In questo appunto vediamo cosa caratterizza un’iperbole equilatera e vedremo la sua rappresentazione riferita rispetto ai suoi asintoti. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto ti consigliamo di approfondire il concetto di equazione di un’iperbole e gli elementi caratteristici di un’iperbole (fuochi, vertici, centro e asintoti. In particolare in questo appunto vedremo:

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Cosa è un’iperbole equilatera

Un’iperbole si dice equilatera se ha i due semiassi, trasverso e non trasverso, della stessa lunghezza. Questo comporta che i due coefficienti a e b siano uguali tra di loro e che quindi l’equazione nel caso in cui i fuochi siano posizionati sull’asse delle ascisse ed il centro coincide con l’origine degli assi, sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \,\,\,\,\,\,\,\, oppure \,\,\,\,\,\,\,\, x^{2}-y^{2}=a^{2}

mentre nel caso in cui l’iperbole equilatera abbia i fuochi sull’asse delle y ed il centro coincidente con l’origine degli assi, la sua equazione sarebbe del tipo:

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1 \,\,\,\,\,\,\,\, oppure \,\,\,\,\,\,\,\, y^{2}-x^{2}=a^{2} \,\,\,\,\,\,\,\,oppure \,\,\,\,\,\,\,\, x^{2}-y^{2}=-a^{2}

ma l’iperbole equilatera ha anche una caratteristica molto importante! I suoi asintoti sono perpendicolari tra loro e tali asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti del piano cartesiano. Si ricordi infatti che per un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente i coefficienti angolari degli asintoti sono pari a:

m_{1,2}= \pm\frac{b}{a}

ma poiché in un’iperbole equilatera b=a, allora:

m_{1,2}=\pm1

questo conferma che gli asintoti sono la bisettrice del primo-terzo quadrante e la bisettrice del secondo-quarto quadrante. Gli stessi asintoti si otterrebbero per un’iperbole equilatera con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate. Vediamo i due tipi di iperbole rappresentate con i propri asintoti:

iperbole equilatera e asintoti

 

Si ricordi che le bisettrici del primo-terzo quadrante e del secondo-quarto quadrante sono perpendicolari tra di loro. Questo ci offre un’opportunità, riferire l’equazione dell’iperbole non più rispetto agli assi cartesiani ma rispetto ai suoi asintoti. Nel prossimo paragrafo vediamo cosa succede cambiando il sistema di riferimento e sovrapponendo con una rotazione iperbole e asintoti agli assi cartesiani.

Equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Vediamo cosa succede se riferiamo l’iperbole equilatera rispetto ai suoi asintoti. Partiamo dal caso dell’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate ed applichiamo una rotazione di 45° in senso antiorario. In questo modo gli asintoti dell’iperbole corrisponderanno agli assi cartesiani. Ricordiamo che la rotazione è una isometria, ovvero una trasformazione che mantiene inalterate le distanze tra gli elementi:

rotazione iperbole equilatera

Ma come si trasforma l’equazione operando una rotazione? Senza entrare nel dettaglio delle trasformazioni possiamo dire che per ruotare l’iperbole di 45° in senso antiorario rispetto agli assi cartesiani occorre fare le seguenti sostituzioni:

\left\{\begin{matrix}
x=\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y' \\\,\\ 
y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'
\end{matrix}\right.

eseguiamo tali sostituzioni nell’equazione dell’iperbole. Otteniamo:

x^{2}-y^{2}=a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\right)^{2}- \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\right)^{2} = a^{2}

sviluppiamo i quadrati:

\frac{1}{2}x'^{2}+\frac{1}{2}y'^{2}+x'y'-\frac{1}{2}x'^{2}-\frac{1}{2}y'^{2}+x'y'=a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\2x'y'=a^{2}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x'y'=\frac{a^{2}}{2}

dunque l’equazione diventa:

xy=\frac{a^{2}}{2}

Effettuando la stessa dimostrazione per il caso dell’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e posizionati sull’asse delle ordinate, otterremmo la seguente equazione:

xy=-\frac{a^{2}}{2}

potremmo rappresentare entrambi i casi con l’unica equazione:

xy=k

dove:

|k| =\frac{a^{2}}{2}

adesso, l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti ha le seguenti caratteristiche:

  • k è un numero reale diverso da 0. Può assumere sia valori positivi che negativi ma non può mai essere nullo
  • Se k è maggiore di 0 significa che il prodotto dell’ascissa di un punto con la sua ordinata è sempre positivo. Ciò significa che ascissa e coordinata devono avere lo stesso segno. L’iperbole è dunque tale da avere i suoi punti nel primo e nel terzo quadrante. I vertici e i fuochi riferiti rispetto agli asintoti avranno le seguenti coordinate (si noti che l’ascissa è uguale all’ordinata per ciascuno di questi 4 punti. Con la rotazione essi infatti giacciono sulla retta y=x):
  •  
V_{1} (-\sqrt{k},-\sqrt{k}) \\\,\\ V_{2} (\sqrt{k},\sqrt{k})\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ F_{1} (-\sqrt{2k},-\sqrt{2k}) \\\,\\F_{2} (\sqrt{2k},\sqrt{2k})
  • se k è minore di 0 significa che il prodotto dell’ascissa di un punto con la sua ordinata è sempre negativo. Ciò significa che ascissa e coordinata devono avere sempre segno opposto. L’iperbole è dunque tale da avere i suoi punti nel secondo e quarto quadrante. I vertici e i fuochi riferiti rispetto agli asintoti avranno le seguenti coordinate (si noti che l’ascissa è opposta all’ordinata per ciascuno di questi 4 punti. Con la rotazione essi infatti giacciono sulla retta y=-x):
V_{1} (-\sqrt{-k},\sqrt{-k}) \\\,\\ V_{2} (\sqrt{-k},-\sqrt{-k})\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ F_{1} (-\sqrt{-2k},\sqrt{-2k}) \\\,\\F_{2} (\sqrt{-2k},-\sqrt{-2k})

Rappresentiamo dunque graficamente le due situazioni:

fuochi e vertici iperbole equilatera
Esempi di esercizi

Esercizio 1

Determinare le caratteristiche della seguente iperbole:

xy=-18

Notiamo subito dall’equazione che k<0. Ciò significa che abbiamo a che fare con un’iperbole equilatera i cui rami giacciono sul secondo e sul quarto quadrante. Possiamo determinare le coordinate dei vertici reali e dei fuochi di tale iperbole:

V_{1} (-\sqrt{-k},\sqrt{-k}) = V_{1} (-\sqrt{18},\sqrt{18})= V_{1} (-3\sqrt{2},3\sqrt{2})\\\,\\ V_{2} (\sqrt{-k},-\sqrt{-k})=V_{2} (\sqrt{18},-\sqrt{18}) =V_{2} (3\sqrt{2},-3\sqrt{2})\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ F_{1} (-\sqrt{-2k},\sqrt{-2k})=F_{1} (-\sqrt{36},\sqrt{36}) =F_{1} (-6,6)\\\,\\F_{2} (\sqrt{-2k},-\sqrt{-2k})=F_{2} (\sqrt{36},-\sqrt{36})=F_{2} (6,-6)

Esercizio 2

Scrivere rispetto agli asintoti la seguente iperbole equilatera:

y^{2}-x^{2}=14

si tratta di un’iperbole equilatera con i fuochi allineati verticalmente. Dunque la sua equazione sarà del tipo:

xy=k

con k<0.

e k sarà uguale a :

k=-\frac{a^{2}}{2}=-\frac{14}{2}=-7

l’equazione diventa dunque:

xy=-7
Iperbole Equilatera
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