Geometria analitica: la parabola, definizione ed equazioni

In questo appunto parleremo della parabola, della sua definizione quale ente geometrico e le sue caratteristiche in un piano cartesiano. I contenuti riportati in questo appunto sono:

• Definizione della parabola: luogo geometrico di punti e curva conica
• Elementi di una parabola
• Equazione della parabola:
  • Dimostrazione
• Coefficienti della parabola
  • a
  • b
  • c
• Equazione della parabola in forma canonica
• Come definire gli elementi di una parabola:
  • Vertice
  • Fuoco
  • Direttrice
  • Asse di simmetria
• Posizione di una retta rispetto ad una parabola
• Intersezione con gli assi cartesiani
• Fasci di parabole

Per il formulario sulle parabole ti rimandiamo ai seguenti link dove troverai la spiegazione su come:

• Disegnare una parabola sul piano cartesiano
• Verificare appartenenza di un punto ad una parabola
• Trovare Fuoco, direttrice, asse e vertice di una parabola
• Intersezione della parabola con gli assi cartesiani
• Punti di incontro di una retta con una parabola
• Calcolare la retta tangente ad una parabola
  • Formule di sdoppiamento
• Calcolare l’equazione di una parabola:
  • Passante per tre punti
  • Passante per un punto e con fuoco noto
  • Noto vertice e passante per un punto
  • Dato fuoco e direttrice

Definizione della parabola: luogo geometrico di punti e curva conica

La parabola è un luogo geometrico di punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola. Rappresentiamo tale definizione in termini grafici attraverso la seguente immagine:

Si verifica dunque la relazione:

per qualsiasi punto del piano cartesiano appartenente alla parabola. Un’altra definizione è quella che deriva dalle curve coniche. Essa infatti è la curva che si genera per intersezione tra un cono a due falde ed un piano parallelo ad una delle rette generatrici del cono a due falde.

Nel piano cartesiano, possono esistere infinite parabole con infinite direttrici diverse:

In questo appunto, tratteremo la parabola nel piano cartesiano ed in particolare la nostra attenzione sarà rivolta solo a parabole aventi l’asse di simmetria parallelo all’asse delle y ed all’asse delle x.

Elementi di una parabola

Ogni parabola ha 4 elementi che la descrivono:

• Asse di simmetria: retta che divide la parabola in due parti simmetriche tra di loro
• Direttrice: retta perpendicolare all’asse di simmetria e verso la quale ogni punto della parabola deve essere distante quanto lo è dal fuoco
• Fuoco: punto non appartenente alla parabola ed interno ad esso. Ogni punto della parabola deve essere equidistante da esso e dalla direttrice
• Vertice: si tratta di un punto appartenente alla parabola ed è il punto di intersezione di questa con il suo asse di simmetria.

Vediamo in questa figura questi 4 elementi:

Equazione della parabola

In questo paragrafo vediamo quale è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y o all’asse delle x. L’equazione di una qualsiasi parabola nel piano cartesiano è un’equazione quadratica, quindi con grado massimo pari a 2, del tipo:

se però l’asse di simmetria è parallelo all’asse delle y o delle x, l’equazione si semplifica molto. Nel primo caso, quando l’asse di simmetria è parallelo all’asse delle y si ottiene un’equazione in forma esplicita del tipo:

nel secondo caso, quando l’asse di simmetria è parallelo all’asse delle x, la formula si semplifica in:

Per poter parlare di parabola, il coefficiente a delle equazioni sopra riportate deve essere diverso da zero. Se a fosse uguale a zero, otterremo l’equazione di una retta! Adesso vedremo la dimostrazione dell’equazione della parabola nel caso di asse parallelo all’asse delle y. La dimostrazione per il caso parallelo all’asse delle x è del tutto simile.

Dimostrazione

Nella prima figura di questo appunto, F è il fuoco della parabola, P un generico punto della parabola ed H è la proiezione del generico punto P rispetto alla retta direttrice di equazione y=k. Per interpretare la definizione della parabola come luogo geometrico di punti data sopra, allora deve accadere che:

Partendo da questa relazione, dimostriamo la forma:

Per farlo, dobbiamo calcolare la lunghezza dei segmenti PF e PH e utilizzare la relazione di uguaglianza sopra mostrata. Possiamo calcolare il segmento PF utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra due punti. Poiché P rappresenta qualsiasi punto della parabola, indicheremo le sue coordinate con le generiche variabili x e y. Otteniamo dunque:

Per il segmento PH, dovremmo utilizzare la formula del calcolo della distanza di un punto da una retta. Poiché la direttrice è parallela all’asse delle x ed ha equazione y=k, possiamo assumere che il punto H avrà la stessa ascissa del punto P e avrà un’ ordinata pari a k. La distanza PH sarà pari a :

uguagliando le due formule di PF e PH otteniamo:

eleviamo entrambi i membri dell’equazione al quadrato. Ricordiamo che il quadrato di un modulo è uguale al quadrato del suo argomento. Per cui:

da cui, sviluppando i quadrati:

il termine y quadro si annulla. A questo punto raccogliamo il fattore y:

con

ovvero il fuoco non deve giacere sulla direttrice. L’ultima equazione ottenuta è proprio una forma del tipo:

dove:

abbiamo quindi dimostrato l’equazione della parabola.

Coefficienti a,b e c dell’equazione di una parabola

Una volta determinata l’equazione di una parabola è importante capire quale effetto producono i coefficienti a,b e c sulla parabola.

Coefficiente a

Il coefficiente a è il primo coefficiente della parabola. Esso determina sia il grado di concavità della parabola che la sua direzione. Vediamo in questo grafico come varia la forma della parabola al variare del valore di a valori positivi di a:

All’aumentare del valore di a, la parabola si sposta verso sinistra, diminuisce la sua concavità, che è sempre rivolta verso l’alto, ed il fuoco e la direttrice si avvicinano. Per apprezzare meglio il solo effetto di a, consideriamo la parabola y=ax² con i coefficienti b e c=0. Essa ha vertice nell’origine degli assi e asse di simmetria coincidente con l’asse delle y. Avendo annullato b, si annulla lo spostamento della parabola nel piano cartesiano. Vediamo cosa accade considerando i soli valori positivi di a:

dove con lo stesso colore sono stati disegnati la parabola, il suo fuoco e la sua direttrice. Come si vede dal grafico, quando la parabola si chiude (a aumenta), il fuoco e la direttrice si avvicinano tra loro. Adesso eliminiamo il fuoco e la direttrice e consideriamo anche valori negativi del coefficiente a:

Abbiamo 3 casi da valutare:

• caso a>0: la concavità della parabola è rivolta rivolta verso la direzione positiva delle ascisse. Al diminuire del suo valore, il fuoco e la direttrice si allontanano tra di loro. Il fuoco è posizionato sopra la direttrice. Nell’immagine sopra non abbiamo riportato fuoco e direttrice delle parabole per rendere più semplice da analizzare.
• a=0. Si tratta del caso limite che si ottiene diminuendo il valore di del coefficiente fino ad annullarlo. Questo accade perché la direttrice e il fuoco si allontanano all’infinito (il denominatore di a 2f-2k tende all’infinito). La parabola in questo caso degenera in una retta.
• caso a<0. Il fuoco e la direttrice tornano a riavvicinarsi ma cambiando la loro posizione relativa. Il fuoco adesso è sotto la direttrice e la concavità è rivolta verso il basso

Infine, dal grafico sopra mostrato, le parabole mostrano una simmetria rispetto all’asse delle x. Questo accade solo ed esclusivamente quando b e c sono nulli.

Coefficiente b

Il coefficiente b è il secondo coefficiente della parabola. Per capire il suo effetto sull’equazione della parabola, facciamo variare b e lasciamo a e c costanti. Consideriamo ad esempio la parabola di equazione:

vediamo in che modo questa varia al variare del coefficiente b.

Possiamo fare alcune osservazioni dalla figura. All’aumentare del coefficiente b la parabola si muove verso sinistra nel piano cartesiano senza cambiare la sua concavità (che dipende dal coefficiente a) e senza cambiare la sua intersezione con l’asse delle ordinate (che dipende dal coefficiente c).

simmetria rispetto all’asse delle ordinate

Le parabole sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate. Vediamo ad esempio le due parabole:

e riportiamo in figura i loro grafici

dall’immagine è evidente la simmetria delle parabole rispetto all’asse delle ordinate. Ricordiamo che due figure sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate se ad ogni punto P(x;y) è associato un punto P(-x;y). Consideriamo le due parabole riportate nel grafico e verifichiamo il loro comportamento in un generico punto x e nel suo corrispettivo -x e con le equazioni delle due parabole calcoliamo i valori delle ordinate:

In sostanza, ciò che accade per valori positivi di x ad una parabola, accade all’altra per valori negativi di x. Questo comportamento diventa limite nel caso in cui b=0 dove la parabola è unica ed ha il suo asse di simmetria coincidente con l’asse delle ordinate.

Movimento di fuoco e vertice

Un’altra caratteristica che si può notare dal movimento delle parabole è il movimento del fuoco e del vertice delle parabole. Riportiamo nel seguente grafico il movimento dei vertici:

i vertici si muovono formando un’altra parabola. Si dimostrerà in seguito che le coordinate del vertice di una parabola sono:

ricavando la b da x_V e sostituendolo nell’equazione di y_V otteniamo:

stessa cosa si può dimostrare per i fuochi delle parabole che avranno invece equazione:

dove vedremo che x_V e x_F sono identici. Ne consegue dunque che fuoco e vertice si muovono al variare di b seguendo la traiettoria di due parabole aventi coefficiente a uguale ed opposto a quello della parabola originaria.

b come coefficiente angolare della retta tangente al punto di incontro della parabola con asse y

Un’ultima caratteristica è che il coefficiente b determina il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto di intersezione con l’asse delle ordinate. Questo concetto può essere dimostrato facilmente utilizzando le formule di sdoppiamento nel punto (0,c).

Coefficiente c

L’ultimo, ed il più semplice da comprendere dei coefficienti di una parabola è il coefficiente c. Esso è il termine noto dell’equazione di una parabola ed esprime il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate (x=0). Infatti, se poniamo la condizione x=0, dall’equazione della parabola ricaviamo y=c. Il punto P(0,c) è il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate. Nel grafico che segue mostriamo come varia una parabola mantenendo a e b costanti e variando il solo coefficiente c:

La parabola mantiene la sua concavità ed il suo asse di simmetria non cambia. Varia solo l’intersezione della parabola con l’asse delle ordinate. Importante notare che se c=0 (parabola in grigio), la parabola intersecherà l’asse delle ordinate nell’origine degli assi O(0,0). Se abbiamo a che fare con una parabola orizzontale di equazione x=ay²+by+c, allora c rappresenta il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ascisse.

Equazione in forma canonica

L’equazione di una parabola si dice espressa in forma canonica se il suo asse di simmetria coincide con uno degli assi cartesiani ed il suo vertice coincide con l’origine degli assi. Vedremo nel seguito come calcolare le coordinate del vertice, ma possiamo dire adesso che questo accade solo se i coefficienti b (influenza la posizione dell’asse di simmetria) e c (influenza l’intersezione con asse delle y) sono nulli. Seconda questa definizione quindi, tutte le parabole del tipo:

sono parabole espresse in forma canonica. Adesso consideriamo una generica parabola di equazione:

per ridurla in forma canonica occorre trovare un nuovo sistema di assi cartesiani che indicheremo con X e Y tale che l’equazione della parabola diventi:

Il nuovo sistema di assi cartesiani si ottiene dall’originale attraverso un movimento di traslazione. Il che vuol dire che il nuovo sistema di assi cartesiani si ottiene dall’originale mediante un movimento congiunto di tutti i punti in una medesima direzione (espressa in figura dal vettore in blu):

Ma quanto deve essere spostato il nuovo sistema rispetto al precedente per poter ottenere l’equazione in forma canonica? Poniamo la relazione tra le variabili dei due sistemi:

il che significa che da qualsiasi coppia di coordinate (X,Y) del nuovo sistema di assi cartesiani, è possibile calcolare la coppia di coordinate del vecchio sistema. Banalmente, l’origine del nuovo sistema di assi cartesiani O(X=0, Y=0), si troverà nel punto indicato nel vecchio sistema di assi cartesiani A(k,t). Sostituiamo i valori di x e y all’equazione della parabola iniziale. Otteniamo:

da cui si ricava un’equazione generale per la parabola nel nuovo sistema di assi del tipo:

con:

ma la forma canonica che vogliamo ottenere è tale che B=0 e C=0. Per cui dalla relazione ottenuta per B otteniamo:

sostituendo il valore di k nella relazione ottenuta per C, e ponendo C=0 abbiamo:

con:

ma i valori di k e t vedremo nel seguito che corrispondono proprio alle coordinate del vertice della parabola nel sistema di coordinate x e y. Quindi avremo:

per cui, per sapere come i valori delle coordinate di un qualsiasi punto del vecchio sistema si trasformano nel nuovo, possiamo usare la relazione:

ovvero per ciascun punto del vecchio sistema occorre sottrarre le coordinate del vertice della parabola. Relazioni simili si ottengono se la parabola ha un asse di simmetria parallelo rispetto all’asse delle x. Ricorda però che in questo caso le formule delle coordinate del vertice si invertono!

Come definire gli elementi di una parabola

La parabola è descritta da alcuni elementi caratteristici che in questo paragrafo andiamo a determinare:

• Vertice
• Fuoco
• Direttrice
• Asse di una parabola

Nel seguito li vediamo uno per uno, definendo sia cosa essi rappresentano e sia come calcolare le loro coordinate, nel caso del vertice e del fuoco, e le loro equazioni, nel caso della direttrice e dell’asse di simmetria, partendo dai coefficienti dell’equazione della parabola. Nel seguito è importante ricordare che, nella dimostrazione dell’equazione di una parabola avente asse di simmetria parallelo all’asse delle y, eravamo giunti alle seguenti relazioni:

dove xF e yF erano le coordinate del fuoco, e y=k è l’equazione della direttrice della parabola. utilizziamo le prime due equazioni per ottenere le coordinate del fuoco in funzione di a,b e c:

dove a deve essere diverso da zero per poter apparire al denominatore. Ma questo non è un problema in quanto se a fosse zero non avremmo una parabola. In questo primo passaggio abbiamo ottenuto il valore dell’ascissa del fuoco. Continuiamo con le sostituzioni:

dall’ultima equazione risolviamo per k e otteniamo:

adesso ponendo:

otteniamo:

dove il delta è proprio lo stesso utilizzato nella risoluzione delle equazioni e disequazioni di secondo grado. Abbiamo visto quindi come ricavare le informazioni del fuoco e della direttrice, direttamente dai parametri dell’equazione di una parabola. Le relazioni ottenute valgono nel caso di parabole aventi asse di simmetria parallelo all’asse delle y. Per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x, si possono ottenere relazioni simili, ma invertite in termini di ordinate e ascisse. Adesso utilizziamo le relazioni ottenute per descrivere i vari elementi di una parabola.

Vertice di una parabola

Il vertice di una parabola è un punto appartenente alla parabola avente delle particolari caratteristiche:

• Esso è il punto di incontro della parabola con il suo asse di simmetria. Essendo appartenente anche all’asse di simmetria, il punto della parabola ad esso simmetrico coincide con se stesso.
• E’ allineato al fuoco nel senso che con esso ne condivide una coordinata (per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y, la coordinata è l’ascissa).
• Si tratta di un punto estremo della parabola. Questo vuol dire che:
  • nel caso di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y:
    • se a>0 il vertice è il punto minimo della parabola. Non esiste nessun altro punto di quest’ultima con un valore di ordinata più piccolo di quella del vertice
    • se a<0 il vertice è il punto di massimo della parabola. Non esiste nessun altro punto di quest’ultima con un valore di ordinata più grande di quella del vertice
  • nel caso di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x:
    • se a>0 il vertice è l’estremo sinistro della parabola. Non esiste un punto di quest’ultima con un valore di ascissa più piccolo di quello del vertice
    • se a<0 il vertice è l’estremo sinistro della parabola. Non esiste un punto di quest’ultima con un valore di ascissa più grande di quello del vertice

Come calcolare il vertice di una parabola

Caso 1 – asse di simmetria parallelo all’asse delle y

Vediamo adesso in che modo calcolare le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y conoscendone l’equazione. Partiamo dalle seguenti relazioni ottenute precedentemente:

dove x_F e y_F sono le coordinate del fuoco e y=k è l’equazione della direttrice. Il vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y ha in comune con il fuoco l’ascissa. Possiamo quindi concludere che x_V=x_F. Discorso diverso è invece per l’ordinata y_V . Ricordiamo, che essendo il vertice un punto appartenente alla parabola, esso deve essere equidistante dal fuoco e dalla direttrice. Poiché il vertice appartiene all’asse di simmetria, e l’asse di simmetria è perpendicolare alla direttrice, ne consegue che la proiezione del vertice sulla direttrice è il punto P(x_V, k). Scriviamo adesso la relazione di equidistanza del vertice dal fuoco (vedi distanza tra due punti allineati) e dalla direttrice:

il che significa risolvere due equazioni:

la prima equazione è vera se y_F è uguale a k, il che significa che il fuoco si trova sulla direttrice e questo è impossibile (potremmo dire che tende ad esserlo per a che tende ad infinito). Risolviamo la seconda equazione:

sostituendo a y_F e k i valori:

otteniamo che:

le coordinate del vertice sono dunque:

Caso 2 – asse di simmetria parallelo all’asse delle x

Per questo caso valgono tutte le considerazioni fatte per il caso precedente. Non ripeteremo i calcoli. Le coordinate del vertice in questo caso sono invertite:

Fuoco

Il fuoco è un punto caratteristico della parabola ma non appartenente ad essa. Esso infatti è interno ad essa ed è tale che ogni punto di questa sia distante da esso tanto quanto sarà distante da una retta detta direttrice. Il fuoco, come il vertice è un punto dell’asse di simmetria. Per questo motivo come per il vertice, una delle sue coordinate coincide con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria (ascissa nel caso di asse parallelo all’asse delle y e ordinata nel caso di asse di simmetria parallelo all’asse delle x ). Vediamo nel seguito quali sono le formule che consentono di ricavare le coordinate del fuoco a partire dai coefficienti dell’equazione della parabola.

Caso 1: asse di simmetria parallelo all’asse delle y

Le due formule per calcolare le coordinate del fuoco sono:

dove

Caso 2: asse di simmetria parallelo all’asse delle x

Le coordinate del fuoco in questo caso si invertono:

Direttrice di una parabola

La direttrice è una retta esterna alla parabola tale che ogni punto appartenente a quest’ultima è distante da essa tanto quanto esso è distante dal fuoco. Dire che la direttrice è una retta esterna significa dire che non esiste alcun punto di intersezione tra la direttrice e la parabola. La posizione della direttrice, come quella del fuoco, determina dunque i coefficienti dell’equazione della parabola. Ad esempio, più fuoco e direttrice sono vicini tra di loro e più è grande il coefficiente a. Vediamo adesso quali sono le formule che consentono di calcolare l’equazione della direttrice. Se abbiamo a che fare con una parabola con asse verticale, l’equazione è:

Nel caso in cui si ha a che fare con una parabola con asse di simmetria orizzontale, l’equazione è del tipo:

Asse di simmetria

L’asse di simmetria è una retta che taglia la parabola dividendola in due parti uguali. Essa passa per il vertice ed il fuoco. Dire che la parabola ha un asse di simmetria vuol dire che esiste una simmetria assiale. L’equazione dell’asse di simmetria è molto facile da calcolare. Per parabola verticali, essa avrà un’equazione esplicita il cui l’unico termine è pari all’ascissa del vertice e all’ascissa del fuoco. Per parabole verticali, quindi l’asse di simmetria ha equazione:

La stessa formula vale nel caso di una parabola orizzontale, ma in questo caso l’equazione dell’asse di simmetria sarà pari a:

coincidendo in questo caso con l’ordinata del fuoco e del vertice.

Posizione di una retta rispetto ad una parabola

Una retta ed una parabola all’interno di un piano cartesiano possono posizionarsi tra di loro in 3 modi:

• La retta può essere esterna alla parabola se non interseca la parabola in alcun punto
• Se la retta interseca la parabola in uno o due punti, allora questa è detta secante della parabola. Una retta può essere secante in un solo punto rispetto alla parabola solo se essa è parallela all’asse di simmetria. Tutte le infinite rette parallele all’asse di simmetria sono anche rette secanti della parabola in un punto di essa
• La retta può anche avere un punto in comune con la parabola senza intersecarla. In questo caso essa è detta retta tangente alla parabola

Vediamo nella seguente immagine i casi appena elencati

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo in che modo algebricamente è possibile riconoscere i casi sopra esposti.

Retta e parabola: risoluzione algebrica

Per poter identificare la posizione di una retta rispetto ad una parabola l’operazione algebrica richiesta è la risoluzione del sistema con le equazioni delle due. Risolvere tale sistema significa individuare delle coppie di coordinate cartesiane, e quindi dei punti, che soddisfano sia l’equazione della retta che l’equazione della parabola. In parole spicciole, significa trovare i punti in comune alla retta e alla parabola. La risoluzione del sistema può condurre a tre risultati diversi:

• Il sistema ha due soluzioni reali e distinte. Allora la retta è secante rispetto alla parabola e la interseca in due punti del piano cartesiano
• Le soluzioni sono reali e coincidenti. In questo caso abbiamo a che fare con una retta tangente alla parabola.
• Il sistema non ha soluzioni reali. In questo caso la retta sarà esterna alla parabola.
• Nel caso in cui abbiamo a che fare con una retta parallela all’asse di simmetria e quindi con una retta secante in un solo punto, il sistema mostrerà un’unica soluzione. Vedremo nel seguito che algebricamente si tratta di un caso diverso dai tre precedenti.

Vediamo adesso in che modo otteniamo tali 3 casi andando a risolvere un generico sistema. Consideriamo le generiche equazioni esplicite di una qualsiasi retta e di una parabola con asse verticale e poniamo le due equazioni a sistema:

sostituiamo all’equazione della parabola la y con il valore dell’equazione della retta:

si ottiene dunque un’equazione di secondo grado. Proviamo a risolverla applicando la sua formula caratteristica. Utilizzeremo per quest’ultima una notazione leggermente diversa da quella solita, per non indurre il lettore in confusione nella risoluzione:

dove, dall’equazione ottenuta ricaviamo:

a’=a

b’= b-m

c’ = c-q

otteniamo dunque:

Adesso indichiamo l’argomento della radice con la lettera greca delta. Per non confonderla con il delta utilizzato per le coordinate del fuoco e del vertice, utilizziamo una notazione diversa:

Adesso, quest’ultimo valore può assumere:

• > 0 e allora il sistema di equazioni ammette due soluzioni reali e distinte. Allora la retta è secante alla parabola e la interseca nei due punti individuati.
• < 0 e allora il sistema non ammette soluzioni. La retta è esterna alla parabola
• = 0 e allora il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti. La retta è tangente alla parabola in suo punto.

Il sistema generico appena mostrato non contempla il caso di una retta parallela all’asse di simmetria. In questo caso il sistema sarebbe del tipo:

La prima equazione ci fornisce subito il valore dell’ascissa del punto di intersezione della retta con la parabola. Sostituendo il valore di x all’equazione della parabola otteniamo il valore dell’ordinata:

Allora il generico punto P(k, ak²+bk+c) è l’unico punto di intersezione della retta con la parabola. In altre parole, la retta è secante rispetto alla parabola in un solo punto.

Intersezione con gli assi cartesiani

Dopo aver visto in che modo è possibile definire la posizione relativa di una retta e di una parabola vediamo il caso di due particolari rette del piano cartesiano, ovvero quelle coincidenti con gli assi cartesiani.

Ricordiamo che:

• x=0 è l’equazione dell’asse delle ordinate
• y=0 è l’equazione dell’asse delle ascisse

Per definire se una parabola interseca gli assi cartesiani, occorre mettere a sistema la sua equazione con quella dell’asse cartesiano di interesse. Vediamo i vari casi.

Parabola con asse verticale

Vediamo in che modo una parabola con asse verticale interseca gli assi cartesiani.

1. Asse delle ordinate: poiché l’asse delle ordinate è parallelo all’asse di simmetria esiste sempre uno ed un unico punto di intersezione tra l’asse delle ordinate e la parabola. Esso coincide con il punto (0,c) dove c è il coefficiente noto dell’equazione della parabola. In questo caso quindi, non è necessario mettere a sistema le due equazioni per eseguire il calcolo.
2. Asse delle ascisse: in questo caso occorre risolvere il sistema di equazioni costituito dall’equazione della parabola e l’equazione dell’asse delle ascisse:

Il che vuol dire risolvere l’equazione di secondo grado:

avremo ancora, come visto per l’intersezione di una retta generica con la parabola, 3 possibili casi dipendenti dal valore del delta dell’equazione. In questo caso però il delta coincide con quello utilizzato per il calcolo delle coordinate del vertice, del fuoco e dell’equazione della direttrice. I 3 casi possibili sono:

• L’equazione ammette due soluzioni in quanto il delta è maggiore di 0. Ciò significa che la parabola interseca l’asse delle x in due punti. Tale situazione accade se il vertice ha ordinata negativa e la concavità è verso l’alto o se il vertice ha ordinata positiva e la concavità è verso il basso
• Esistono due soluzioni reali e coincidenti poiché il delta dell’equazione è uguale a zero. questo accade quanto il vertice è posizionato sull’asse delle ascisse e il trinomio dell’equazione di secondo grado non è altro che il quadrato di un binomio. In questo caso l’asse delle x è tangente alla parabola nel suo vertice.
• Non esistono soluzioni reali. La parabola non interseca l’asse delle x. Questo accade se il vertice ha ordinata positiva e la concavità è verso l’alto o se il vertice ha ordinata negativa e la concavità è verso il basso.

Vediamo rappresentate nel seguente grafico le tre situazioni per il caso in cui la concavità è verso l’alto.

Parabola con asse orizzontale

Per una parabola con asse orizzontale valgono le stesse considerazioni viste nel paragrafo precedente. Ciò che valeva per l’asse delle ordinate adesso vale per l’asse delle ascisse e viceversa.

1. Asse delle ascisse: poiché l’asse delle ascisse è parallelo all’asse di simmetria esiste sempre uno ed un unico punto di intersezione tra l’asse delle ordinate e la parabola. Esso coincide con il punto (c,0) dove c è il coefficiente noto dell’equazione della parabola. In questo caso quindi, non è necessario mettere a sistema le due equazioni per eseguire il calcolo.
2. Asse delle ordinate: in questo caso occorre risolvere il sistema di equazioni costituito dall’equazione della parabola e l’equazione dell’asse delle ordinate:

Il che significa risolvere l’equazione di secondo grado:

per tale equazione valgono le stesse considerazioni sul delta viste nel paragrafo precedente:

• L’equazione ammette due soluzioni in quanto il delta è maggiore di 0. Ciò significa che la parabola interseca l’asse delle y in due punti. Tale situazione accade se il vertice ha ascissa negativa e la parabola ha concavità verso destra o se il vertice ha ascissa positiva e la parabola ha concavità verso sinistra
• Esistono due soluzioni reali e coincidenti poiché il delta dell’equazione è uguale a zero. questo accade quanto il vertice è posizionato sull’asse delle ordinate e il trinomio dell’equazione di secondo grado non è altro che il quadrato di un binomio. In questo caso l’asse delle y è tangente alla parabola nel suo vertice.
• Non esistono soluzioni reali. La parabola non interseca l’asse delle y. Questo accade se il vertice ha ascissa positiva e la parabola ha concavità verso destra o se il vertice ha ascissa negativa e la parabola ha concavità verso sinistra.

Fasci di parabole

Un fascio di parabole altro non è che un insieme di infinite di parabole aventi una caratteristica in comune e descritte da un’equazione che dipende da un parametro. Come già visto per i fasci di rette, l’equazione di un fascio di parabole può essere facilmente ottenuta eseguendo una combinazione lineari tra le equazioni di due parabole espresse in forma implicita. Le due parabole saranno allora dette parabole generatrici del fascio. Consideriamo dunque le equazioni di due parabole

\begin{matrix}
y  = ax^{2}+bx+c\\ 
y = a'x^{2}+b'x+c'
\end{matrix}

e trascriviamo tali equazioni in forma implicita:

\begin{matrix}
y - ax^{2}+bx+c=0\\ 
y - a'x^{2}+b'x+c'=0
\end{matrix}

Adesso eseguiamo una combinazione lineare tra le due parabole moltiplicandole rispettivamente per i parametri μ e λ. Otteniamo dunque l’equazione:

\mu(y - ax^{2}+bx+c) + \lambda(y - a'x^{2}+b'x+c')=0

Questa equazione dunque rappresenta infinite parabole tante quante sono le infinite combinazioni dei parametri μ e λ. In particolare se:

• μ=1 e λ=0 si ottiene la prima parabola generatrice
• μ=0 e λ=1 si ottiene la seconda generatrice

Tuttavia, può risultare più semplice esprimere l’equazione di un fascio di rette in funzione di un solo parametro. Tale forma può essere ottenuta facilmente dividendo entrambi i membri dell’equazione per μ imponendo che μ sia diverso da zero. Nota che la conseguenza dell’imporre μ diverso da zero è quella di esprimere il fascio in modo tale che sono escluse tutte le parabole del fascio ottenibili dalla precedente equazione per le quali μ=0, compresa la seconda generatrice:

(y - ax^{2}+bx+c) + \frac{\lambda}{\mu}(y – a'x^{2}+b'x+c')=0

Adesso se chiamiamo k il rapporto λ/μ l’equazione può essere riscritta nella forma:

(y - ax^{2}+bx+c) + k(y – a'x^{2}+b'x+c')=0

ancora una volta facciamo notare che con k=0 si ottiene la prima parabola generatrice, mentre non esiste alcun valore di k che consenta di ottenere la seconda generatrice. Essa è allora detta parabola esclusa del fascio.

Tipi di fasci di parabole

Quando abbiamo parlato dei fasci di rette abbiamo visto che questi possono essere classificati in fasci propri o impropri a seconda che le rette che compongono il fascio abbiano 1 punto o nessun punto in comune. Anche nel caso dei fasci di parabole è possibile identificare diverse tipologie a seconda del numero di punti in comune tra queste parabole. Tali punti sono detti punti base del fascio. I punti base si possono identificare mettendo a sistema le due parabole generatrici o qualsiasi altra coppia di parabole appartenenti al fascio. Nel seguito vedremo quali sono i diversi possibili casi di fasci di parabole. Considereremo fasci di parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate ma quanto diremo è valido anche per parabole con asse parallelo all’asse delle ascisse.

Fasci di parabole senza punti base

Un fascio di parabole può essere privo di punti base. Ovvero non esistono punti del piano cartesiano dove le parabole si incontrano. Questo può accadere in due casi. Il primo quando le parabole sono caratterizzate dal medesimo asse di simmetria ed il secondo, quando le parabole hanno tutte asse di simmetria diverso.

Parabole con stesso asse di simmetria e nessun punto base

Consideriamo le due parabole:

\begin{matrix}
y=2x^{2}-4x+5\\ 
y=3x^{2}-6x+7
\end{matrix}

Tali parabole hanno lo stesso asse di simmetria in x=1. Eseguendo la combinazione lineare come fatto nel precedente paragrafo abbiamo:

y-2x^{2}+4x-5 +k(y-3x^{2}+6x-7)=0

Dal grafico si possono notare due cose. La prima è che il fascio rappresenta sia parabole con concavità verso l’alto che parabole con concavità verso il basso. La seconda è che anche una retta appartiene al fascio. Si tratta di una parabola degenere. Se esprimiamo in forma esplicita l’equazione del fascio otteniamo:

y= \frac{2+3k}{1+k} x^{2} -\frac{4+6k}{1+k} +\frac{5+7}{1+k}

Questa equazione non consente di rappresentare il caso k=-1. Studiamo adesso il segno del coefficiente a. Ponendo la condizione a>0 otteniamo una disequazione fratta di primo grado. Risolvendola otteniamo i valori del parametro k per i quali le parabole hanno concavità verso l’alto. Nell’esempio proposto ciò accade quando k<-1 e k>-2/3. La concavità sarà verso il basso quindi quando -1<k<-2/3. Ponendo a=0 e otteniamo k=-2/3. Per tale valore di k, il fascio degenera nella retta parallela all’asse delle ascisse vista nel grafico.

Parabole con diverso asse di simmetria e nessun punto base

Un fascio può essere caratterizzato da parabole privi di punti base anche se queste hanno un asse di simmetria diverso. Prendiamo ad esempio le seguenti parabole:

\begin{matrix}
y=x^{2}-9x+2\\ 
y=-7x^{2}+9x-11
\end{matrix}

Se risolviamo il sistema di queste due equazioni per identificarne i punti in comune, non ne troveremmo. Il sistema dunque non ha soluzioni. Combiniamo linearmente le due parabole come fatto nell’esempio precedente otteniamo:

y-x^{2}+9x-2 +k(y+7x^{2}-9x+11)=0

Le parabole del fascio saranno del tipo:

Tutte le parabole sono caratterizzate dall’avere un proprio asse di simmetria diverso da quello di tutte le altre. Esprimendo l’equazione del fascio in forma esplicita possiamo studiare il coefficiente a:

y= \frac{1-7k}{1+k}x^{2}+ \frac{9k-9}{1+k}x + \frac{-2+11k}{1+k}

Il coefficiente a è nullo quando k=1/7. In questo caso la parabola degenera nella retta verde mostrata nel grafico sopra. Esso invece è maggiore di zero nell’intervallo di k compreso tra -1 e 1/7. Questo è il caso di tutte le parabole rappresentate a destra della retta nel grafico sopra. Tutte le parabole aventi valore di k al di fuori di questo intervallo avranno valore di a negativo e quindi concavità verso il basso.

Fasci di parabole aventi un unico punto base

I fasci di parabole possono essere caratterizzati dall’avere anche un unico punto base. Tale situazione può accadere in due casi. Nel primo le parabole si incrociano tutte nello stesso punto. Nel secondo caso, tutte le parabole del fascio sono tangenti ad una stessa retta t in un punto. Vediamo nel seguito i due casi.

Fasci di parabole che si incrociano in un punto

Consideriamo le seguenti due parabole generatrici:

\begin{matrix}
y=x^{2}-3x+4\\ 
y=x^{2}-5x+2
\end{matrix}

esse si incontrano nell’unico punto (-1;8) ed hanno il medesimo coefficiente a. Costruiamo il fascio di parabole eseguendo la combinazione lineare:

y-x^{2}-3x+4 + k (y-x^{2}+5x-2)=0

Le parabole del fascio sono del tipo:

riscrivendo l’equazione in forma esplicita eliminando così la possibilità di esprimere con la generica equazione il caso che si otterrebbe con k=-1. Otteniamo:

y= \frac{1+k}{1+k}x^{2}+ \frac{-3-5k}{1+k}x +\frac{4+2k}{1+k} \Rightarrow \mathbf{y= x^{2}+ \frac{-3-5k}{1+k}x +\frac{4+2k}{1+k}}

il coefficiente a è sempre pari a 1 come per le parabole generatrici. Un fascio di parabole che si incrociano nello stesso punto, non può che esistere se non in condizioni in cui il coefficiente a sia uguale per tutte le parabole del fascio e non dipenda dal parametro k.

Fasci di parabole tangenti alla stessa retta in un punto

Nel secondo tipo di fascio abbiamo a che fare con parabole caratterizzate dal fatto di essere tutte tangenti ad una stessa retta in un punto. Consideriamo le due parabole:

\begin{matrix}
y= 2x^{2} -3x-2\\
y=x^{2} +3x-11
\end{matrix}

Tali parabole si incontrano nel solo punto A(3,7). Utilizziamo le formule di sdoppiamento nel punto A per calcolare le rette tangenti nel punto A alle due parabole:

\frac{y+y_{0}}{2}= axx_{0} +b\frac{x+x_{0}}{2}+c \Rightarrow \frac{y+7}{2}= 2x(3) -3\frac{x+3}{2}-2 \\\\\Rightarrow y+7 = 12x-3x-9-4  \Rightarrow \mathbf{y=9x-20}

\frac{y+y_{0}}{2}= axx_{0} +b\frac{x+x_{0}}{2}+c \Rightarrow \frac{y+7}{2}= x(3) +3\frac{x+3}{2}-11 \\\\\Rightarrow y+7 = 6x+3x+9-22  \Rightarrow \mathbf{y=9x-20}

Otteniamo dunque la stessa retta tangente. Le due parabole si dicono dunque tangenti tra loro. La combinazione lineare di tali parabole è dunque:

y- 2x^{2} +3x+2 +k(y-x^{2} -3x+11)=0

che darà parabole del tipo:

riscrivendo l’equazione in forma esplicita eliminando così la possibilità di esprimere con la generica equazione il caso che si otterrebbe con k=-1. Otteniamo:

y= \frac{2+k}{1+k}x^{2} + \frac{3k-3}{1+k}x - \frac{2+11k}{1+k}

applichiamo adesso la formula di sdoppiamento alla generica equazione del fascio nepunto A(3,7):

\frac{y+y_{0}}{2}  = axx_{0} + b\frac{x+x_{0}}{2} + c \Rightarrow \frac{y+7}{2}  = \frac{2+k}{k+1}x*3 +\frac{3k-3}{k+1}\frac{x+3}{2} -\frac{2+11k}{k+1} \\\Rightarrow \\\\\\ y+7= \frac{12x+6kx+3kx-3x+9k-9-4-22k}{k+1} \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ y+7= \frac{9x+9kx-13k-13}{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\  y= \frac{9x+9kx-13k-13 - 7k-7 }{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ y= \frac{9x(k+1)-20(k+1)}{k+1}  \\\\\\ \Rightarrow \\ \\\\ \mathbf{y= 9x-20}

quindi utilizzando la formula di sdoppiamento sulla generica equazione del fascio nel punto A si ottiene comunque sempre la stessa retta! Studiamo adesso il coefficiente a del fascio. Ponendo a >0 otteniamo i valori di k per i quali le parabole avranno concavità verso l’alto. Tale condizione accade per k<-2 e k>-1. Ponendo invece a=0 otteniamo il valore di k per il quale la parabola degenera in una retta. Tale condizione accade per k=-2. Andando a sostituire questo valore di k nella equazione in forma esplicita otteniamo:

y= \frac{2+k}{1+k}x^{2} + \frac{3k-3}{1+k}x - \frac{2+11k}{1+k} \Rightarrow y= \frac{2-2}{1-2}x^{2} + \frac{3(-2)-3}{1-2}x - \frac{2+11(-2)}{1-2}  \Rightarrow  \mathbf{y=9x-20} 

che è proprio l’equazione della retta tangente alle due parabole generatrici nel punto A. Tutte le parabole del fascio, saranno tangenti nel punto A a tale retta.

Fasci di parabole con due punti base

Vediamo adesso il caso di due parabole che si incontrano in due punti A e B. Consideriamo due parabole generatrici caratterizzate da tale condizione:

\begin{matrix}
y = 3x^{2}+2x+1 \\ 
y = 2x^{2}+x+3
\end{matrix}

Tali parabole si incontrano nei punti A(-2;9) e B(1;6). Eseguiamo la combinazione lineare di tali parabole:

y - 3x^{2}-2x-1 +k(y – 2x^{2}-x-3)=0

a tale fascio fanno parte parabole del tipo:

Tutte le parabole si intersecano nei punti A e B in cui si intersecano le rette generatrici. Esprimiamo il fascio in forma esplicita eliminando quindi la possibilità di rappresentare il caso per k=-1. Otteniamo:

y= \frac{3+2k}{1+k}x^{2}+\frac{2+k}{1+k}x+\frac{1+3k}{1+k}

dove a>0 se k <-2/3 o k>-1 e il fascio degenera in una retta per k=-2/3.

Parabole degeneri verticali di un fascio

Quando abbiamo parlato dell’equazione della parabola abbiamo visto che è possibile che questa possa degenerare in una retta. Negli esempi sopra riportati abbiamo visto per ciascun esempio come è possibile ottenere la parabola degenere di ciascun fascio imponendo il coefficiente a=0. In realtà in alcuni casi è possibile individuare altre rette appartenenti al fascio. Si tratta di rette verticali che passano per i punti base del fascio. Ciò accade quando si impone nell’equazione in forma implicita al parametro k il valore per il quale la variabile y si annulla (nelle combinazioni lineari proposte sopra ciò accade per k=-1). L’equazione del fascio diventa dunque una semplice equazione di secondo grado:

(a+a')x^{2}+(b+b')x+ c +c'=0

Risolvendo tale equazione di secondo grado possiamo avere 2 soluzioni reali e distinte (x₁ diverso da x₂), due soluzioni coincidenti (x₁ uguale a x₂) o 0 soluzioni nel campo reale. A ciascuna soluzione corrisponde una parabola che degenera in una retta verticale del tipo x=x₁. E’ inutile dire che se un fascio di parabole ha due punti base ci saranno due rette verticali che passeranno rispettivamente per il primo ed il secondo punto base. La stessa cosa accade se le due parabole hanno un punto base.