possiamo calcolare adesso la varianza:

\sigma^{2}_{T} = E[T^{2}]-E[T]^{2} = 2\int_{0}^{+\infty} tv(t)dt - \left[ \int_{0}^{+\infty} v(t)dt\right]^{2} = \frac{2}{\lambda_{0}^{2}} - \frac{1}{\lambda_{0}^{2}} =\frac{1}{\lambda_{0}^{2}}

abbiamo dunque ottenuto che la varianza è inversa del quadrato del fattore di rischio.

Proprietà di assenza di memoria

La peculiarità della legge di sopravvivenza esponenziale è l’assenza di memoria, ovvero:

P(T>t+t_{0}|T>t) = P(T>t_{0})

la probabilità che la vita del dispositivo sia maggiore del tempo t+t0 sapendo che oltre il tempo t funzionava è uguale alla probabilità che la vita del dispositivo sia maggiore del tempo t0. In parole povere, con il passare del tempo, se il dispositivo non si è guastato, la funzione che descrive la probabilità che si guasti non cambia nel tempo!

Legge di sopravvivenza esponenziale