Le funzioni seno e la funzione coseno, così come tutte le funzioni trigonometriche, sono fortemente utilizzate per spiegare il comportamento di tutti i fenomeno oscillatori. Le onde del mare, la vibrazione della corda di un violino, la propagazione della luce o della corrente elettrica, la temperatura di un corpo, sono tutti fenomeni che sono stati studiati e spiegati grazie all’uso delle funzioni trigonometriche.
Seno e coseno su circonferenza goniometrica
Cerchiamo di capire il significato di queste funzioni innanzitutto visualizzandone. Consideriamo una circonferenza goniometrica di raggio unitario e ammettiamo che il raggio vettore formi un angolo α con l’asse delle x:
Viene definito coseno di un angolo alfa, la proiezione del raggio vettore della circonferenza goniometrica sull’asse delle ascisse (asse orizzontale) quando esso forma un angolo alfa proprio con tale asse. Nelle stesse condizioni, si definisce seno dell’angolo alfa, la proiezione di tale raggio vettore sull’asse delle ordinate (asse verticale). In figura il coseno rappresenta la lunghezza del segmento verde, mentre il seno la lunghezza del segmento rosso.
Seno e coseno: andamenti oscillatori
Entrambe le funzioni possono assumere dei valori compresi tra -1 e 1. Immaginando il raggio vettore percorrere la circonferenza goniometrica in senso antiorario da 0° a 360° , il coseno passerà dal valore 1 al valore -1 e dal valore -1 ancora al valore 1, mentre il seno dal valore 0 a 1, da 1 a -1 e da -1 a 0. Percorrendo la circonferenza con un secondo giro i valori non cambierebbero:
In figura è possibile osservare i differenti valori che la funzione seno può assumere al variare dell’angolo sotteso tra il raggio vettore e l’asse delle ascisse. Se il raggio vettore si muovesse con velocità costante lungo la circonferenza allora vedremmo i valori delle due funzioni trigonometriche oscillare tra -1 e 1 proprio come farebbe un pendolo o la corda di un violino.
Non è semplice calcolare il valore del seno e del coseno per un angolo arbitrario ed in genere, per la risoluzione dei problemi, è conveniente memorizzare il seno ed il coseno di alcuni angoli particolari.
0°, 90°,180°, 270°, 360°
Per gli angoli 0°, 180° e 360° il raggio vettore è completamente poggiato sull’asse delle x per cui la sua proiezione con l’asse delle ascisse coincide con se stesso. Allora il segmento sarà lungo in modulo proprio quanto il raggio vettore ovvero 1. Nel caso specifico di 180° però, il raggio vettore punta nella direzione negativa dell’asse delle ascisse per cui il valore del coseno sarà -1. In queste configurazioni accade che il raggio vettore è completamente perpendicolare all’asse y delle ordinate. Ciò comporta che la sua proiezione su tale asse sarà nulla. Diversamente, quando il raggio vettore formerà un angolo di 90° o 270° con l’asse delle ascisse sarà il coseno ad essere 0 mentre il seno assumerà un valore pari a 1 nel primo caso e pari a -1 nel secondo.
45°,135°,225°, 315°
Quando il raggio vettore forma 45° con l’asse delle ascisse la sua proiezione sulle ascisse è identica alla sua proiezione sulle ordinate.
In questo caso quindi il cosα = sinα. Si consideri il triangolo ABC. Si tratta di un triangolo rettangolo in cui l’angolo di 90° è l’angolo in B (si ricordi che la proiezione del raggio vettore su un asse si ottiene tracciando la perpendicolare all’asse dagli estremi del raggio vettore). Applicando il teorema di Pitagora, sappiamo che:
ma poiché AB = cosα, BC = sinα e AC=1, si può allora scrivere:
Questa formula è vera per qualsiasi angolo α. Nel caso particolare di α=45°, come già detto in precedenza, seno e coseno coincidono per cui l’equazione di cui sopra può essere semplificata in:
da cui:
e infine:
Anche per gli angoli 135°,225°,315° seno e coseno hanno in modulo valore √2/2. Il segno di tale valore dipende se la proiezione del raggio vettore nella circonferenza goniometrica si trova dal lato positivo o negativo dell’asse a cui la funzione si riferisce.
30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Si consideri il caso in cui il raggio vettore formi un angolo di 30° con l’asse delle ascisse:
Nella figura è stata volutamente eliminata la circonferenza goniometrica al fine di abituare il lettore ad individuare possibili applicazioni delle funzioni goniometriche. Quando l’angolo alfa è di 30° il triangolo rettangolo che si viene a formare può essere considerato come la metà di un triangolo equilatero in cui la proiezione del raggio vettore sull’asse delle x (cosα) fa da mediana, altezza e bisettrice. In questo caso, per considerazioni puramente geometriche, il sinα è la metà del raggio vettore per cui vale ½.
Il valore del coseno di alfa può invece essere ottenuto applicando il teorema di Pitagora al suddetto triangolo rettangolo:
da cui:
A questo punto, in modo simile è possibile calcolare i valori di queste funzioni per angoli di 60°, 120°, 150°, 210°, 240°,300° e 330°. Tutti questi angoli infatti, formano con l’asse delle y e delle x angoli di 60° e 30°. Se il raggio vettore forma un angolo di 60° con uno degli assi, la funzione goniometrica corrispondente a quell’asse sarà in modulo uguale ad ½ mentre per l’altra il modulo sarà uguale a √3/2. Il segno delle funzioni dipenderà dalla posizione della funzione rispetto al verso degli assi. Per chiarire le idee si considera uno di questi angoli: 240°.
Nella figura α=240°. In questo caso il raggio vettore forma 30° con l’asse delle y (sinα) 60 con quello delle x (cosα). Ciò significa che il coseno varrà ½ e il sin √3/2. Poichè per entrambi gli assi la proiezione sugli assi del raggio vettore cade dove gli assi assumono valori negativi, allora entrambe le funzioni avranno un segno negativo.
Grafici delle funzioni seno e coseno
Come già detto nei paragrafi precedenti le funzioni seno e coseno sono utilizzate per descrivere tutti i fenomeni oscillatori in quanto i loro valori oscillano tra -1 e 1 al variare dell’angolo che il raggio vettore forma con l’asse delle x. Si considerano i valori delle funzioni per diversi angoli. L’incremento tra due angoli adiacenti è di 20°.
Tabella dei valori:
A cui corrispondono due grafici ondulatori periodici molto simili tra di loro. I valori di seno e coseno si ripetono ogni 360°. Si può facilmente notare che sarebbe possibile sovrapporre le due funzioni se si spostasse il coseno in avanti di una quantità pari a 90°. Questo significa che il cosα = sin (α+90°).
