Intersezione di una circonferenza con gli assi cartesiani

In questo breve appunto vediamo come calcolare, se esistono, le coordinate dei punti di intersezione di una circonferenza con gli assi cartesiani. Questo appunto è direttamente correlato con quello di una posizione di una retta con una circonferenza. Infatti gli assi cartesiani coincidono con due particolari rette del piano cartesiano le cui equazioni sono:

• x=0 è l’equazione dell’asse delle ordinate
• y=0 è l’equazione dell’asse delle ascisse

Per definire se una circonferenza interseca gli assi cartesiani, occorrerà mettere a sistema l’equazione della circonferenza con quella dell’asse. Vedremo in particolare:

• Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ascisse
• Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ordinate
• Esempi di esercizi

Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ascisse

Consideriamo la generica equazione di una circonferenza:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

e consideriamo l’asse delle ascisse avente equazione:

y=0

Calcolare le coordinate dei punti di intersezione della circonferenza con l’asse delle ascisse significa risolvere il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ \,\\ y=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

sostituendo dunque il valore y=0 all’equazione della circonferenza, si ottiene l’equazione risolvente del sistema:

x^{2}+ax+c=0

Si tratta dunque di una equazione di secondo grado il cui numero di soluzioni dipende dal valore del Δ:

Quando il Δ è maggiore di zero, la circonferenza interseca l’asse delle ascisse in due punti di coordinate:

A(x_{1},0) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(x_{2},0)

L’asse delle ascisse è dunque secante la circonferenza.

Se invece il Δ è uguale a zero, allora si hanno due soluzioni reali e coincidente. La circonferenza ha in comune un solo punto con l’asse delle ascisse:

A(x_{1,2},0)

L’asse delle ascisse è dunque tangente alla circonferenza

Nel caso invece in cui il Δ sia minore di zero, allora non esistono soluzioni per l’equazione di secondo grado. L’asse delle ascisse è esterno alla circonferenza. Riepiloghiamo queste tre possibili situazioni nella figura sotto:

Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ordinate

Il discorso è del tutto simile a quello fatto per l’asse delle ascisse. In questo caso però il sistema da risolvere è il seguente:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ \,\\ x=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

per cui la corrispettiva equazione risolvente è:

y^{2}+by+c=0

Anche in questo caso valgono le stesse considerazione sul delta fatte nel paragrafo precedente. Le riassumiamo graficamente:

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x²+y²+2x-3y+1=0

Verifichiamo innanzitutto l’intersezione con l’asse delle x imponendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0\\\,\\ y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

si ottiene di conseguenza la seguente equazione risolvente:

x^{2}+2x+1=0

Il polinomio al primo termine altro non è che il quadrato del binomio x+1. Riscriviamo l’equazione nella forma:

(x+1)^{2} = 0

Poiché il primo membro può essere scritto come il quadrato di un binomio, siamo nel caso in cui il delta dell’equazione è uguale a zero. Abbiamo due soluzioni reali e coincidenti:

x_{1,2} = -1

Il punto A(-1,0) è dunque l’unico punto in comune tra l’asse delle ascisse e la circonferenza. Per quanto visto sopra è dunque il punto di tangenza della circonferenza. Studiamo adesso il caso di intersezione con l’asse delle ordinate impostando il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0\\\,\\ x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

Otteniamo dunque l’equazione risolvente:

y^{2}-3y+1=0

Le cui soluzioni sono:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(1)}}{2} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}  

Abbiamo due soluzioni reali e distinte. Il delta dell’equazione, argomento della radice è positivo. Possiamo concludere dunque che i punti:

B\left(0, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D\left(0, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)

sono i punti di intersezione della circonferenza con l’asse delle ordinate. L’asse delle ordinante è dunque secante la circonferenza

Esempio 2

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x²+y²-5x+y+4=0

Verifichiamo l’intersezione con l’asse delle ascisse risolvendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-5x+y+4=0\\\,\\ y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

otteniamo l’equazione risolvente:

x^{2}-5x+4=0

le cui soluzioni sono:

x_{1,2}=  \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{5\pm\sqrt{25-4(1)(4)}}{2} = \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2} = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}= \frac{5\pm3}{2} \\ \, \\\Rightarrow \\ \, \\ x_{1}=4 \\\Rightarrow \\x_{2} = 1

Abbiamo dunque soluzioni reali e distinte. Esistono due punti in cui la circonferenza interseca l’asse delle ascisse:

A(4,0) \,\,\,\,\,\,\,\,\, B(1,0)

Adesso verifichiamo se esistono dei punti di intersezione con l’asse delle ordinate. Risolviamo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-5x+y+4=0\\\,\\ x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

Otteniamo l’equazione risolvente:

y^{2}+y+4=0

verifichiamo se esistono soluzioni:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =  \frac{-1\pm\sqrt{1-4(1)(4)}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}

poiché l’argomento della radice (il delta) è negativo allora l’equazione di secondo grado non ha soluzioni. Allora l’asse delle ordinate è esterno alla circonferenza.

Esempio 3

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x²+y²+3/2x-8/3y-1=0

Verifichiamo se la circonferenza ha punti di intersezione con l’asse delle x risolvendo il seguente sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2} +y^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{8}{3}y-1=0\\ \,\\y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

l’equazione risolvente del sistema è l’equazione di secondo grado:

x^{2} +\frac{3}{2}x-1=0

verifichiamo se esistono soluzioni:

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+4}}{2} =\frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}}{2} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\frac{5}{2}}{2}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\x_{1} = \frac{-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}}{2} = \frac{1}{2} \\\,\\ x_{2} = \frac{-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}}{2} = -2

Ciò significa che la circonferenza interseca l’asse delle ascisse nei due punti:

A\left(\frac{1}{2},0\right) \,\,\,\,\,\,\,\, B(-2,0)

Verifichiamo adesso se esistono intersezioni con l’asse delle ordinate:

\left\{\begin{matrix}
x^{2} +y^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{8}{3}y-1=0\\ \,\\x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

Otteniamo la seguente equazione risolvente:

y^{2}-\frac{8}{3}y-1=0

Verifichiamo se tale equazione ha soluzioni:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}-4(1)(-1)}}{2}  =\frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}+4}}{2} = \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64+36}{9}}}{2} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{100}{9}}}{2} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\frac{10}{3}}{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y_{1} = \frac{\frac{8}{3}+\frac{10}{3}}{2} = 3 \\\,\\ y_{2} = \frac{\frac{8}{3}-\frac{10}{3}}{2} = -\frac{1}{3}  

per cui la circonferenza interseca l’asse delle ordinate nei seguenti punti:

D(0,3) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(0,-\frac{1}{3}\right)