In questo breve appunto vediamo in che modo è possibile calcolare la gittata di un moto parabolico da un punto di vista cinematico. Per comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario avere familiarità con i concetti di legge oraria, moto parabolico, moto uniformemente accelerato e moto rettilineo uniforme. In particolare in questo appunto vedremo:

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Come calcolare la gittata
gittata moto parabolico

Partiamo dalle due leggi orarie che governano il moto parabolico:

  • Moto uniformemente accelerato lungo l’asse verticale y
  • Moto rettilineo uniforme lungo l’asse x

La gittata per definizione è la distanza percorsa lungo l’asse x che un corpo soggetto ad un moto parabolico percorre prima di toccare terra. In questo paragrafo trattiamo il caso semplice di un moto parabolico che in cui l’altezza di partenza del corpo e quella di arrivo sono le medesime. Dunque per poterla calcolare è necessario:

  • Conoscere l’istante in cui il corpo tocca terra e quindi imporre y=0 avendo definito il sistema di riferimento in modo tale che l’origine degli assi sia coincidente con il punto di partenza del corpo
  • Utilizzare questo valore per verificare la distanza percorsa in x con moto rettilineo uniforme

Ovviamente non è necessario ripetere sempre questo iter. Lo faremo una volta in questo paragrafo per determinare una formula generale. Dunque, riportiamo le due leggi orarie dal punto di vista vettoriale:

y=y_{0}+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \\\,\\ x=x_{0}+v_{0x}t \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

Essendo il nostro sistema di riferimento tale che il suo origine coincide con la posizione di partenza del moto, possiamo scrivere:

y_{0} =0 \,\,\,\, x_{0}=0

Dunque le nostre formule diventano:

y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^{2} \\\,\\ x=v_{0x}t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

Adesso poniamo come condizione che la posizione in y del corpo sia 0 per determinare in quale istante di tempo questa condizione si verifica. Ciò significa porre:

0= v_{0y}t- \frac{1}{2}gt^{2}
Risolviamo:
t(v_{0y}-\frac{1}{2}at)=0

ricaviamo le seguenti soluzioni:

t_{1} =0 \\\,\\ t_{2} = \frac{2v_{0t}}{g}

Ovviamente l’istante t1 non è da prendere in considerazione per il calcolo della gittata. Si tratta del momento in cui il corpo parte ed è necessariamente a quota y=0. Andiamo a sostituire t2 alla legge oraria del moto rettilineo uniforme. Otteniamo la formula per la gittata:

x=v_{0v}t \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x=\frac{2v_{0x} v_{0y}}{g}

Essa dipende dunque dai valori della velocità costante v0x e della velocità iniziale v0y. Considerando α come l’angolo che il vettore velocità v forma con la sua componente v0x, possiamo ricavare da v i valori delle due componenti:

v_{0x} = |v| cos\alpha \\\,\\ v_{0y} = |v|sin \alpha

dove con |v| si intende il modulo del vettore:

\overrightarrow{v}

Sostituendo le componenti ottenuto nella nostra formula per la gittata otteniamo:

x=\frac{2|v|^{2}cos\alpha sin\alpha}{g}

Gittata massima

Con la formula espressa in questo modo, possiamo ricavare una informazione molto interessante, ovvero la gittata massima in condizioni di v e g costanti. Per calcolarla occorre o individuar eil massimo della funzione derivando per α, oppure possiamo notare la seguente relazione dalle formule di duplicazione:

2cos\alpha sin\alpha = sin 2\alpha

Adesso, sappiamo che la funzione seno ha il suo massimo nel primo quadrante quando il suo argomento è pari a 90°. Ciò significa che la gittata massima la otteniamo quando:

2\alpha = 90° \\\,\\ \alpha =45°

Dunque, essa è pari a:

x=\frac{|v|^{2} }{g}

Si ricorda ancora una volta che la formula della gittata ricavata in questo appunto è relativa al caso specifico in cui il punto di partenza e di arrivo sono alla stessa altezza (piano di terra).

Esercizio 1

Calcolare la gittata massima di una freccia scoccata alla velocità di 110 m/s

L’esercizio chiede di calcolare la gittata massima, ovvero quella che si avrebbe scoccando la freccia con una pendenza di 45°. Applichiamo la formula generale:

x=\frac{|v|^{2} }{g} =\frac{110^{2}}{9,81} = 1233m
Esercizio 2

Calcolare la gittata di un proiettile sparato con una velocità iniziale di 350m/s con una inclinazione pari a 30°. Calcolare la gittata dello stesso proiettile su Giove (24,79m/s2) e su Plutone (0,62 m/s2)

Iniziamo con il primo quesito, ovvero il calcolo della gittata di un proiettile sparato con inclinazione 30°. Utilizziamo la formula generale per la gittata:

x=\frac{2|v|^{2}cos\alpha sin\alpha}{g} = \frac{2*350^{2}cos30 sin30}{9,81} =\frac{2*350^{2}\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} }{9,81} =10,8km

Calcoliamo adesso il caso in cui lo stesso proiettile fosse stato sparato su Giove:

x=\frac{2|v|^{2}cos\alpha sin\alpha}{g} = \frac{2*350^{2}cos30 sin30}{24,79} =4,2 km

Eseguiamo il calcolo per Plutone:

 

x=\frac{2|v|^{2}cos\alpha sin\alpha}{g} = \frac{2*350^{2}cos30 sin30}{0,62} =171,1 km
Gittata di un moto parabolico
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