In questo appunto vediamo in cosa consiste l’insieme dei numeri naturali e come questo si relaziona ad altri insiemi numerici. In particolare vedremo:

Per ulteriori appunti relativi agli insiemi numerici e operazioni con i numeri ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Cosa sono i numeri naturali

I numeri naturali sono i numeri più semplici con cui operare e sono i primi che impariamo ad utilizzare. Essi sono anche i numeri che per primi sono stati introdotti nella storia dell’uomo. Ad oggi ci sembra abbastanza intuitivo che una bottiglia ed un bicchiere hanno in comune il numero 1 che identifica la loro quantità. Nell’antichità il processo che ha portato ad associare un numero astratto ad uno o più oggetti è stato un processo lungo e graduale.

Ma quali sono i numeri naturali? Elenchiamoli:

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12 ....

abbiamo riportato i primi 12. Riportarli tutti è impossibili in quanto tali numeri sono infiniti. Ciò significa che per quanto possiamo pensare ad un numero grande, è sempre possibile pensare al suo successivo. Vediamo adesso alcune caratteristiche dei numeri naturali:

  • Si basano su un sistema di numerazione decimale posizionale. Ciò significa che ci sono dieci simboli (da qui il termine decimale) indicati con 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 i quali possono essere combinati tra loro per dare tutti i possibili numeri naturali. A seconda della posizione del simbolo all’interno del numero, questo assume un valore diverso (da qui il termine posizionale).
  • possono essere utilizzati per contare gli oggetto. Questo aspetto è detto cardinale
  • hanno la proprietà di poter ordinare gli oggetti. Questo aspetto è detto ordinale
  • Dato un numero naturale è sempre possibile poter individuare il suo naturale successivo
  • Non esiste un numero naturale per cui il suo successivo è il numero 0
  • Due numeri naturali distinti (diversi) avranno due successivi egualmente distinti

Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo i numeri naturali possono essere considerati come un insieme.

L’insieme N

I numeri naturali non sono gli unici numeri esistenti. Esistono, infatti, diversi altre tipologie di numeri (numeri relativi, razionali, irrazionali, reali…) ciascuna caratterizzata da proprietà ben definite e con un grado di complessità via via cresente. Per poter facilitare il rapporto che sussiste tra le diverse tipologie dei numeri si utilizza il concetto di insieme di elementi. L’insieme che rappresenta l’infinita quantità dei numeri naturali è indicato con la lettera N. Esso è l’insieme numerico più semplice. Rappresentiamo graficamente in un diagramma di Venn il rapporto che sussiste tra i diversi insiemi numerici:

insiemi numerici: i numeri naturali

Gli insiemi sono graficamente concentrici tra loro il che vuol dire che nel passaggio da un insieme a quello più grande si aggiungono dei numeri esclusi nel precedente senza però perdere nessuno degli elementi già presenti. I numeri naturali sono di fatto, contenuti in tutti gli insiemi numerici. Esistono anche dei sottoinsiemi di N  di cui il più noto è l’insieme N* che indica l’insieme di tutti i numeri naturali escluso lo zero:

\mathbb{N}^{*} = {1,2,3.,4....}

All’interno di N potremmo anche identificare il sottoinsieme dei numeri pari e quello dei numeri dispari

Rappresentazione geometrica 

Esiste una rappresentazione geometrica dell’insieme N e che utilizza il concetto di semiretta. Ricordiamo che una semiretta è un elemento geometrico che ha un’inizio e non ha una fine, proprio come l’insieme che vogliamo rappresentare. Ricordiamo infatti che N inizia con l’elemento 0, detto minimo dell’insieme, ma non è possibile individuare un elemento finale e quindi un massimo. Per quanto si possa pensare ad un numero grande, esiste sempre un numero naturale successivo. Per rappresentare l’insieme N su una semiretta, bisogna far coincidere dunque lo 0 con l’origine. Fissato poi una unità di misura u, occorre riportare tutti gli altri numeri secondo il verso della semiretta:

rappresentazione geometrica dei numeri naturali

procedendo dunque verso destra i numeri crescono. Ad ogni numero naturale n ne segue uno successivo che indicheremo con n+1, secondo una successione discreta. Ne risulta che ciascun numero è maggiore di tutti i numeri ad esso precedenti e minore di tutti i numeri ad essi successivi. Introducendo i simboli “<” minore e “>” maggiore, possiamo infatti scrivere relazioni del tipo:

10>3 \\\,\\2<7\\\,\\37<38\\\,\\2525214321>2

Dati dunque due numeri naturali n ed m è sempre possibile poterli confrontare tra oro (legge di tricotomia). Ne risulterà infatti, una delle seguenti tre relazioni:

n < m \,\\\,\, n>m;\,\\\,\, n=m \,\,\,

Per riassumere l’insieme N risulta essere:

  • infinito in quanto infiniti sono gli elementi che lo costituiscono
  • discreto in quanto la successione dei numeri non è continua ma prosegue aggiungendo +1 ad un numero per ottenerne il successivo. Vedremo che tra due numeri naturali successivi esiste un numero infinito di numeri non naturali.
  • ordinato in quanto ogni numero ha un suo successivo
I numeri naturali