In questo appunto vediamo il caso di un’iperbole equilatera transata la cui equazione è conosciuta con il nome di funzione omografica. Per comprendere meglio il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire i concetti di equazione di un’iperbole e di iperbole equilatera. In questo appunto vedremo:
- Iperbole equilatera ed equazione riferita ai propri asintoti
- Equazione di un’iperbole equilatera traslata
- Funzione omografica e proprietà
- Esempi di esercizi
Per altri argomenti di geometria analitica ti suggeriamo il relativo indice degli argomenti.
Iperbole equilatera ed equazione riferita ai propri asintoti
Ricordiamo che un’iperbole equilatera altro non è che:
- un’iperbole in cui i due semiassi a e b sono coincidenti. L’equazione generale di tale iperbole, nel caso in cui i fuochi siano allineati orizzontalmente, è del tipo:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \,\,\,\, oppure \,\,\,\, x^{2}-y^{2}=a^{2}
- l’iperbole equilatera ha come asintoti le bisettrici del primo-terzo quadrante e le bisettrici del secondo quarto quadrante. Vediamo nella figura in basso il caso sia per un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e sia il caso di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente:
- E’ possibile riferire l’iperbole rispetto ai propri asintoti operando una rotazione delle curve di 45 gradi in senso antiorario e portando in questo caso gli asintoti a coincidere con gli assi cartesiani:
- L’equazione dell’iperbole riferita rispetto agli asintoti diventa del tipo:
xy=k
con:
k=\frac{|a^{2}|}{2}
per vedere l’intera dimostrazione che porta a questa formula ti rimandiamo al relativo appunto.
Equazione di un’iperbole equilatera traslata
Nel paragrafo precedente abbiamo visto l’equazione di un’iperbole riferita rispetto ai propri asintoti quando questi coincidono con gli assi cartesiani. Ci chiediamo adesso qual è ‘l’equazione di un’iperbole equilatera questa volta traslata. Il centro dell’iperbole non è più dunque l’origine degli assi ma si sposta di un vettore v(p,q) detto vettore di traslazione. Eseguendo la trasformazione di traslazione, che ricordiamo essere un’isometria e come tale lascia le distanze invariate, l’equazione dell’iperbole equilatera diventa del tipo:
(x-p)(y-q)= k
avendo eseguito le seguenti sostituzioni per l’operazione di traslazione:
\left\{\begin{matrix}
x \rightarrow x-p\\\,\\ y \rightarrow y-q
\end{matrix}\right.
L’iperbole equilatera traslata non avrà più dunque gli asintoti coincidenti con gli assi cartesiani. Gli asintoti adesso saranno rispettivamente le rette:
x=p \\\,\\ y=q
rappresentiamo adesso graficamente questa traslazione:
Funzione omografica e proprietà
Riprendiamo adesso l’equazione di un’iperbole traslata ed esplicitiamola rispetto alla variabile y:
(x-p)(y-q)= k \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\y-q= \frac{k }{x-p}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\y= \frac{k }{x-p}+q \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\y= \frac{qx+k-qp}{x-p} \\\,\\
dunque l’iperbole equilatera traslata è rappresentata da un’equazione esplicita in y al cui secondo membro abbiamo una frazione in cui al primo e al secondo membro dei binomi di primo grado in x. Si può generalizzare tale formula dicendo che data un’equazione del tipo:
y= \frac{ax+b}{cx+d}
detta funzione omografica, questa è rappresentativa di un’iperbole equilatera traslata a patto che:
- i coefficienti a,b,c,d siano numeri reali
- il coefficiente c sia diverso da zero. In caso contrario la funzione rappresenterebbe una retta:
y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}
- il prodotto ad sia diverso da bc. Infatti, raccogliendo a al numeratore e c al denominatore otterremmo:
y= \frac{a\left(x+\frac{b}{a}\right)}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)}
ma se:
ad=bc \,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{d}{c}=\frac{b}{a}
ciò implicherebbe:
y=\frac{a}{c}
dunque la funzione omografica rappresenterebbe una retta parallela all’asse delle ascisse e non più un’iperbole equilatera traslata.
Adesso prendiamo la formula generale della funzione omografica e dividiamo numeratore e denominatore per il parametro c che abbiamo assunto essere diverso da zero affinché la funzione omografica rappresenti un’iperbole equilatera traslata. Otteniamo:
y= \frac{ax+b}{cx+d} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y= \frac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}}{x+\frac{d}{c}}
confrontiamo quest’ultima forma con quella ottenuta esplicitando la y direttamente dall’iperbole equilatera:
y= \frac{qx+k-qp}{x-p}
ne consegue che:
p=-\frac{d}{c} \\\,\\ q=\frac{a}{c}
questo ci porta a dire che se tutte le condizioni viste in precedenza sono rispettate, la funzione omografica rappresenta un’iperbole equilatera traslata e i suoi asintoti saranno:
y=\frac{a}{c} \\\,\\ x= -\frac{d}{c}
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Verificare se la seguente funzione omografica rappresenta un’iperbole equilatera traslata ed in caso positivo calcolare l’equazione dei suoi asintoti:
y=\frac{4x-1}{2x-1}
Verifichiamo dunque le 3 condizioni:
- a,b,c,d sono numeri reali (4;-1;2;-1)
- c è diverso da zero. Tale parametro è infatti uguale a 2
- Verifichiamo che il prodotto ad sia diverso da bc:
ad= 4*(-1)=-4\\\,\\ bc=(-1)*2=-2
il prodotto ad è diverso da bc. Possiamo dunque dire che la funzione omografica rappresenta un’iperbole equilatera. Calcoliamo gli asintoti:
y=\frac{a}{c}=\frac{4}{2}=2 \\\,\\ x=-\frac{d}{c}=\frac{1}{2}
Esercizio 2
Verificare se la seguente funzione omografica rappresenta un’iperbole equilatera traslata ed in caso positivo calcolare l’equazione dei suoi asintoti:
y=\frac{3x-8}{6x-16}
Verifichiamo dunque le 3 condizioni:
- a,b,c,d sono numeri reali (3;-8;6;-16)
- c è diverso da zero. Tale parametro è infatti uguale a
- Verifichiamo che il prodotto ad sia diverso da bc:
ad= 3*(-16)=-48\\\,\\ bc=(-8)*6=-48
ab=dc. Allora la funzione omografica rappresenta una retta parallela all’asse delle ascisse e non un’iperbole equilatera traslata. Dimostriamolo. Raccogliamo il fattore 2 al denominatore:
y=\frac{3x-8}{6x-16} = \frac{3x-8}{2(3x-8)} =\frac{1}{2}
è stato dunque possibile semplificare il termine 3x-8 al numeratore e denominatore
