In questo appunto vediamo in cosa consiste l’asse di un segmento, quali sono le sue proprietà e le implicazioni in geometria. In particolare vedremo:

Per ulteriori appunti di geometria piana o di geometria analitica ti rimandiamo ai relativi indici degli argomenti (geometria piana; geometria analitica)

Cose è l’asse di un segmento

L’asse di un segmento è una retta perpendicolare al segmento stesso e passante per il suo punto medio. Consideriamo dunque un generico segmento AB ed il suo punto medio in M e rappresentiamo l’asse del segmento mediante una retta tratteggiata che forma con il segmento un angolo retto:

asse di un segmento

 

poiché il segmento è tagliato esattamente a metà, l’asse del segmento è un asse di simmetria. Ad ogni punto del segmento AM corrisponderà un punto del segmento BM di uguale distanza dal punto medio M. Secondo questa logica, i due estremi A e B del segmento, si corrispondono per simmetria assiale.

Asse di un segmento come luogo geometrico di punti

L’asse di un segmento può essere definito anche come luogo geometrico di punti. Questo vuol dire che esiste una definizione tale da definirlo esprimendo una proprietà di cui godono tutti i punti ad esso appartenente. Tale definizione è la seguente:

“L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento stesso”

Ciò significa che non solo il punto M, appartenente al segmento, ma tutti i punti dell’asse sono tali da soddisfare l’equidistanza. Al contempo, la definizione ci dice anche che non esiste nessun punto appartenente al piano che sia equidistante dagli estremi del segmento e non appartenente all’asse del segmento. Proviamo a dimostrare questi due concetti.

Consideriamo innanzitutto un punto P dell’asse di un segmento avente come estremi i punti AB ed il cui punto medio lo indichiamo con M:

asse di un segmento, dimostrazione

Consideriamo adesso i due triangoli AMP e BMP. Di tali due triangoli possiamo dire che:

  • i due triangoli hanno il lato PM in comune
  • si tratta di due triangoli rettangoli perché per definizione l’asse è ad esso perpendicolare. Dunque possiamo dire che
A\widehat{M}P = B\widehat{M}P  = 90°
  • i due lati AM e MB sono congruenti tra loro poiché per definizione l’asse passa per il punto medio del segmento che è equidistante dagli estremi. Dunque:
\overline{AM}=\overline{MB}

per il primo criterio di congruenza dei triangoli, poichè i due triangoli AMP e BMP hanno due lati congruenti e l’angolo fra essi compreso congruente, allora i due triangoli sono congruenti. Ciò significa che:

\overline{AP} =\overline{PB} 

e dunque, come volevasi dimostrare, preso un punto P generico appartenente all’asse, si verifica che questo è equidistante dagli estremi del segmento.

Verifichiamo adesso il secondo concetto: se un punto è equidistante dagli estremi A e B del segmento allora questo appartiene sicuramente all’asse dello stesso. Si formerà dunque un triangolo APB:

asse di un segmento, dimostrazione due

tale triangolo è certamente un angolo isoscele. Come tale l’altezza PH (perpendicolare alla base) è anche mediana della base AB. Poiché P appartiene sia all’altezza che alla mediana rispetto alla base AB, esso non può che appartenere all’asse del segmento AB.

Circocentro di un triangolo

Una proprietà importante dei triangoli è che gli assi dei propri lati si incontrano tutti in uno stesso punto detto circocentro. A seconda del tipo di triangolo con cui abbiamo a che fare, la posizione del circocentro cambia:

asse di un segmento e circocentro

In particolare potremmo riassumere dicendo:

  • In un triangolo acutangolo il circocentro è un punto interno al triangolo:
    • Il caso più generico è quello del triangolo scaleno dove non ci sono particolarità sulla posizione del circocentro
    • Se il triangolo è isoscele, il circocentro è anche su una delle altezze, una delle mediane ed una delle bisettrici del triangolo
    • Se il triangolo è equilatero, il circocentro coincide con il baricentro e con l’ortocentro. Dunque il circocentro è posizionato su tutte le altezze, tutte le mediane, e tutte le bisettrici del triangolo. In questo caso il circocentro coincide con l’ortocentro, il baricentro e l’incentro.
  • Quando il triangolo è rettangolo, il circocentro è un punto posizionato sull’ipotenusa. In particolare il circocentro è il punto medio dell’ipotenusa
  • In un triangolo ottusangolo il circocentro è posizionato esternamente al triangolo

La caratteristica principale del circocentro è quella di essere il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, ovvero il centro della circonferenza che passa per i vertici del triangolo. Da cosa deriva questa peculiarità? Consideriamo ancora un generico triangolo:

L’asse del lato AB è tale che qualsiasi suo punto è equidistante sia da A che da B. L’asse del lato AC è tale che qualsiasi suo punto è equidistante ad A e a C. Ne consegue che, il punto di incontro di anche solo dei due assi nel punto O, consente di dire:

\overline{AO} =\overline{OC} =\overline{OB} 

forzatamente anche il terzo asse si incontrerà nel punto O con gli altri due. Questa proprietà vale per qualsiasi triangolo ed è legata ad una proprietà della circonferenza per la quale, dati tre punti non allineati esiste sempre una circonferenza passante per essi.

Poligoni regolari e circonferenza inscritta e circoscritta

Non è possibile estendere quanto detto per i triangoli a tutti i tipi di poligoni. Se infatti per tre punti non allineati passa sempre una circonferenza, ciò non succede quando i punti aumentano. Dato un qualsiasi poligono, è possibile determinare una circonferenza ad essa circoscritta se e solo se gli assi dei lati del poligono si incontrano in un punto detto ancora circocentro. Ciò accade sempre nel caso dei poligoni regolari, ovvero di poligoni convessi equilateri ed equiangoli al contempo. In questo particolare caso infatti, il circocentro coincide con l’incentro (punto di incontro delle bisettrici). Ne risulta che per ciascun poligono regolare è sempre possibile inscrivere e circoscrivere una circonferenza. Vediamo nella figura sotto l’esempio di un eptagono regolare.

asse di un segmento e poligoni regolari
Geometria analitica: come calcolare l’asse di un segmento

Poiché l’asse di un segmento è una retta nel piano, è possibile in geometria analitica calcolarne l’equazione rispetto ad un piano cartesiano. Abbiamo approfondito questo aspetto quando abbiamo parlato della retta proponendo anche degli esercizi. Riportiamo in breve la formula che ne consente di calcolare l’equazione. Dato dunque un segmento AB di cui note le coordinate degli estremi e note le coordinate del suo punto medio M, l’equazione dell’asse è data da:

y-y_{M} = -\frac{1}{m_{AB}}(x-x_{M})

dove mAB è il coefficiente angolare della retta che passa per i punti A e B ed è dato da:

m_{AB} = \frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}

Ricordiamo inoltre che, se le coordinate del punto medio non sono note, è possibile calcolarle se sono note le coordinate degli estremi del segmento:

x_{M} = \frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\\,\\
y_{M} = \frac{y_{A}+y_{B}}{2} 

 

Geometria piana: asse di un segmento