In questo breve appunto vediamo come calcolare, se esistono, le coordinate dei punti di intersezione di una circonferenza con gli assi cartesiani. Questo appunto è direttamente correlato con quello di una posizione di una retta con una circonferenza. Infatti gli assi cartesiani coincidono con due particolari rette del piano cartesiano le cui equazioni sono:

  • x=0 è l’equazione dell’asse delle ordinate
  • y=0 è l’equazione dell’asse delle ascisse

Per definire se una circonferenza interseca gli assi cartesiani, occorrerà mettere a sistema l’equazione della circonferenza con quella dell’asse. Vedremo in particolare:

Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ascisse

Consideriamo la generica equazione di una circonferenza:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

e consideriamo l’asse delle ascisse avente equazione:

y=0

Calcolare le coordinate dei punti di intersezione della circonferenza con l’asse delle ascisse significa risolvere il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ \,\\ y=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

sostituendo dunque il valore y=0 all’equazione della circonferenza, si ottiene l’equazione risolvente del sistema:

x^{2}+ax+c=0

Si tratta dunque di una equazione di secondo grado il cui numero di soluzioni dipende dal valore del Δ:

Quando il Δ è maggiore di zero, la circonferenza interseca l’asse delle ascisse in due punti di coordinate:

A(x_{1},0) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, B(x_{2},0)

L’asse delle ascisse è dunque secante la circonferenza.

Se invece il Δ è uguale a zero, allora si hanno due soluzioni reali e coincidente. La circonferenza ha in comune un solo punto con l’asse delle ascisse:

A(x_{1,2},0)

L’asse delle ascisse è dunque tangente alla circonferenza

Nel caso invece in cui il Δ sia minore di zero, allora non esistono soluzioni per l’equazione di secondo grado. L’asse delle ascisse è esterno alla circonferenza. Riepiloghiamo queste tre possibili situazioni nella figura sotto:

intersezione circonferenza con gli assi cartesiani: asse ascisse
Intersezione di una circonferenza con l’asse delle ordinate

Il discorso è del tutto simile a quello fatto per l’asse delle ascisse. In questo caso però il sistema da risolvere è il seguente:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\ \,\\ x=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

per cui la corrispettiva equazione risolvente è:

y^{2}+by+c=0

Anche in questo caso valgono le stesse considerazione sul delta fatte nel paragrafo precedente. Le riassumiamo graficamente:

 

intersezione circonferenza con gli assi: ordinate
 
Esempi di esercizi
Esempio 1

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x2+y2+2x-3y+1=0

Verifichiamo innanzitutto l’intersezione con l’asse delle x imponendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0\\\,\\ y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

si ottiene di conseguenza la seguente equazione risolvente:

x^{2}+2x+1=0

Il polinomio al primo termine altro non è che il quadrato del binomio x+1. Riscriviamo l’equazione nella forma:

(x+1)^{2} = 0

Poiché il primo membro può essere scritto come il quadrato di un binomio, siamo nel caso in cui il delta dell’equazione è uguale a zero. Abbiamo due soluzioni reali e coincidenti:

x_{1,2} = -1

Il punto A(-1,0) è dunque l’unico punto in comune tra l’asse delle ascisse e la circonferenza. Per quanto visto sopra è dunque il punto di tangenza della circonferenza. Studiamo adesso il caso di intersezione con l’asse delle ordinate impostando il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0\\\,\\ x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

Otteniamo dunque l’equazione risolvente:

y^{2}-3y+1=0

Le cui soluzioni sono:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(1)}}{2} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}  

Abbiamo due soluzioni reali e distinte. Il delta dell’equazione, argomento della radice è positivo. Possiamo concludere dunque che i punti:

B\left(0, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D\left(0, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)

sono i punti di intersezione della circonferenza con l’asse delle ordinate. L’asse delle ordinante è dunque secante la circonferenza

Esempio 2

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x2+y2-5x+y+4=0

Verifichiamo l’intersezione con l’asse delle ascisse risolvendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-5x+y+4=0\\\,\\ y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

otteniamo l’equazione risolvente:

x^{2}-5x+4=0

le cui soluzioni sono:

x_{1,2}=  \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{5\pm\sqrt{25-4(1)(4)}}{2} = \frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2} = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}= \frac{5\pm3}{2} \\ \, \\\Rightarrow \\ \, \\ x_{1}=4 \\\Rightarrow \\x_{2} = 1

Abbiamo dunque soluzioni reali e distinte. Esistono due punti in cui la circonferenza interseca l’asse delle ascisse:

A(4,0) \,\,\,\,\,\,\,\,\, B(1,0)

Adesso verifichiamo se esistono dei punti di intersezione con l’asse delle ordinate. Risolviamo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-5x+y+4=0\\\,\\ x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 

\end{matrix}\right.

Otteniamo l’equazione risolvente:

y^{2}+y+4=0

verifichiamo se esistono soluzioni:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =  \frac{-1\pm\sqrt{1-4(1)(4)}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}

poiché l’argomento della radice (il delta) è negativo allora l’equazione di secondo grado non ha soluzioni. Allora l’asse delle ordinate è esterno alla circonferenza.

Esempio 3

Calcolare l’intersezione con gli assi cartesiani della circonferenza x2+y2+3/2x-8/3y-1=0

Verifichiamo se la circonferenza ha punti di intersezione con l’asse delle x risolvendo il seguente sistema:

 

\left\{\begin{matrix}
x^{2} +y^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{8}{3}y-1=0\\ \,\\y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

l’equazione risolvente del sistema è l’equazione di secondo grado:

x^{2} +\frac{3}{2}x-1=0

verifichiamo se esistono soluzioni:

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+4}}{2} =\frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}}{2} = \frac{-\frac{3}{2}\pm\frac{5}{2}}{2}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\x_{1} = \frac{-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}}{2} = \frac{1}{2} \\\,\\ x_{2} = \frac{-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}}{2} = -2

Ciò significa che la circonferenza interseca l’asse delle ascisse nei due punti:

A\left(\frac{1}{2},0\right) \,\,\,\,\,\,\,\, B(-2,0)

Verifichiamo adesso se esistono intersezioni con l’asse delle ordinate:

\left\{\begin{matrix}
x^{2} +y^{2}+\frac{3}{2}x-\frac{8}{3}y-1=0\\ \,\\x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

Otteniamo la seguente equazione risolvente:

y^{2}-\frac{8}{3}y-1=0

Verifichiamo se tale equazione ha soluzioni:

y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}-4(1)(-1)}}{2}  =\frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}+4}}{2} = \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64+36}{9}}}{2} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{100}{9}}}{2} =  \frac{\frac{8}{3}\pm\frac{10}{3}}{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y_{1} = \frac{\frac{8}{3}+\frac{10}{3}}{2} = 3 \\\,\\ y_{2} = \frac{\frac{8}{3}-\frac{10}{3}}{2} = -\frac{1}{3}  

per cui la circonferenza interseca l’asse delle ordinate nei seguenti punti:

D(0,3) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(0,-\frac{1}{3}\right)

 

Intersezione di una circonferenza con gli assi cartesiani
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