In questo appunto vediamo in cosa consiste l’incentro di un triangolo e quali sono le sue proprietà. Per poter comprendere a pieno i contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con i concetti di triangolo e di bisettrice di un angolo. In particolare in questo appunto vedremo:
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Definizione di incentro di un triangolo
Una proprietà importante dei triangoli è che:
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si intersecano in un punto interno ad esso detto incentro del triangolo
Questa proprietà è valida per qualsiasi tipo di triangolo. Vediamo nel prossimo paragrafo quali sono le principali proprietà di questo punto.
Proprietà dell’incentro
Vediamo di seguito alcune proprietà di questo punto:
- Si tratta di un punto sempre interno al triangolo, qualsiasi sia il tipo di triangolo
- Coincide con il centro della circonferenza inscritta al triangolo
- E’ equidistante dai tre lati. Questa proprietà deriva dalla proprietà precedente. Infatti i lati sono tangenti alla circonferenza inscritta al triangolo. In quanto tale il raggio della circonferenza coincide con la distanza del centro della circonferenza rispetto a ciascuno dei tre lati. Poiché il centro della circonferenza coincide con l’incentro ne risulta che l’incentro è distante da ciascun lato di una distanza pari al raggio della circonferenza inscritta
- In un triangolo equilatero l’incentro coincide con il baricentro, il circocentro e l’ortocentro.
- L’incentro divide ciascuna bisettrice in due parti. Tali parti sono proporzionali tra loro esattamente come lo sono gli altri due lati dei due triangoli in cui è diviso dalla bisettrice il triangolo originario.
Descriviamo meglio quest’ultima proprietà dell’incentro. Consideriamo il triangolo ABC:
Questa proprietà ci dice che la bisettrice AD divide il triangolo ABC in due triangoli aventi in comune come lato proprio la bisettrice AD: ABD e ACD. La proprietà ci dice che:
AO:OD=AC:CD=AB:BD
Allo stesso modo abbiamo per la bisettrice BE:
BO:OE=BC:CE=AB:AE
e per la bisettrice CF:
CO:OF=AC:AF=BC=BF
Dimostrazione incentro
Dimostrare che tutte le bisettrici di un generico triangolo si incontrano in un unico punto è piuttosto semplice. La bisettrice di un angolo per definizione è il luogo dei punti equidistanti dai due segmenti che costituiscono l’angolo. Tracciamo dunque la bisettrice AD e BE del triangolo. Il punto O di incontro sarà equidistante dal lato AB e dal lato AC in quanto appartenente alla bisettrice AD. Poiché O appartiene anche alla bisettrice BE, allora sarà equidistante dai lati AB e BC. Ne consegue che O è equidistante dai lati BC e AC. Ciò implica che O appartiene anche alla bisettrice CF.
Poiché il punto O è equidistante dai tre lati, sarà possibile tracciare una circonferenza avente come centro l’incentro e come raggio la distanza dell’incentro dai tre lati. Tale circonferenza è la circonferenza inscritta.
