In questo appunto parleremo della retta, della sua definizione quale ente geometrico e le sue caratteristiche in un piano cartesiano. I contenuti riportati in questo appunto sono:

Per il formulario sulle rette ed esempi di esercizi ti rimandiamo ai seguenti link:

Definizione della retta come luogo geometrico di punti e postulati di Euclide

La retta è un ente primitivo in quanto insieme al punto e al piano è uno dei costituenti da cui derivano tutti gli altri enti geometrici. Essa è un insieme ordinato di punti caratterizzato da una lunghezza infinita, in quanto si estende all’infinito in entrambe le direzioni, ed uno spessore nullo. E’ un luogo geometrico di punti in quanto esiste una proprietà che caratterizza tutti i punti che la compongono rispetto agli altri punti del piano cartesiano.

I punti infatti che appartengono ad una retta sono quelli che soddisfano la sua equazione. Nel piano cartesiano esistono infinite rette. L’equazione di una retta descrive in maniera univoca solo una di queste:

la retta nel piano cartesiano

Una retta nel piano cartesiano è indicata con una lettera minuscola come r, s, t.

Equazione di una retta: forma implicita e forma esplicita.

L’equazione di una retta consente di descrivere in modo univoco una retta all’interno del piano cartesiano. In generale una retta è descritta da un’equazione lineare del tipo:

questa viene detta forma implicita di una retta ed è caratterizzata da 3 coefficienti (a, b e c) e da due variabili (x e y). Affinché un punto possa essere considerato appartenente a tale retta, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione quando sostituite alle variabili x e y. L’equazione della retta può essere scritta anche nella sua forma esplicita

Confrontando le due equazioni ed eseguendo semplici passaggi algebrici, possiamo verificare che:

ne consegue allora che

e

Queste ultime due espressioni consentono di passare dalla forma implicita a quella esplicita molto velocemente.

Le due forme quindi:

e

identificano la medesima retta:

E’ importante segnalare come l’equazione implicita di una retta consenta di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano. Questo non è vero per la forma esplicita in y. Infatti nel caso in cui il coefficiente b dell’equazione esplicita fosse uguale a 0 avremmo la forma ax+c=0 che rappresenta una qualsiasi retta parallela rispetto all’asse delle y. Queste rette non sono rappresentabili nella forma esplicita in quanto m=-a/b. Ricordiamo che in una frazione il denominatore non può essere mai nullo. In questo caso si può esplicitare l’equazione della retta in x, ottenendo x=-c/a.

Diversamente, in forma esplicita è possibile rappresentare tutte le rette parallele rispetto all’asse delle x. In questo caso infatti a=0 e l’equazione implicita diventa by+c=0 e y=-c/b.

Coefficiente angolare e intercetta di una retta

L’equazione della retta scritta in forma esplicita è caratterizzata da due coefficienti detti rispettivamente coefficiente angolare ed intercetta della retta. Vediamo cosa rappresentano questi due coefficienti ed in che modo essi aiutano ad identificare univocamente una retta nel piano cartesiano. Consideriamo l’equazione della retta in forma esplicita

m è detto coefficiente angolare e q intercetta della retta o ordinata all’origine. Vediamo nei seguenti paragrafi i significati di questi due coefficienti

Coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare di una retta esprime l’angolo che la retta forma con l’asse x delle ascisse. Consideriamo ad esempio una retta del tipo y = mx, ovvero una retta con intercetta q= 0 (e quindi come vedremo in seguito, passante per l’origine degli assi) e formante con l’asse delle ascisse un angolo generico alfa.

Consideriamo al contempo la circonferenza goniometrica (circonferenza di raggio 1 e centro nell’origine degli assi x e y). La retta intercetterà la circonferenza goniometrica nel punto A. Ricordiamo dai nostri appunti di goniometria, che la proiezione del segmento OA sull’asse delle ascisse è il coseno dell’angolo alfa mentre la proiezione sull’asse delle ordinate è il seno dell’angolo alfa:

Il punto A della retta che interseca la circonferenza goniometrica, avrà coordinate x = cosα e y= sinα. Poiché tale punto appartiene alla retta abbiamo che:

sostituendo a x e y i valori delle coordinate del punto A abbiamo:

da cui:

Il coefficiente angolare altro non è che la tangente dell’angolo compreso tra la retta e l’asse delle ascisse. Ricordiamo che la tangente di un angolo può assumere qualsiasi valore tra -infinito e più infinito. Vediamo in cosa consiste geometricamente la tangente di un angolo rispetto alla circonferenza goniometrica:

Segno del coefficiente angolare

A coefficienti angolari positivi (da 0 a +infinito) corrispondono rette che formano un angolo da 0 a 90° con l’asse delle ascisse. A coefficienti angolari negativi invece corrispondono rette che formano un angolo da 90° a 180° con l’asse delle ascisse. Più l’angolo tende verso 90° più m tende verso infinito. A 90° m non ha un valore e per tali valori non esiste una equazione esplicita della retta. Vediamo adesso come varia la retta al variare del valore m per valori positivi di m considerando ancora il caso di rette avente intercetta q=0:

Vediamo adesso come varia la retta al variare del malore di m per valori negativi di m:

Intercetta q

L’intercetta q esprime invece il punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate. Infatti, all’asse delle ordinate appartengono tutti i punti del piano cartesiano per cui l’ascissa ha valore nullo. Partiamo nuovamente dalla equazione della retta in forma esplicita:

se x=0 allora y=q. Qualsiasi retta esprimibile in forma esplicita interseca l’asse delle ordinate in un punto A aventi ordinate (0,q).

Rette parallele e rette perpendicolari

Una conseguenza diretta del coefficiente angolare riguarda la posizione relativa di due rette tra di loro. E’ intuibile che due rette aventi lo stesso coefficiente angolare sono parallele tra di loro in quanto formano lo stesso angolo con l’asse delle ascisse.

Quindi date due equazioni di rette scritte in forma esplicita:

la condizione necessaria e sufficiente per poter parlare di parallelismo è:

L’uguaglianza di coefficienti angolari dell’equazione di due rette in forma esplicita garantisce il parallelismo. Come esercizio ti proponiamo di ragionare sulla figura sopra riportata e utilizzando il teorema di Talete relativo alle rette parallele tagliate da una trasversale. Considera nel nostro caso come trasversale l’asse delle x e considera gli angoli delle rette con l’asse delle x come angoli corrispondenti. Ricordiamo due casi particolari di rette parallele:

  • rette parallele all’asse delle x: si tratta di rette con equazione esplicita y=q. Il coefficiente angolare m è nullo.
  • rette parallele all’asse delle y: per queste rette non esiste un’equazione esplicita i y. Tali rette hanno equazione x=c. Il coefficiente angolare è impossibile da calcolare in quanto nel rapporto -a/b il termine b è nullo

E’ possibile dal coefficiente angolare capire anche quando due rette sono perpendicolari tra di loro?

Immaginiamo una retta r con coefficiente angolare m ed immaginiamo di voler conoscere il coefficiente angolare della retta s ad essa perpendicolare m’. Sappiamo che il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo alfa che la retta r forma con l’asse delle x:

La retta s perpendicolare alla retta r, formerà un angolo con l’asse delle x maggiore o minore di alfa appunto di 90°.

ma per le proprietà della funzione tangente sappiamo che

ne consegue che m’ =-1/m e che due rette perpendicolari devono soddisfare la relazione:

E’ importante concludere che ogni retta ha infinite rette a se parallele ed infinite rette a se perpendicolari. All’uguaglianza e alla reciprocità di m è associata un’infinità di valori dell’intercetta o ordinata all’origine q.

Rette particolari

In questo paragrafo ti invitiamo a riflettere sui contenuti sopra esposti e a rappresentare alcune rette particolari. E’ importante avere bene in mente le caratteristiche di alcune di queste rette per la risoluzione degli esercizi.

Retta bisettrice primo e terzo quadrante y=x

La retta con equazione y=x è la bisettrice del primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Questa retta, infatti, forma un angolo di 45° sia con l’asse delle x che con l’asse delle y. La sua equazione con coefficiente angolare m=1 ci fornisce già questa informazione. Infatti, l’angolo per il quale la tangente è 1 è proprio 45° o π/4.

 

Retta bisettrice secondo e quarto quadrante y=-x

La retta y=-x è invece la bisettrice del secondo e quarto quadrante. Il suo coefficiente angolare ci dice che essa forma un angolo di 135° o 3/4π con l’asse delle x nel suo verso positivo. Ciò però vuol dire che la retta forma un angolo di 45° con lo stesso asse nel suo verso negativo e formerà un angolo di 45° con il verso positivo dell’asse delle y.

Rette che formano un angolo di 30 o 60 gradi con l’asse delle x

Nella risoluzione di esercizio sui triangoli può essere necessario saper riconoscere le rette che formano un angolo di 30° o 60° con l’asse delle x. Si tratta di rette con equazione rispettivamente:

dove il coefficiente angolare della prima equazione è la tangente di 30° o π/6 mentre il coefficiente angolare della seconda equazione è la tangente di 60° o π/3. Allo stesso modo, le rette con equazione:

formano rispettivamente un angolo di 150° (o 5/6π) e 120° (o 2/3π) con l’asse delle x.

Fasci di rette proprio e improprio

Un fascio di rette è un insieme di rette definito da un’equazione parametrica. Si distinguono due tipi di fasci di rette:

  • fascio di rette proprio: è l’insieme delle infinite rette che intersecano un determinato punto nel piano cartesiano
  • fascio di rette improprio: è l’insieme delle infinite rette caratterizzate da uno stesso coefficiente angolare e quindi parallele tra di loro

Vediamo due esempio di questi due tipi di fasci:

Vediamo nei prossimi paragrafi le caratteristiche di tali fasci

Fascio di rette proprio in forma esplicita

Come definito sopra, un fascio di rette proprio è l’insieme delle infinite rette caratterizzate dall’avere uno stesso punto del piano cartesiano in comune. Ognuna di queste rette avrà una propria equazione che la descrive con un proprio coefficiente angolare ed una intercetta.

Come rappresentiamo allora in termini di equazione un fascio di questo tipo? Immaginiamo che il punto in comune, centro del fascio di rette, sia il punto A con coordinate xA e yA. Consideriamo la retta r del fascio con coefficiente angolare mr. Dal formulario, sappiamo che per calcolare l’equazione di una retta conoscendo il coefficiente angolare ed un suo punto, vale la formula:

La stessa formula vale per qualsiasi retta s e t. Possiamo quindi sostituire il coefficiente angolare mr della retta r con un generico parametro k che rappresenta tutti i coefficienti angolari delle rette del fascio. Si ottiene dunque:

Questa è l’equazione di un fascio di rette proprio in forma esplicita rappresentante l’infinito numero di rette passanti per il punto A.. In alcuni casi, si predilige la notazione m(k) per rappresentare il generico coefficiente angolare:

Vedremo la rappresentazione i un fascio di rette proprio in forma implicita nei prossimi paragrafi

Fascio di rette improprio in forma esplicita

L’equazione del fascio in questo caso è molto semplice. Un fascio di rette improprio è un fascio di rette parallele e quindi caratterizzate dallo stesso coefficiente angolare. ad esempio, il fascio di rette improprio con coefficiente angolare pari a 3 è dato dalle rette:

y=3x; y=3x+1; y=3x-40; y=3x + 2/3….

Ciò che varia nelle equazioni è solo il valore dell’intercetta. Possiamo quindi scrivere l’equazione dl fascio improprio nella seguente forma:

dove k rappresenta i valori di tutte le possibili ordinate all’origine o intercette..

Equazione di un fascio di rette in forma implicita

In forma implicita è possibile esprimere sia un fascio di rette proprio che un fascio di rette improprio. Vedremo che per entrambi i casi l’equazione è la medesima ed è del tipo:

Vediamo nel seguito in che modo si arriva a tale equazione. Consideriamo due rette del piano cartesiano rispettivamente con equazione in forma implicita del tipo:

In che posizione reciproca possono trovarsi queste due rette? Esse possono essere o due rette che si incontrano in un determinato punto oppure due rette tra di loro parallele e che quindi non si incontrano mai. Per sapere il punto di incontro o di intersezione delle due rette è necessario risolvere un sistema di equazioni del tipo:

Risolvere tale sistema a 2 equazioni vuol dire individuare quel valore di x e quel valore di y che soddisfano entrambe le equazioni. Tali valori rappresentano l’ascissa e l’ordinata del punto di intersezione delle due rette rappresentate da quelle equazioni. In realtà, nel risolvere il sistema di equazioni possiamo avere ben 3 casi:

  1. Una coppia di valori ben definita di ordinate del punto di intersezione. Le due rette quindi si incontrano in tal punto
  2. Il sistema non ha soluzioni. Non esiste un punto di intersezione e quindi le due rette sono parallele
  3. Il sistema ha infinite soluzioni. Le due equazioni rappresentano la stessa retta o si dice che le due rette sono coincidenti
Generare un fascio di rette con una combinazione lineare

Adesso, indipendentemente in quale dei tre ci troviamo, dai principi di equivalenza dei sistemi lineari sappiamo che una combinazione lineare delle equazioni del sistema è ancora un’equazione per la quale vale la soluzione del sistema stesso Quindi si possono avere i seguenti tre casi:

1. se le due rette iniziali si incontrano per un punto, anche la retta ottenuta mediante un’equazione lineare si incontra i tale punto.

2.Se le due rette iniziali sono parallele, allora anche la loro combinazione lineare sarà parallela alle due.

3. Se le due rette sono coincidenti, anche la loro combinazione lineare sarà coincidente ad esse.

La combinazione lineare si ottiene moltiplicando entrambe le equazioni per un valore. In questo caso scegliamo μ per la prima equazione e λ per la seconda equazione ottenendo:

μ e λ sono dei parametri. notiamo che se μ=0 allora la combinazione lineare coincide con la seconda equazione. Se λ = 0 allora la combinazione lineare coincide con la prima equazione. μ e λ possono assumere qualsiasi valore. Ne risulta che la combinazione lineare può rappresentare infinite rette. La combinazione lineare in funzione dei due parametri μ e λ rappresenta quindi un fascio di rette e le due rette iniziali vengono dette rette generatrici del fascio. In particolare:

  1. Quando le due rette si incontrano in un punto il fascio descritto è un fascio proprio</>
  2. Se le due rette sono parallele il fascio descritto è improprio
  3. Se le due rette sono coincidenti, per qualsiasi valore dei due parametri, si ottiene sempre l’equazione della stessa retta
Combinazione lineare in funzione di un solo parametro k

In generale però si preferisce esprimere il fascio in funzione di un solo parametro k. Allora, imponendo μ diverso da 0 e dividendo entrambi i membri per μ, si esprime la combinazione lineare nel seguente modo:

dove le due rette ax++by+c e a’x+b’y+c’ sono dette rette generatrici del fascio. Quest’ultima forma consente di rappresentare tutte le rette del fascio tranne una. Infatti, la retta a’x+b’y+c’ si otteneva ponendo μ=0 condizione che si contrappone con quella di essere diverso da zero necessaria per ottenere questa forma. La retta a’x+b’y+c’ allora si dice retta esclusa del fascio e non è possibile ottenerla per alcune valore di k. Si è soliti dire che tale retta la si ottiene per k che tende a infinito.

Geometria: la retta, definizione ed equazioni
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