In questo appunto vediamo in cosa consiste un fascio di parabole e le diverse tipologie di fasci possibili. La trattazione è molto simile a quella dei fasci di rette ma resa più complessa dal tipo di curva. Ricapitolando, qui vedremo:

Definizione di fascio di parabole

Un fascio di parabole altro non è che un insieme di infinite di parabole aventi una caratteristica in comune e descritte da un’equazione che dipende da un parametro. Come già visto per i fasci di rette, l’equazione di un fascio di parabole può essere facilmente ottenuta eseguendo una combinazione lineari tra le equazioni di due parabole espresse in forma implicita. Le due parabole saranno allora dette parabole generatrici del fascio. Consideriamo dunque le equazioni di due parabole

\begin{matrix}
y  = ax^{2}+bx+c\\ 
y = a'x^{2}+b'x+c'
\end{matrix}

e trascriviamo tali equazioni in forma implicita:

\begin{matrix}
y - ax^{2}+bx+c=0\\ 
y - a'x^{2}+b'x+c'=0
\end{matrix}

Adesso eseguiamo una combinazione lineare tra le due parabole moltiplicandole rispettivamente per i parametri μ e λ. Otteniamo dunque l’equazione:

\mu(y - ax^{2}+bx+c) + \lambda(y - a'x^{2}+b'x+c')=0

Questa equazione dunque rappresenta infinite parabole tante quante sono le infinite combinazioni dei parametri μ e λ. In particolare se:

  • μ=1 e λ=0 si ottiene la prima parabola generatrice
  • μ=0 e λ=1 si ottiene la seconda parabola generatrice

Tuttavia, può risultare più semplice esprimere l’equazione di un fascio di rette in funzione di un solo parametro. Tale forma può essere ottenuta facilmente dividendo entrambi i membri dell’equazione per μ imponendo che μ sia diverso da zero. Nota che la conseguenza dell’imporre μ diverso da zero è quella di esprimere il fascio in modo tale che sono escluse tutte le parabole del fascio ottenibili dalla precedente equazione per le quali μ=0, compresa la seconda parabola generatrice:

(y - ax^{2}+bx+c) + \frac{\lambda}{\mu}(y – a'x^{2}+b'x+c')=0

Adesso se chiamiamo k il rapporto λ/μ l’equazione può essere riscritta nella forma:

(y - ax^{2}+bx+c) + k(y – a'x^{2}+b'x+c')=0

ancora una volta facciamo notare che con k=0 si ottiene la prima parabola generatrice, mentre non esiste alcun valore di k che consenta di ottenere la seconda parabola generatrice. Tale parabola è allora detta parabola esclusa del fascio.

Tipi di fasci di parabole

Quando abbiamo parlato dei fasci di rette abbiamo visto che questi possono essere classificati in fasci propri o impropri a seconda che le rette che compongono il fascio abbiano 1 punto o nessun punto in comune. Anche nel caso dei fasci di parabole è possibile identificare diverse tipologie a seconda del numero di punti in comune tra queste parabole. Tali punti sono detti punti base del fascio. I punti base si possono identificare mettendo a sistema le due parabole generatrici o qualsiasi altra coppia di parabole appartenenti al fascio. Nel seguito vedremo quali sono i diversi possibili casi di fasci di parabole. Considereremo fasci di parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate ma quanto diremo è valido anche per parabole con asse parallelo all’asse delle ascisse.

Fasci di parabole senza punti base

Un fascio di parabole può essere privo di punti base. Ovvero non esistono punti del piano cartesiano dove le parabole si incontrano. Questo può accadere in due casi. Il primo quando le parabole sono caratterizzate dal medesimo asse di simmetria ed il secondo, quando le parabole hanno tutte asse di simmetria diverso.

Parabole con stesso asse di simmetria e nessun punto base

Consideriamo le due parabole:

\begin{matrix}
y=2x^{2}-4x+5\\ 
y=3x^{2}-6x+7
\end{matrix}

Tali parabole hanno lo stesso asse di simmetria in x=1. Eseguendo la combinazione lineare come fatto nel precedente paragrafo abbiamo:

y-2x^{2}+4x-5 +k(y-3x^{2}+6x-7)=0
fasci di parabole: no punti base e stesso asse

Dal grafico si possono notare due cose. La prima è che il fascio rappresenta sia parabole con concavità verso l’alto che parabole con concavità verso il basso. La seconda è che anche una retta appartiene al fascio. Si tratta di una parabola deenere. Se esprimiamo in forma esplicita l’equazione del fascio otteniamo:

y= \frac{2+3k}{1+k} x^{2} -\frac{4+6k}{1+k} +\frac{5+7}{1+k}

Questa equazione non consente di rappresentare il caso k=-1. Studiamo adesso il segno del coefficiente a. Ponendo la condizione a>0 otteniamo una disequazione fratta di primo grado. Risolvendola otteniamo i valori del parametro k per i quali le parabole hanno concavità verso l’alto. Nell’esempio proposto ciò accade quando k<-1 e k>-2/3. La concavità sarà verso il basso quindi quando -1<k<-2/3. Ponendo a=0 e otteniamo k=-2/3. Per tale valore di k, il fascio degenera nella retta parallela all’asse delle ascisse vista nel grafico.

Parabole con diverso asse di simmetria e nessun punto base

Un fascio può essere caratterizzato da parabole privi di punti base anche se queste hanno un asse di simmetria diverso. Prendiamo ad esempio le seguenti parabole:

\begin{matrix}
y=x^{2}-9x+2\\ 
y=-7x^{2}+9x-11
\end{matrix}

Se risolviamo il sistema di queste due equazioni per identificarne i punti in comune, non ne troveremmo. Il sistema dunque non ha soluzioni. Combiniamo linearmente le due parabole come fatto nell’esempio precedente otteniamo:

y-x^{2}+9x-2 +k(y+7x^{2}-9x+11)=0

Le parabole del fascio saranno del tipo:

Fasci di parbaole: no punti base diverso asse

Tutte le parabole sono caratterizzate dall’avere un proprio asse di simmetria diverso da quello di tutte le altre. Esprimendo l’equazione del fascio in forma esplicita possiamo studiare il coefficiente a:

y= \frac{1-7k}{1+k}x^{2}+ \frac{9k-9}{1+k}x + \frac{-2+11k}{1+k}

Il coefficiente a è nullo quando k=1/7. In questo caso la parabola degenera nella retta verde mostrata nel grafico sopra. Esso invece è maggiore di zero nell’intervallo di k compreso tra -1 e 1/7. Questo è il caso di tutte le parabole rappresentate a destra della retta nel grafico sopra. Tutte le parabole aventi valore di k al di fuori di questo intervallo avranno valore di a negativo e quindi concavità verso il basso.

Fasci di parabole aventi un unico punto base

I fasci di parabole possono essere caratterizzati dall’avere anche un unico punto base. Tale situazione può accadere in due casi. Nel primo le parabole si incrociano tutte nello stesso punto. Nel secondo caso, tutte le parabole del fascio sono tangenti ad una stessa retta t in un punto. Vediamo nel seguito i due casi.

Fasci di parabole che si incrociano in un punto

Consideriamo le seguenti due parabole generatrici:

\begin{matrix}
y=x^{2}-3x+4\\ 
y=x^{2}-5x+2
\end{matrix}

esse si incontrano nell’unico punto (-1;8) ed hanno il medesimo coefficiente a. Costruiamo il fascio di parabole eseguendo la combinazione lineare:

y-x^{2}-3x+4 + k (y-x^{2}+5x-2)=0

Le parabole del fascio sono del tipo:

fasci di parbaole: 1 punto base stessa concavità

riscrivendo l’equazione in forma esplicita eliminando così la possibilità di esprimere con la generica equazione la parabola che si otterrebbe con k=-1. Otteniamo:

y= \frac{1+k}{1+k}x^{2}+ \frac{-3-5k}{1+k}x +\frac{4+2k}{1+k} \Rightarrow \mathbf{y= x^{2}+ \frac{-3-5k}{1+k}x +\frac{4+2k}{1+k}}

il coefficiente a è sempre pari a 1 come per le parabole generatrici. Un fascio di parabole che si incrociano nello stesso punto, non può che esistere se non in condizioni in cui il coefficiente a sia uguale per tutte le parabole del fascio e non dipenda dal parametro k.

Fasci di parabole tangenti alla stessa retta in un punto

Nel secondo tipo di fascio abbiamo a che fare con parabole caratterizzate dal fatto di essere tutte tangenti ad una stessa retta in un punto. Consideriamo le due parabole:

\begin{matrix}
y= 2x^{2} -3x-2\\
y=x^{2} +3x-11
\end{matrix}

Tali parabole si incontrano nel solo punto A(3,7). Utilizziamo le formule di sdoppiamento nel punto A per calcolare le rette tangenti nel punto A alle due parabole:

\frac{y+y_{0}}{2}= axx_{0} +b\frac{x+x_{0}}{2}+c \Rightarrow \frac{y+7}{2}= 2x(3) -3\frac{x+3}{2}-2 \\\\\Rightarrow y+7 = 12x-3x-9-4  \Rightarrow \mathbf{y=9x-20}
\frac{y+y_{0}}{2}= axx_{0} +b\frac{x+x_{0}}{2}+c \Rightarrow \frac{y+7}{2}= x(3) +3\frac{x+3}{2}-11 \\\\\Rightarrow y+7 = 6x+3x+9-22  \Rightarrow \mathbf{y=9x-20}

Otteniamo dunque la stessa retta tangente. Le due parabole si dicono dunque tangenti tra loro. La combinazione lineare di tali parabole è dunque:

y- 2x^{2} +3x+2 +k(y-x^{2} -3x+11)=0

che darà parabole del tipo:

Parabole tangenti

riscrivendo l’equazione in forma esplicita eliminando così la possibilità di esprimere con la generica equazione la parabola che si otterrebbe con k=-1. Otteniamo:

y= \frac{2+k}{1+k}x^{2} + \frac{3k-3}{1+k}x - \frac{2+11k}{1+k}

applichiamo adesso la formula di sdoppiamento alla generica equazione del fascio nepunto A(3,7):

\frac{y+y_{0}}{2}  = axx_{0} + b\frac{x+x_{0}}{2} + c \Rightarrow \frac{y+7}{2}  = \frac{2+k}{k+1}x*3 +\frac{3k-3}{k+1}\frac{x+3}{2} -\frac{2+11k}{k+1} \\\Rightarrow \\\\\\ y+7= \frac{12x+6kx+3kx-3x+9k-9-4-22k}{k+1} \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ y+7= \frac{9x+9kx-13k-13}{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\  y= \frac{9x+9kx-13k-13 - 7k-7 }{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ y= \frac{9x(k+1)-20(k+1)}{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ \mathbf{y= 9x-20}

quindi utilizzando la formula di sdoppiamento sulla generica equazione del fascio nel punto A si ottiene comunque sempre la stessa retta! Studiamo adesso il coefficiente a di questa parabola. Ponendo a >0 otteniamo i valori di k per i quali le parabole avranno concavità verso l’alto. Tale condizione accade per k<-2 e k>-1. Ponendo invece a=0 otteniamo il valore di k per il quale la parabola degenera in una retta. Tale condizione accade per k=-2. Andando a sostituire questo valore di k nella equazione in forma esplicita otteniamo:

y= \frac{2+k}{1+k}x^{2} + \frac{3k-3}{1+k}x - \frac{2+11k}{1+k} \Rightarrow y= \frac{2-2}{1-2}x^{2} + \frac{3(-2)-3}{1-2}x - \frac{2+11(-2)}{1-2}  \Rightarrow  \mathbf{y=9x-20} 

che è proprio l’equazione della retta tangente alle due parabole generatrici nel punto A. Tutte le parabole del fascio, saranno tangenti nel punto A a tale retta.

Fasci di parabole con due punti base

Vediamo adesso il caso di due parabole che si incontrano in due punti A e B. Consideriamo due parabole generatrici caratterizzate da tale condizione:

\begin{matrix}
y = 3x^{2}+2x+1 \\ 
y = 2x^{2}+x+3
\end{matrix}

Tali parabole si incontrano nei punti A(-2;9) e B(1;6). Eseguiamo la combinazione lineare di tali parabole:

y - 3x^{2}-2x-1 +k(y – 2x^{2}-x-3)=0

a tale fascio fanno parte parabole del tipo:

Tutte le parabole si intersecano nei punti A e B in cui si intersecano le rette generatrici. Esprimiamo il fascio in forma esplicita eliminando quindi la possibilità di rappresentare la parabola per k=-1. Otteniamo:

y= \frac{3+2k}{1+k}x^{2}+\frac{2+k}{1+k}x+\frac{1+3k}{1+k}

dove a>0 se k <-2/3 o k>-1 e il fascio degenera in una retta per k=-2/3.

Parabole degeneri verticali di un fascio

Quando abbiamo parlato dell’equazione della parabola abbiamo visto che è possibile che questa possa degenerare in una retta. Negli esempi sopra riportati abbiamo visto per ciascun esempio come è possibile ottenere la parabola degenere di ciascun fascio imponendo il coefficiente a=0. In realtà in alcuni casi è possibile individuare altre rette appartenenti al fascio. Si tratta di rette verticali che passano per i punti base del fascio. Ciò accade quando si impone nell’equazione in forma implicita al parametro k il valore per il quale la variabile y si annulla (nelle combinazioni lineari proposte sopra ciò accade per k=-1). L’equazione del fascio diventa dunque una semplice equazione di secondo grado:

(a+a')x^{2}+(b+b')x+ c +c'=0

Risolvendo tale equazione di secondo grado possiamo avere 2 soluzioni reali e distinte (x1 diverso da x2), due soluzioni coincidenti (x1 uguale a x2) o 0 soluzioni nel campo reale. A ciascuna soluzione corrisponde una parabola che degenera in una retta verticale del tipo x=x1. E’ inutile dire che se un fascio di parabole ha due punti base ci saranno due rette verticali che passeranno rispettivamente per il primo ed il secondo punto base. La stessa cosa accade se le due parabole hanno un punto base.

Come studiare un fascio di parabole

Vediamo in questo paragrafo il percorso inverso rispetto a quanto fatto finora. Qui infatti proponiamo i passaggi fondamentali per studiare un generico fascio di parabole. Attenzione: non sempre negli esercizi il fascio di parabole è stato ottenuto eseguendo la combinazione lineare come mostrato nella teoria sopra. Ecco gli step da seguire:

  1. Identificare le parabole generatrici del fascio o se più semplice assegnare due valori del parametro k ed individuare due parabole del fascio.
  2. Identificare i punti base del fascio
    1. Se il fascio si incontra in 0 punti, studiare il segno del coefficiente a. E’ possibile inoltre completare l’esercizio provando a identificare se:
      1. Le parabole del fascio hanno lo stesso asse di simmetria
      2. Le parabole hanno diverso asse di simmetria
    2. Se il fascio si incontra in 1 punto, studiare il segno del coefficiente a. E’ possibile inoltre completare l’esercizio provando a identificare se:
      1. parabole tangenti
      2. parabole caratterizzate dallo stesso coefficiente a
    3. Se il fascio si incontra in due punti, studiare il coefficiente a
  3. Identificare le rette degeneri del fascio:
    1. Imporre il coefficiente a=0
    2. Identificare le rette verticali passanti per i punti base del fascio.

In altri esercizi può essere richiesto di calcolare una parabola del fascio che rispetta una particolare condizioni. In questo caso non serve altro che imporre tale condizione per individuare il valore del parametro k e di conseguenza l’equazione della parabola

Esempi di esercizi

Esempio 1

Studiare il seguente fascio di parabole y= (k+1)x2 -2kx+k-5

1)Identifichiamo due parabole del fascio imponendo due valori al coefficiente k

Per k=0 otteniamo

y=x^{2}-5

per k=-1 otteniamo:

y=2x-6

Otteniamo in quest’ultimo caso la prima parabola che degenera in una retta.

2) Adesso individuiamo se esistono i punti base del fascio mettendo a sistema le due equazioni ottenute:

\left\{\begin{matrix}
y=x^{2}-5 \\ 
y=2x-6 

\end{matrix}\right.

sottraiamo la seconda equazione alla prima e otteniamo la seguente equazione di secondo grado:

x^{2}-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^{2}=0

a cui sono associate due soluzioni coincidenti x=1. Calcoliamo adesso l’ordinata del punto base sostituendo l’ascissa 1 ad una delle due equazioni. Otteniamo:

y=2x-6 \Rightarrow y=2(1)-6=-4

Il punto A(-1;4) è l’unico punto base del fascio.

Adesso che sappiamo che le parabole del fascio hanno un punto in comune chiediamoci con che tipo di fascio abbiamo a che fare. ricordiamo le 2 opzioni in cui in un fascio si ha un punto in comune:

  • Parabole con stesso coefficiente a
  • Parabole tangenti ad una stessa retta nel loro punto in comune.

Possiamo facilmente escludere la prima opzione. Siamo quindi nel caso in cui le parabole sono tangenti ad una stessa retta nel punto in comune. La retta è proprio la parabola degenere y=2x-6 (potresti utilizzare la formula di sdoppiamento sulla prima parabola per conferma).

Studiamo adesso il segno del coefficiente a del fascio imponendolo >0. Otteniamo:

k+1>0 \Rightarrow k>-1

Le parabole del fascio hanno concavità verso l’alto se k>-1. In caso diverso hanno concavità verso il basso.

3) Adesso identifichiamo le parabole degeneri. La prima è proprio y=2x-6. Ci aspetteremmo di trovare anche x=-1 come retta verticale. In realtà, per come è stato rappresentato il fascio di rette non è possibile identificare tale parabola degenere. Non esiste infatti alcun valore di k che annulli la variabile y. Se invece effettuiamo la combinazione lineare delle due parabole individuate ad inizio esercizio e come indicato nella nostra teoria, otteniamo:

y-x^{2}+5+t(y-2x+6)=0

Si tratta in questo caso dello stesso fascio di parabole ma in questo caso imponendo t=-1 otterremo proprio l’equazione della parabola che degenera nella retta verticale e passante per il punto base.

Esempio 2

Studiare il seguente fascio di parabole y+ky-x2+kx2+2x-2kx+3-3k=0

1)In questo caso identifichiamo le due parabole generatrici del fascio raccogliendo il termine k dove presente:

y-x^{2}+2x+3+k(y+x^{2}-2x-3)=0

Le due parabole generatrici saranno allora:

y=x^{2}-2x-3 \\ \\ y=-x^{2}+2x+3

2) Identifichiamo i punti base mettendo le due parabole a sistema. Risolviamo il sistema di equazioni sostituendo la seconda parabola alla prima. Otteniamo:

2x^{2}-4x-6 = 0 \Rightarrow x^{2}-2x-3 = 0

a cui corrispondono le ascisse dei punti base x=-1 e x=3. Andiamole a sostituire in una delle equazioni del fascio ed otterremo in entrambi i casi l’ordinata y=0. I punti base del fascio sono dunque A(3;0) e B(-1;0). Si tratta dunque di un fascio con due punti base. Esprimiamo l’equazione del fascio in forma esplicita per studiare il segno di a. Otteniamo:

y=\frac{1-k}{1+k}x^{2}+\frac{2k-2}{1+k}x+\frac{3k-3}{1+k}

Studiamo il segno di a ponendo:

\frac{1-k}{1+k}>0

si tratta di una disequazione fratta di primo grado con soluzioni in -1<k<1. Quindi in questo intervallo le parabole avranno concavità verso l’alto.

3) Identifichiamo le parabole degeneri. Dalla teoria ci aspettiamo ben 3 parabole degeneri. La prima parabola degenere si ottiene imponendo a=0. Questo accade per k=1. Otteniamo y=0. Questo risultato non ci sorprende in quanto i due punti base hanno entrambi ordinata zero.

Le altre due parabole degeneri si ottengono individuando il valore di k tale da annullare la variabile y quando il fascio è espresso in forma implicita. ci aspettiamo dalla teoria che queste coincidano con le rette verticali passanti per i punti base sopra individuati:

y-x^{2}+2x+3+k(y+x^{2}-2x-3)=0 \Rightarrow (1+k)y + (k-1)x^{2} + ( 2-2k)x+3-3k=0

ciò accade quando k=-1. L’equazione diventa:

-2x^{2} +4x+6=0

Otteniamo la stessa equazione di secondo grado risolta precedentemente per il calcolo dei punti base. Le rette x=3 e x=-1 sono parabole degeneri del fascio.

I fasci di parabole