In questo appunto vediamo in cosa consistono e quali sono le principali proprietà degli insiemi dei numeri reali. Avere dimestichezza con le proprietà di tali insiemi è fondamentale per approcciare lo studio di Analisi I. In particolare vedremo:

Per ulteriori appunti di Analisi I ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti che troverai al seguente link.

Cosa si intende per insiemi di numeri reali

Per parlare degli insiemi dei numeri reali è necessario introdurre l’insieme di tutti i numeri reali genericamente indicato con la lettera R. Appartengono a questo insieme tutti i numeri, positivi e negativi, interi, decimali con la parte decimale che può essere finita, infinita periodica e infinita non periodica. Esempi di numeri reali sono dunque:

2 \,\,\,\,\,\, \\\,\\3,\overline{3} \,\,\,\,\,\,\\\,\\ \pi \,\,\,\,\,\,\\\,\\ 4,8 \,\,\,\,\,\,\\\,\\ 5,4234567

Dal punto di vista insiemistico, l’insieme dei numeri reali, si rapporta agli altri insiemi numerici nel seguente modo:

L’insieme R contiene dunque l’insieme dei numeri reali N, dei numeri interi Z e dei numeri razionali Q. L’insieme R è a sua volta un sottoinsieme dei numeri complessi C.

Un insieme costituiti da numeri appartenenti ad R è detto insieme di numeri reali. Dunque qualsiasi sottoinsieme di R è un insieme di numeri reali. Nei prossimi paragrafi definiremo i concetti di insieme limitato, intervallo ed intorno

Insieme limitato

Sia dato un insieme A di numeri reali . Possiamo dire che:

      • l’insieme A è limitato superiormente se esiste un numero k che è maggiore o uguale di qualsiasi elemento di A.

In simboli matematici scriviamo:

\exist k \epsilon\R \,\,\,\, t.c. \,\,\, \forall x \epsilon A \,\,\,\,\, x \leq k

che si legge nel seguente modo:

Esiste un numero k appartenente all’insieme R tale che per ogni elemento x appartenente ad A x è minore o uguale a k.

Qualunque k appartenente a R che soddisfa tale proprietà è detto maggiorante di A. Un esempio di insieme A sottoinsieme di R potrebbe essere l’insieme di tutti i numeri reali minori di 100. Il valore k=100 è un maggiorante di A così come lo è il valore 101 o il valore 100020. Se un insieme p limitato superiormente allora esistono infiniti maggioranti di tale insieme.

      • A è limitato inferiormente se esiste un nmumero h che è minore o uguale di qualsiasi elemento di A

in simboli matematici scriviamo:

\exist h \epsilon  \R \,\,\,\, t.c. \,\,\,\,\forall x \epsilon A\,\,\,\, x\geq h

che si legge nel seguente modo:

Esiste un numero h appartenente all’insieme R tale che per ogni elemento x appartenente as A x è maggiore uguale a h.

Il numero h è un minorante dell’insieme A. Allo stesso modo di quanto visto prima, se un insieme è limitato inferiormente esistono infiniti minoranti di tale insieme.

      • Se l’insieme A è contemporanemanente limitato superiormente ed inferiormente allora si dice limitato.

Vediamo un esempio di insieme limitato.

L’insieme costituito da tutti gli elementi reali tali che

0\leq x \leq 3 

è contemporaneamente limitato inferiormente e superiormente.

Abbiamo detto che quando un insieme è limitato, esistono infiniti maggioranti e minoranti.

Tuttavia possiamo osservare che è sempre possibile individuare il più grande dei minoranti ed il più piccolo dei maggioranti. Essi si dicono rispettivamente estremo inferiore e superiore.

Se l’insieme A è limitato inferiormente, si dice ESTREMO INFERIORE di E e si indica con il simbolo infE il più grande dei suoi minoranti, o meglio, il massimo dell’insieme dei suoi minoranti

Se l’insieme A è limitato superiormente, si dice ESTREMO SUPERIORE di E e si indica con il simbolo sipE il più piccolo dei suoi maggioranti, o meglio, il minimo dei suoi maggioranti.

Nel caso in cui infA o supA sono dei numeri appartenenti ad A si dicono rispettivamente minimo di A e massimo di A.

Quando l’insieme A non è limitato abbiamo che:

infA= -\infty\\\,\\supA= +\infty
Intervallo

L’intervallo è un particolare insieme di numeri reali, in quanto caratterizzato da numeri che sono “contigui” tra loro. Dati due generici numeri a e b appartenenti ad R, si dice intervallo che va da a a b l’insieme dei numeri reali compresi tra a e b. L’intervallo si dice chiuso quando gli elementi che ad essi appartengono soddisfano la seguente relazione:

a \leq x \leq b

ovvero a e b sono due punti appartenenti all’intervallo.

L’intervallo, si dice aperto quando i numeri reali che gli appartengono soddisfano la seguente relazione:

a < x < b

L’elemento a si dice estremo sinistro dell’intervallo, mentre l’elemento b si dice estremo destro dell’intervallo. La quantità b-a si dice invece ampiezza dell’intervallo. Vediamo di seguito le notazioni utilizzate per esprimere diversi tipi di intervalli a seconda che siano aperti, chiusi, aperti da un lato o aventi come estremi più o meno infinito:

[a,b] \,\,\,\,\, intervallo\,\,\, chiuso\,\,\,\, a\leq x \leq b \\\,\\]a,b[ \,\,\,\,\, intervallo\,\,\, aperto \,\,\,\, a < x  < b \\\,\\ 
[a,b[ \,\,\,\,\, intervallo\,\,\, aperto\,\,\, a\,\,\, dx\,\,\,\, a\leq x < b \\\,\\ 
]a,b] \,\,\,\,\, intervallo\,\,\, aperto\,\,\, a\,\,\, sx\,\,\,\, a < x \leq b \\\,\\
] -\infty, b] \,\,\, corrisponde\,\,\, a\,\,\, x \leq b \\\,\\ ]-\infty, b] \,\,\, corrisponde\,\,\, a\,\,\, x < b 
[a, +\infty[ \,\,\, corrisponde\,\,\, x \geq a \\\,\\ ]a, +\infty] \,\,\, corrisponde\,\,\, a\,\,\, x >a \\\,\\ ]-\infty, +\infty[ \,\,\, corrisponde\,\,\, a\,\,\, \R

si noti che non è mai possibile scrivere:

[-\infty \,\,\,\ o \,\,\,\ +\infty ]

in quanto non esiste un intervallo chiuso aventi come estremi l’infinito.

Intorno di un punto

Vediamo adesso il concetto di intorno di un generico punto x0 :

Si definisce intorno di un punto x0 un qualsiasi intervallo aperto contenente x0

Vediamo di capire bene questa definizione con un esempio. Si consideri il punto x0 = 2. Sono intorni di tale punto i seguenti intervalli:

]0;4[ \\\,\\]1;3[ \\\,\\]1,5;2,5[ \\\,\\]0,+\infty[ \\\,\\]0,10[ \\\,\\

se la distanza del punto x0 è la stessa dagli estremi dell’intervallo, allora l’intervallo si dice centrato in x0.

Si dice intorno di x0 avente centro in x0 e semiampiezza σ ogni intervallo del tipo ] x0 – σ; x0 + σ[

ne sono un esempio i primi tre intervalli riportati nell’esempio precedente.

Anche + infinito e – infinito hanno un intorno. Si dice un intorno di + infinito qualsiasi intervallo del tipo:

]a; +\infty[

mentre si dice intorno di -infinito qualsiasi intervallo del tipo:

]-\infty ; b[

si dice invece intorno di infinto, qualsiasi intervallo del tipo:

]-\infty;b[\,\, \cup \,\,]a;+\infty[
Intorno destro ed intorno sinistro di un punto

E’ possibile anche definire un intorno solo a destra o a sinistra di un punto. Vediamo un attimo le due definizioni

Dato un punto x0, si dice intorno destro di tale punto ogni intervallo aperto a destra e avente come estremo sinistro x0

ciò significa che è un intorno destro qualsiasi intervallo del tipo:

x_{0} \leq x < x_{0} +\delta

ad esempio, un intorno destro del punto 0 è l’intervallo:

[0;3[

allo stesso modo:

Dato un punto x0, si dice intorno sinistro di tale punto ogni intervallo aperto a sinistra e avente come estremo destro x0

vale a dire ogni intervallo del tipo:

x_{0}-\delta < x \leq x_{0}

nel caso del punto 0 un esempio sarebbe:

]-4;0]
Punto di accumulazione

Dato un insieme di numeri reali A,

il punto x0 si dice punto di accumulazione dell’insieme A se in ogni intorno di x0 sono contenuti infiniti elementi di A

la definizione non esplicita che il punto debba appartenere ad A, quindi può essere esterno a tale insieme. Vediamo con alcuni esempi:

Sia dato l’insieme A:

2< x < 6

il punto 2 è esterno all’insieme A. Tuttavia, preso qualsiasi intorno del punto 2, in esso saranno presenti infiniti elementi di A.

    Insiemi di numeri reali