In questo appunto diamo una definizione al termine sistema di riferimento con alcuni esempio dalla vita di tutti i giorni ed introdurremo i concetti di sistemi di coordinate cartesiane e polari. Questo appunto è integrato nella parte introduttiva degli appunti relativi a fisica I. L’appunto è così strutturato:

Per altri appunti di fisica I ti rimandiamo all’indice generale.

Definizione di sistema di riferimento

Quando in fisica si ha a che fare con una grandezza vettoriale, si esprime il vettore che la rappresenta in funzione di un sistema di riferimento che ci aiuta a localizzarlo, ad esempio nello spazio, e dare un senso maggiore ai concetti di direzione, verso e punto di applicazione.

In generale un sistema di riferimento altro non è che un sistema che fa uso di coordinate per localizzare un oggetto nello spazio rispetto ad un punto origine del sistema di riferimento. Ogni volta che giochiamo a battaglia navale, localizziamo le navi all’interno di un sistema di riferimento fatto di numeri e di lettere:

sistema di riferimento: battaglia navale

Ciascun quadrato del campo di gioco può essere identificato da un sistema di 2 coordinate in cui la prima coordinate è la lettera che identifica la colonna e la seconda coordinata è il numero che identifica la riga. Altri esempi della vita di tutti i giorni possono essere:

  • un qualsiasi foglio di lavoro di calcolo (excel o openofficecalc) che utilizza ancora un sistema a lettere e numeri identico a quello visto per la battaglia navale
  • il navigatore che utilizza un sistema di coordinate GPS per identificare con la latitudine e la longitudine la posizione di un luogo
sistema di riferimento GPS
Immagine da Google Maps

Un sistema di riferimento è caratterizzato da:

  • un’origine. Esso indica il punto 0 del sistema in riferimento rispetto al quale tutto è riferito
  • Degli assi che si intersecano nell’origine. Tali assi sono caratterizzati da una direzione e da un verso. Quest’ultima ne identifica il modo in cui l’asse progredisce.

In generale, in una data situazione, possono esistere infiniti sistemi di riferimento in quanto è possibile posizionare l’origine in qualsiasi punto ed è possibile scegliere degli assi giacenti in qualsiasi direzione:

sistema di riferimento: esempi planari
Esempi di sistemi di riferimento in due dimensioni

In generale, la situazione si semplifica molto se si scelgono degli assi perpendicolari tra di loro:

Vedremo come è possibile lavorare con questi sistemi di riferimento utilizzando un sistema di coordinate cartesiane ed un sistema di coordinate polari.

Sistema di coordinate cartesiane

Immaginiamo di avere un sistema di riferimento cartesiano a due dimensioni caratterizzati da un asse x e da un asse y opportunamente numerati secondo il verso di progressione. All’interno del piano in cui giace questo sistema di riferimento è possibile associare a ciascun punto una coppia di coordinate cartesiane che lo identificano in maniera univoca rispetto agli altri punti. Ciascuna delle coordinate coincide con l’intersezione della perpendicolare all’asse passante per il punto e l’asse stesso:

Dunque il punto P, appartenente al piano in cui giace il sistema di riferimento cartesiano, è definito dalla coppia di coordinate (3,4). In un sistema cartesiano a 3 dimensioni, quindi un sistema di riferimento spaziale e non planare, il numero di coordinate necessarie a definire in maniera univoca un punto è pari a 3. Dunque, all’aumentare delle dimensioni del sistema cartesiano, aumenta allo stesso modo il numero di coordinate necessarie ad identificare in maniera univoca un punto.

All’interno di un sistema cartesiano è possibile anche rappresentare un vettore:

In questo caso, il vettore è definito dalle sue componenti nella direzione degli assi cartesiani. Tali componenti si ottengono tracciando le perpendicolari dall’estremo del vettore agli assi cartesiani. La notazione da utilizzare in questo caso sarà:

\overrightarrow{v} = (v_{x},v_{y})

vedremo, quando parleremo di somma vettoriale e di scomposizione di un vettore, che possono essere utilizzate anche le seguenti notazioni:

\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{x}}+ \overrightarrow{v_{y}} \\\,\\ \overrightarrow{v} = v_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ v_{y}\mathbf{\widehat{y}}

dove:

\widehat{x}, \, \widehat{y}

sono i versori (o vettori unitari) con direzione e verso coincidenti con quelli degli assi di riferimento.

Stessa cosa accade quando le dimensioni aumentano. Nel caso di un sistema cartesiano a 3 dimensioni, sarà necessario individuare anche la componente rispetto al terzo asse:

\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{x}}+ \overrightarrow{v_{y}}+ \overrightarrow{v_{z}} \\\,\\ \overrightarrow{v} = v_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ v_{y}\mathbf{\widehat{y}}+ v_{z}\mathbf{\widehat{z}}

Nel prossimo paragrafo vediamo come all’interno di un sistema di riferimento cartesiane è possibile identificare la posizione di un vettore utilizzando coordinate non cartesiane ma polari

Sistema di coordinate polari

Un altro sistema molto utilizzato per definire l’esatta posizione di un punto in un riferimento cartesiano è il sistema di coordinate polari. Se consideriamo il caso più semplice di un sistema di riferimento cartesiano a due dimensioni, tali coordinate esprimono la posizione di un punto in termini di distanza rispetto ad un altro punto detto polo e di un angolo rispetto ad un asse:

sistema di riferimento polare

dunque P sarà indicato in coordinate polari secondo la notazione:

P(\rho,\alpha)

Stesso discorso vale se al posto di un punto abbiamo a che fare on un vettore. In questo caso non si para di distanza del punto dal polo ma di modulo del vettore. Dunque la notazione corretta sarebbe:

\overrightarrow{v} \,\ (|\overrightarrow{v} |, \alpha)

Quando si ha a che fare con un sistema di riferimento a tre dimensioni occorre utilizzare tre coordinate per definire univocamente un punto o un vettore. Abbiamo in generale due modi per farlo:

Sistema di coordinate cilindriche: sistema utilizzato per indicare la posizione di un punto nello spazio. In questo caso si considera il punto giacente in un piano parallelo al piano xy e ad esso si riferisce la posizione del punto utilizzando il sistema di coordinate polari bidimensionali. La terza coordinata esprime la distanza h in z tra il piano xy ed il piano ad esso parallelo in cui giace il punto. La notazione diviene dunque:

P(\rho, \alpha, h)

Sistema di coordinate sferiche: utilizzato sia per punti che per vettori. Questo sistema di coordinate utilizza:

  • il modulo del vettore
  • l’angolo che questo forma con l’asse z
  • l’angolo che la proiezione del vettore sul piano xy forma con l’asse delle x

La notazione darà dunque:

\overrightarrow{v} ( |\overrightarrow{v} |, \rho, \phi)

Non ci soffermiamo ulteriormente in questo appunto sulle coordinate polari e sulle trasformazioni tra coordinate cartesiane e coordinate polari. Lo faremo nella sezione in cui parleremo del tema in termini di algebra lineare.

Introduzione al concetto di sistema di riferimento