In questo appunto definiamo e spieghiamo la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali. In particolare vedremo:

Per ulteriori appunti di fisica I, cinematica e dinamica ti rimandiamo al seguente link.

Definizione di vettore

Un vettore è un ente geometrico definito come un segmento “orientato” all’interno di uno spazio detto spazio vettoriale. Per poter definire in maniera univoca un vettore, è necessario che esso abbia:

  • un modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento o la sua intensità. Il modulo è dunque la misura della lunghezza del vettore rispetto ad una unità di misura (vettore unitario o versore) ed in quanto tale, è la caratteristica che consente di poter confrontare tra loro due vettori.
  • una direzione, che identifica la retta su cui giace il vettore e ne identifica la collocazione nello spazio
  • un verso, che identifica il verso lungo il quale si “muove” il vettore ed in fisica, rappresenta il verso in cui una grandezza fisica esprime la sua azione.
  • un punto di applicazione. Il punto di applicazione è una caratteristica che vedremo essere essenziale all’applicazione in fisica dei vettori ma non è significativa nella definizione di vettore come ente matematico. Dato un oggetto, l’effetto di una grandezza fisica vettoriale su un punto dell’oggetto sarà diverso se lo stesso vettore, con medesime caratteristiche è applicato ad un punto diverso dell’oggetto
grandezze scalari e vettoriali: vettore

Prima di passare alla definizione di grandezze scalari e grandezze vettoriali, vediamo ancora alcune caratteristiche e definizione dei vettori.

Notazione di un vettore

In generale un vettore è indicato con una lettera avente una freccia sopra di se. Se consideriamo un generico vettore v, la notazione da utilizzare sarà allora:

\overrightarrow{v}

mentre indicheremo il modulo del vettore con la notazione:

|\overrightarrow{v}|

l’utilizzo corretto della notazione è fondamentale in quanto riportare in una formula il vettore o il suo modulo ha un significato completamente diverso. Il modulo di un vettore è infatti un numero privo di direzione e verso. Sarà più facile capire questo concetto quando saranno note le operazioni tra vettori.

Vettore unitario

Per vettore unitario si intende un vettore di lunghezza unitaria. Se utilizzati per indicare una determinata direzione ed un determinato verso, sono detti versori. I versori più noti sono quelli che indicano la direzione ed il verso degli assi cartesiani nello spazio e che possono essere indicati dalle notazioni:

\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z} \\\,\\\
\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} 

Vedremo, quando parleremo delle operazioni tra vettori, che un vettore può essere scomposto nelle sue componenti rispetto agli assi cartesiani. I versori aiutano in questo caso ad identificare la direzione ed il verso di ciascun componente in cui il vettore è stato scomposto. Dato un generico vettore v, il versore avente stessa direzione e stesso verso è dato dal rapporto del vettore stesso v per il suo modulo:

\overrightarrow{vers(\overrightarrow{v})} = \frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}

Vettore nullo

Si tratta di un vettore di lunghezza nulla. Come per lo zero in matematica, una delle caratteristiche principali del vettore nullo è che sommato a qualsiasi altro vettore, lascia tale vettore invariato in modulo, direzione e verso.

Vettori equipollenti

Due vettori si dicono equipollenti se hanno il medesimo modulo, la medesima direzione ed il medesimo verso:

I vettori riportati in figura sono tutti equipollenti. Le rette su cui giacciono sono tutte parallele tra di loro ed esprimono la medesima direzione. Il verso dei vettori è il medesimo. Come già detto in precedenza, la definizione matematica di vettore non tiene conto del punto di applicazione del vettore. In fisica, non è possibile trascurare questa caratteristica. Ciascuno dei vettori in figura, produrrà un effetto diverso in fisica, in quanto il punto di applicazione di ciascun vettore è diverso.

Definizione di grandezze scalari e di grandezze vettoriali

Dopo aver introdotto il concetto di vettore, possiamo dare una definizione di grandezze scalari e di grandezze vettoriali. La definizione di vettore in fisica, infatti, nasce dall’idea che non tutte le grandezze fisiche possono essere rappresentate semplicemente da un numero e da una unità di misura. Le grandezze fisiche che godono della proprietà di poter essere rappresentate completamente da un numero e da una unità di misura sono dette grandezze scalari. L’unità di misura esprime la dimensione della grandezza fisica.

Alcuni esempi di grandezze scalari sono: la temperatura, la lunghezza, la massa, il tempo etc… Per queste grandezze, non esistono una direzione ed un verso nei quali si esprime la misura della grandezza. Ad esempio la massa di un corpo, non è diversa a seconda della direzione in cui è misurata. Dunque un corpo che ha una massa di 50 kg non esprime questa sua caratteristica in una particolare direzione o in un particolare verso.

Una grandezza vettoriale, al contrario, per poter essere completamente caratterizzata richiede di conoscerne modulo, direzione, verso, punto di applicazione ed unità di misura. Dunque le grandezze vettoriali sono rappresentate da un vettore ed il loro effetto dipende fortemente dalla direzione e dal verso in cui tali grandezze sono misurate. Un esempio di grandezze vettoriali in fisica sono: lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza, la pressione etc..

Immaginiamo ad esempio di misurare la velocità di un corpo e di rilevare il valore di 30 m/s. Esprimere la velocità con il solo valore non fornisce un’informazione completa. In che direzione il corpo ha questa velocità? Può infatti accadere che l’oggetto viaggi a 30 m/s nella direzione in cui abbiamo eseguito la misura e viaggi ad esempi a 1m/s nella direzione a questa ortogonale. In che verso si muove a 30m/s? Il corpo si muove in avanti o indietro? Per rappresentare dunque completamente la grandezza velocità è necessario esprimere non solo il valore della misura, ma anche la sua direzione ed il suo verso

Forza come esempio di grandezza vettoriale

La grandezza vettoriale più facile da capire è sicuramente la forza. Il concetto di forza è un concetto che in fisica è introdotto con la dinamica e quindi non immediatamente. Possiamo però intuirne il significato dalla nostra esperienza quotidiana. Immaginiamo di avere un cellulare poggiato su un tavolo ed di spostarlo applicando la forza con un dito. 

Il modulo della forza esprime l’intensità della forza stessa. Possiamo spingere il telefono leggermente oppure applicare una forza più consistente.  Per capire il concetto di direzione potremmo fare due prove:

  • Cosa succede se applico la forze perpendicolarmente al centro del lato lungo del cellulare?
  • Cosa succede se applico la stessa forza con un angolo diverso sullo stesso punto?

Il verso potrebbe essere invece collegato alle azioni di “spingere” o “tirare”. Potremmo infatti applicare la stessa forza sia per spingere il telefono che per tirarlo. Per comprendere il concetto di punto di applicazione invece, potremmo fare altre due prove:

  • Che cosa succede se applico una forza al centro del lato più lungo del cellulare?
  • Cosa accade se applico
Grandezze scalari e grandezze vettoriali