Intersezione di una parabola con gli assi cartesiani -

Vediamo in questo appunto come calcolare i punti di intersezione di una parabola con gli assi cartesiani. Questo appunto è direttamente collegato con il concetto di posizione relativa di una retta e di una parabola. Infatti gli assi cartesiani coincidono con due particolari rette del piano cartesiano le cui equazioni sono:

x=0 è l’equazione dell’asse delle ordinate
y=0 è l’equazione dell’asse delle ascisse

Per definire se una parabola interseca gli assi cartesiani, occorrerà quindi mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse cartesiano di interesse. In questo appunto vedremo i vari casi:

Intersezione con gli assi cartesiani di una parabola con asse verticale
Intersezione con gli assi cartesiani di una parabola con asse orizzontale
Esempi

Parabola con asse verticale: intersezione con gli assi cartesiani

Vediamo in che modo una parabola con asse verticale interseca gli assi cartesiani.

Asse delle ordinate: poiché l’asse delle ordinate è parallelo all’asse della parabola esiste sempre uno ed un unico punto di intersezione tra l’asse delle ordinate e la parabola. Esso coincide con il punto (0,c) dove c è il coefficiente noto dell’equazione della parabola. In questo caso quindi, non è necessario mettere a sistema le due equazioni per eseguire il calcolo.
Asse delle ascisse: in questo caso occorre risolvere il sistema di equazioni costituito dall’equazione della parabola e l’equazione dell’asse delle ascisse:

Il che vuol dire risolvere l’equazione di secondo grado associata:

avremo ancora, come visto per l’intersezione di una retta generica con la parabola, 3 possibili casi dipendenti dal valore del delta dell’equazione. In questo caso però il delta coincide con quello utilizzato per il calcolo delle coordinate del vertice, del fuoco e dell’equazione della direttrice. I 3 casi possibili sono:

L’equazione ammette due soluzioni in quanto il delta è maggiore di 0. Ciò significa che la parabola interseca l’asse delle x in due punti. Tale situazione accade se il vertice ha ordinata negativa e la parabola ha concavità verso l’alto o se il vertice ha ordinata positiva e la parabola ha concavità verso il basso
Esistono due soluzioni reali e coincidenti poiché il delta dell’equazione è uguale a zero. questo accade quanto il vertice è posizionato sull’asse delle ascisse e il trinomio dell’equazione di secondo grado non è altro che il quadrato di un binomio. In questo caso l’asse delle x è tangente alla parabola nel suo vertice.
Non esistono soluzioni reali. La parabola non interseca l’asse delle x. Questo accade se il vertice ha ordinata positiva e la parabola ha concavità verso l’alto o se il vertice ha ordinata negativa e la parabola ha concavità verso il basso.

Vediamo rappresentate nel seguente grafico le tre situazioni per una parabola con concavità verso l’alto.

Parabola con asse orizzontale: intersezione con gli assi cartesiani

Per una parabola con asse orizzontale valgono le stesse considerazioni viste nel paragrafo precedente. Ciò che valeva per l’asse delle ordinate adesso vale per l’asse delle ascisse e viceversa.

Asse delle ascisse: poiché l’asse delle ascisse è parallelo all’asse della parabola esiste sempre uno ed un unico punto di intersezione tra l’asse delle ordinate e la parabola. Esso coincide con il punto (c,0) dove c è il coefficiente noto dell’equazione della parabola. In questo caso quindi, non è necessario mettere a sistema le due equazioni per eseguire il calcolo.
Asse delle ordinate: in questo caso occorre risolvere il sistema di equazioni costituito dall’equazione della parabola e l’equazione dell’asse delle ordinate:

Il che significa risolvere l’equazione di secondo grado:

per tale equazione valgono le stesse considerazioni sul delta viste nel paragrafo precedente:

L’equazione ammette due soluzioni in quanto il delta è maggiore di 0. Ciò significa che la parabola interseca l’asse delle y in due punti. Tale situazione accade se il vertice ha ascissa negativa e la parabola ha concavità verso destra o se il vertice ha ascissa positiva e la parabola ha concavità verso sinistra
Esistono due soluzioni reali e coincidenti poiché il delta dell’equazione è uguale a zero. Questo accade quanto il vertice è posizionato sull’asse delle ordinate e il trinomio dell’equazione di secondo grado non è altro che il quadrato di un binomio. In questo caso l’asse delle y è tangente alla parabola nel suo vertice.
Non esistono soluzioni reali. La parabola non interseca l’asse delle y. Questo accade se il vertice ha ascissa positiva e la parabola ha concavità verso destra o se il vertice ha ascissa negativa e la parabola ha concavità verso sinistra.

Esempi

Vediamo di seguito alcuni esempi di calcolo dei punti di intersezione della parabola con gli assi cartesiani.

Esempio 1

Calcolare i punti di intersezione della parabola y=x² – 1 con gli assi cartesiani

Abbiamo a che fare con una parabola verticale. La sua intersezione con l’asse delle y sarà dunque il punto A(0,-1). Per l’intersezione con l’asse delle x occorre risolvere l’equazione:

Il termine a sinistra dell’equazione è la differenza di due quadrati. Anziché calcolare il delta dell’equazione, scomponiamo in fattori primi:

Sappiamo però che il prodotto di due fattori è nullo se uno dei due fattori è nullo. Il primo fattore è nullo se x=-1, il secondo fattore è nullo se x=1. Ne consegue che i punti di intersezione della parabola con l’asse delle x sono i punti B(-1,0) e C(1,0). Poiché esistono due soluzioni reali, possiamo affermare che il delta dell’equazione di secondo grado è sicuramente maggiore di 0. Verifichiamolo:

Il delta è uguale a 4 ed è quindi maggiore di zero, confermandoci l’esistenza delle due soluzioni reali e distinte calcolate con il metodo della scomposizione in fattori primi.

Esempio 2

Calcolare i punti di intersezione con gli assi cartesiani della parabola x=2y²+3y-2

In questo caso abbiamo a che fare con una parabola con asse orizzontale. Risulta quindi semplice il calcolo dell’intersezione con l’asse delle y in quanto coincide con il punto A(c,0). Abbiamo che il coefficiente c=-2 e quindi A(-2,0).

Per quanto riguarda le intersezioni con l’asse delle y procediamo con il calcolo del delta dell’equazione associata di secondo grado 2y²+3y-2 = 0.

Il delta è positivo per cui si aspettiamo due soluzioni reali e distinte:

I punti di intersezione saranno allora B(0, 1/2) e C(0, -2)

Esempio 3

Calcolare i punti di intersezione della parabola y= 2x² -3x + 10 con gli assi cartesiani

In questo caso abbiamo a che fare con una parabola con asse verticale. Come visto negli esempi precedenti, essa intersecherà l’asse delle y nel punto A(0,12). Per calcolare i punti di intersezione con l’asse delle x andiamo a calcolare il valore del delta dell’equazione di secondo grado associata:

poiché il delta è negativo, non esistono soluzioni reali per l’equazione associata e si può concludere che la parabola non interseca l’asse delle x.

Esempio 4

Calcolare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi cartesiani della parabola x=y²-2y+1

In questo caso abbiamo a che fare con una parabola con asse parallelo all’asse delle x. L’intersezione con l’asse delle x risulta essere il punto (0,1). Per quanto riguarda l’intersezione con l’asse delle y occorre risolvere l’equazione associata alla parabola: