In questo appunto parleremo della circonferenza, della sua definizione quale ente geometrico e le sue caratteristiche in un piano cartesiano. I contenuti riportati in questo appunto sono:
- Definizione della circonferenza: luogo dei punti e sezione conica
- Equazione della circonferenza: dimostrazione
- Condizione affinché un’equazione di secondo grado rappresenti una circonferenza
- Centro di una circonferenza
- Raggio di una circonferenza
- Coefficienti a,b e c: casi particolari di circonferenze
- Posizione di un punto rispetto a una circonferenza
- Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
- Posizioni reciproche di due circonferenze
- Fasci di circonferenze
Per il formulario sulle circonferenze ti rimandiamo ai seguenti link dove troverai la spiegazione su come affrontare diversi tipi di esercizi:
- Disegnare la circonferenza sul piano cartesiano
- Verificare appartenenza di un punto ad una circonferenza
- Calcolare il centro di una circonferenza
- Calcolare il raggio di una circonferenza
- Intersezione di una circonferenza con gli assi cartesiani
- Calcolare l’equazione di una circonferenza
- Calcolare la lunghezza della corda individuata da una retta e una circonferenza
- Individuare la retta tangente alla circonferenza e passante per un punto
Definizione della circonferenza: luogo dei punti e sezione conica
Anche la circonferenza, come la parabola e la retta, è un luogo geometrico di punti. Essa è infatti così definita:
“La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano che sono equidistanti da un punto detto centro della circonferenza. Tale distanza è detta raggio della circonferenza”
Raffiguriamo un esempio di circonferenza in un piano cartesiano:
dove C è detto centro della circonferenza, r è il raggio e P un qualsiasi punto del piano cartesiano che rispetta la definizione di luogo geometrico sopra data. La definizione dunque impone che
\overline{PC} =r
per ogni punto P che appartiene alla circonferenza. Ricordiamo invece che per diametro intendiamo un segmento che come estremi abbia due punti appartenenti alla circonferenza e che passi per il suo centro:
Un’altra definizione di circonferenza è quella che deriva dalle curve coniche. Essa è infatti non è altro che la curva che si genera per intersezione tra un cono a due falde ed un piano perpendicolare all’asse del cono a due falde:
Nel piano cartesiano esistono infinite circonferenze considerando che, ogni punto degli infiniti punti del piano cartesiano può essere centro di una circonferenza e che per ogni centro possono esistere infinite circonferenze date dagli infiniti valori che il raggio r può assumere:
Vedremo nel seguito di questo appunto l’equazione con la quale una circonferenza può essere definita in un piano cartesiano e le sue diverse caratteristiche.
Equazione della circonferenza: dimostrazione
Equazione della circonferenza con centro nell’origine degli assi
Dimostriamo in questo paragrafo l’equazione di una circonferenza in un piano cartesiano partendo dal caso più semplice di una circonferenza avente il centro nell’origine O del piano cartesiano. Chiamiamo r il raggio della circonferenza e indichiamo con P un generico punto appartenente alla circonferenza e avente coordinate generiche P(x,y).
Poiché il raggio altro non è che la distanza del punto P al punto C, utilizziamo la formula per il calcolo della distanza tra due punti:
\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}
nel nostro caso x1 e y1 sono le generiche coordinate del punto P x e y. Le altre due sono invece le coordinate del punto C ed in questo caso sono entrambe 0. Sostituiamo questi valori alla formula della distanza tra due punti e imponiamola uguale al raggio r. Con quest’ultima operazione utilizziamo la definizione di circonferenza come luogo geometrico di punti. Otteniamo dunque:
\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}} = r
elevando entrambi i membri otteniamo:
\mathbf{x^{2} + y^{2} =r^{2}}
che rappresenta l’equazione generica di una parabola con centro nell’origine degli assi. Ad esempio la circonferenza che ha centro nell’origine degli assi e raggio pari a 2 avrà equazione x2+y2=4 .
Equazione della circonferenza con centro in un qualsiasi punto del piano cartesiano
Cosa succede se la circonferenza con raggio due non avesse centro nell’origine ma nel punto C(-4;5)? Quale equazione rappresenterebbe questa curva? Risolviamo questa domanda applicando una trasformazione geometrica detta traslazione
Il vettore della traslazione è quella che associa all’origine degli assi il centro C(-4;5). Tale vettore è:
\overrightarrow{v}(-4,5)
le equazioni associate alla traslazione saranno:
\left\{\begin{matrix}
x' = x-4\\
y' = y+5
\end{matrix}\right.
ricaviamo dunque i valori di x e y:
\left\{\begin{matrix}
x = x'+4\\
y = y'-5
\end{matrix}\right.
e li sostituiamo nell’equazione della parabola con centro nell’origine e svolgendo i calcoli:
x^{2}+y^{2} = 4 \Rightarrow (x'+4)^{2}+(y'-5)^{2} = 4\\\\ \Rightarrow \\\\\mathbf{ x'^{2}+y'^{2}+8x'-10y'+41=0}
Abbiamo ottenuto l’equazione della parabola con centro in C(-4,5) e raggio pari a 2. In generale, l’equazione di una circonferenza con centro in C(p,q) e raggio r ha equazione del tipo:
(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}
sviluppandola si avrà:
x^{2}+y^{2}-2px-2qy+p^{2}+q^{2}-r^{2}=0
Eseguendo le seguenti sostituzioni:
a=-2p \\ b=-2q \\c=p^{2}+q^{2}-r^{2}
si ottiene l’equazione della circonferenze in forma canonica:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
L’equazione ottenuta è un’equazione di secondo grado in x e in y priva del termine misto xy.
Condizione affinché un’equazione di secondo grado in x e y rappresenti una circonferenza
In questo paragrafo ci poniamo il problema opposto a quello risolto con la dimostrazione. Data un’equazione di secondo grado in x e y e priva del termine misto xy, si può sempre dire che questa rappresenta una circonferenza? Per farlo vediamo partiamo dalla generica equazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
Adesso organizziamo i termini in maniera da ottenere i quadrati di due binomi. Il termine ax rappresenta dunque il doppio prodotto del monomio x per il coefficiente a/2. Possiamo dunque dire che:
x^{2} + ax +\frac{a^{2}}{4} = \left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}
e che:
y^{2} + by +\frac{b^{2}}{4} = \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}
aggiungiamo a questo punto all’equazione di secondo grado i termini a/4 e b/4. Otteniamo:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c+\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}=0
identificando i quadrati dei binomi sopra riportati otteniamo:
\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}+c-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}=0
che possiamo riscrivere nella forma:
\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c
che rappresenta l’equazione di una circonferenza ottenuta nel paragrafo precedente nella forma:
(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}
otteniamo dunque che:
r^{2} = \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c \Rightarrow \mathbf{ r=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c }}
affinché il raggio esista, l’argomento della radice deve essere positivo. Ciò significa che:
\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c \geq 0
e quindi:
a^{2}+b^{2}-4c\geq 0
Centro di una circonferenza
Abbiamo visto che il centro di una circonferenza è un punto interno alla circonferenza e rispetto alla quale qualsiasi punto della circonferenza è distante di una distanza pari al raggio r. Abbiamo visto nel paragrafo precedente che, data a generica equazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
questa, dopo numerosi passaggi, può essere scritta nella forma:
\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c
poiché la definizione di circonferenza come luogo geometrico di punti ci dice che dato un centro C(p,q) e raggio r questa deve soddisfare:
(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}
se ne conclude che le coordinate del centro della circonferenza possono essere scritte nella forma:
C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)
in questo modo è sempre possibile calcolare le coordinate del vertice dall’equazione generale della parabola.
Raggio di una circonferenza
Considerando quanto riportato nel paragrafo precedente è possibile identificare anche una relazione per il raggio. Abbiamo infatti che:
r=\sqrt {\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
questa formula oltre a consentirci di calcolare il raggio di una circonferenza in forma canonica consente di ricavare una condizione di esistenza della circonferenza. Una circonferenza può esistere solo se l’argomento della radice è maggiore o uguale a zero.
\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c \geq 0 \Rightarrow \mathbf{a^{2}+b^{2}-4c \geq 0}
Dalla formula del raggio possiamo infine ricavare anche il diametro:
d=2r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
Coefficienti a,b e c: casi particolari di circonferenze
Vediamo in questo paragrafo come alcuni valori dei coefficienti a,b e c ci consentono di definire alcuni casi particolari di circonferenze .
Coefficiente a = 0
La circonferenza ha equazione del tipo:
x^{2} + y^{2}+by+c=0
Il coefficiente a ha impatto sull’ascissa del centro della circonferenza oltre che sulla dimensione del raggio di quest’ultima. L’aspetto che più ci interessa è però il primo. Ricordiamo che l’ascissa del centro è:
p=-\frac{a}{2}
per cui per valori positivi di a, il centro C sarà posizionato nel lato negativo dell’asse delle ascisse. Quando a=0 il centro della circonferenza è posizionato sull’asse delle ordinate. Quando a assume valori negativi, il centro si sposta sul lato positivo dell’asse delle ascisse. Raffiguriamo i tre casi:
Il primo caso particolare interessante è quello che otteniamo se a=0. Ogni equazione di circonferenza espressa in forma canonica e con il coefficiente a = 0 rappresenta una circonferenza il cui centro è posizionato sull’asse delle ordinate.
Si precisa una cosa cosa sulla figura sopra. Nelle tre circonferenze equivalenti, non varia soltanto il coefficiente a. Per mantenere lo stesso raggio, varieranno di conseguenza anche b e c.
Coefficiente b=0
In questo caso l’equazione della circonferenza è del tipo:
x^{2} + y^{2}+ax+c=0
Abbiamo una situazione molto simile a quella del paragrafo precedente. Ricordiamo infatti che l’ordinata del centro dipende dal coefficiente b:
q= -\frac{b}{2}
Otteniamo dunque la seguente situazione al variare di b.
Si noti che, se b=0 allora q=0. Possiamo dunque affermare che ogni qualvolta l’equazione della circonferenza espressa in forma canonica ha il coefficiente b nullo, essa rappresenta una circonferenza il cui centro è posizionato sull’asse delle ascisse!
Coefficiente c=0
Questo è il caso in cui la circonferenza si presenta nella forma:
x^{2} + y^{2}+ax+by=0
Si noti che in questo caso il punto O(0,0) origine degli assi è un punto sempre appartenente alla circonferenza, per qualsiasi valore di a e b. Si noti che rispetto alla parabola e alla retta, il termine noto c non rappresenta l’intersezione con l’asse delle y. Questo è dovuto al fatto che l’equazione della circonferenza non è espressa in una forma esplicita per la variabile y.
Possiamo dunque concludere che qualsiasi equazione di circonferenza in cui il termine c è nullo rappresenta un’equazione passante per l’origine degli assi.
Coefficiente a=0 e b=0
Adesso verifichiamo cosa succede combinando a due a due i casi visti sopra. Cosa accade se contemporaneamente abbiamo a e b nulli?. L’equazione della circonferenza diventa del tipo:
x^{2} + y^{2} + c=0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2} + y^{2} =- c
La circonferenza deve soddisfare entrambi i casi visti prima. Il suo centro deve contemporaneamente essere sull’asse delle ordinate e sull’asse delle ascisse. L’unico punto che soddisfa questa caratteristica è l’origine degli assi. Possiamo dunque concludere che quando a e b sono contemporaneamente nulli abbiamo a che fare con una circonferenza il cui centro è nell’origine degli assi. Si noti inoltre che il raggio di una tale circonferenza sarà:
r=\sqrt{-c}
se c=-1 abbiamo il caso particolare di una circonferenza avente raggio unitario.
Coefficiente a=0 e c=0
Questo è il caso di una circonferenza la cui equazione è del tipo:
x^{2}+y^{2}+by=0
questa situazione deve soddisfare entrambi i casi che si verificano quando i singoli coefficienti sono nulli. Per cui le circonferenze dovranno avere il centro posizionato sull’asse delle ordinate e contemporaneamente esse devono passare per l’origine degli assi:
Coefficiente b=0 e c=0
In questo caso l’equazione della circonferenza è del tipo:
x^{2}+y^{2} +ax=0
devono essere soddisfatte entrambe le situazioni viste in precedenza. Le circonferenze rappresentate da questo tipo di equazione avranno dunque centro sull’asse delle ascisse e passeranno per l’origine degli assi:
Coefficienti a=0, b=0 e c=0
L’equazione assume la forma:
x^{2}+y^{2}=0
questa equazione possiede un’unica soluzione, ovvero il punto O(0,0) origine degli assi. La circonferenza infatti, degenera in un punto che è l’origine degli assi. Il suo raggio infatti è nullo:
r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{0^{2}+0^{2}-4(0)} = 0
Osserviamo l’equazione. Essa ci dice che la somma di due quadrati deve essere nulla. Sappiamo dall’algebra che nell’insieme dei numeri reali due quadrati possono essere o positivi o nulli. Poiché la somma di due numeri positivi non può essere zero, non ci rimane come unica soluzione del sistema il caso in cui entrambe le incognite siano pari a 0.
Le circonferenze possono degenerare in punto che sia diverso dall’origine? La risposta è si. Questo accade ogni qualvolta il raggio è pari a zero, quindi quanto:
a^{2}+b^{2}-4c = 0\Rightarrow a^{2}+b^{2} = 4c
Posizione di un punto rispetto a una circonferenza
Un generico punto del piano cartesiano rispetto a una circonferenza può essere:
- appartenente alla circonferenza
- interno alla circonferenza
- esterno alla circonferenza
queste tre condizioni possono essere rappresentate dalla figura.
Nella figura sopra riportata, in celeste è possibile individuare i punti appartenenti alla circonferenza. Essi non sono altro che tutti i punti del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano l’equazione della circonferenza:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0
In giallo è rappresentato invece l’insieme dei punti del piano cartesiano che sono interni alla circonferenza. Essi sono tali che le loro coordinate soddisfano la relazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c < 0
I punti rappresentati in grigio sono invece i punti esterni alla circonferenza. Essi sono tali che le loro coordinate devono soddisfare la relazione:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c >0
Dato dunque un generico punto P, è possibile dunque verificare la sua posizione rispetto a una circonferenza andando a sostituire le sue coordinate al polinomio che rappresenta il primo membro dell’equazione di una circonferenza. Se il numero che si ottiene è minore di zero, allora il punto è interno alla circonferenza. In caso in cui si ottenga un valore maggiore di zero allora il punto è esterno alla circonferenza. Se si esegue questa operazione direttamente all’interno dell’equazione è assolutamente fondamentale non operare mai un cambio di segno!
Posizione di una retta rispetto a una circonferenza
Vediamo adesso quali posizioni può assumere retta rispetto a una circonferenza. Esse sono tre e sono tali da definire la retta:
- secante: se le due curve si intersecano in due punti
- tangente: se le due curve hanno un unico punto in comune
- esterna: se le due curve non hanno alcun punto in comune
ma cosa vogliono significare graficamente queste definizioni? Lo vediamo nell’immagine sotto:
Adesso vediamo come algebricamente è possibile definire in quali posizione reciproca sono le due curve. Come già fatto per la parabola, occorre verificare quanti punti di intersezione ci sono tra le due curve mettendo a sistema le loro equazioni. In generale dunque avremo una situazione del tipo:
\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0\\
\\
y=mx+q\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.
adesso andando a sostituire il valore di y (si potrebbe fare anche con x) della seconda equazione sulla prima abbiamo:
x^{2}+m^{2}x^{2}+2mqx+ax+mbx+c+q^{2}+bq=0 \\ \, \Rightarrow \,\\ (1+m^{2})x^{2} + (2mq+mb+a)x + c+q^{2}+bq=0
si ottiene dunque un’equazione di secondo grado detta equazione risolvente del sistema. Consideriamo adesso il Delta di questa equazione. Si possono verificare tre casi:
- Il sistema non ammette soluzioni in quanto il Δ è minore di zero -> retta esterna
- Esistono due soluzioni reali e coincidenti. Questo accade quando il Δ dell’equazione è pari a zero -> retta tangente
- Il sistema ammette due soluzioni reali e distinte in quanto il Δ è maggiore di zero -> retta secante
Geometricamente è possibile capire la posizione di una retta rispetto alla circonferenza confrontando la dimensione del raggio con la distanza del centro dalla retta data. Si noti infatti che:
- Quando la retta è esterna, la distanza del centro da essa è maggiore del raggio
- In caso di retta tangente, distanza e raggio sono uguali (la retta tangente è sempre perpendicolare al raggio)
- Se la retta è secante, allora la distanza di questa dal centro è minore del raggio!
Posizioni reciproche di due circonferenze
Vediamo adesso quali sono le possibili posizioni reciproche che possono assumere due circonferenze tra loro nel piano cartesiano. Assumiamo di avere dunque due circonferenze caratterizzare rispettivamente dai seguenti centri e raggi:
C(p,q); \,\,\,r \\\,\\ C'(p',q');\,r'
Per il seguito della trattazione, supponiamo che valga la relazione:
r \geq r'
Definiamo inoltre la distanza tra i due centri come.
d=\sqrt{\left(p-p'\right)^{2}+\left(q-q'\right)^{2}}
Adesso in base alla relazione che sussiste tra la distanza dei centri e i raggi possiamo definire le seguenti situazioni:
- Le due circonferenze non si intersecano tra loro in quanto esterne. Questa situazione accade quando la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi: d>r+r’
- Quando la distanza è invece uguale alla somma dei raggi, le due circonferenze sono tangenti esternamente incontrandosi in un punto detto punto di tangenza. Deve duqneu valere la relazione d=r+r’
- Se la distanza tra i centri è minore della differenza tra i raggi, allora le due circonferenze sono interne e non si intersecano tra loro. Deve dunque essere soddisfatta la relazione d<r-r’
- Quando la distanza tra i centri è uguale alla differenza tra i raggi, allora le due circonferenze sono tangenti internamente e si intersecano in un punto. Deve valere dunque la relazione d=r-r’
- Nel caso intermedio in cui la distanza è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza le due circonferenze sono secanti e si intersecano in due punti. Deve dunque essere soddisfatta la relazione r-r’ < d <r+r’
- Se d=0 e r>r’ le due circonferenze sono concentriche avendo i centri coincidenti.
- Nel caso particolare in cui d=0 e r=r’, le due circonferenze si dicono coincidenti
Fasci di circonferenze
Un fascio di circonferenze altro non è che un insieme di infinite di circonferenze aventi una caratteristica in comune e descritte da un’equazione che dipende da un parametro. Come già visto per i fasci di parabole e per i fasci di rette, l’equazione di un fascio di circonferenze può essere facilmente ottenuta eseguendo una combinazione lineare tra le equazioni di due circonferenze. Le due circonferenze saranno allora dette circonferenze generatrici del fascio. Consideriamo dunque le equazioni di due circonferenze:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \\\,\\ x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0
ed eseguiamo una combinazione lineare di queste due equazioni. Questo significa sommare le due equazioni ciascuna prima moltiplicata per un parametro, μ e λ. Otteniamo dunque:
\mu(x^{2}+y^{2}+ax+by+c)+\lambda( x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c')=0
Questa equazione dunque rappresenta infinite circonferenze tante quante sono le infinite combinazioni dei parametri μ e λ. In particolare se:
- μ=0 e λ=1 otteniamo la seconda circonferenza generatrice
- μ=1 e λ=0 otteniamo la prima circonferenza generatrice
Come già visto per altri fasci di curve risulta tuttavia più comodo rappresentare un fascio in funzione di un solo parametro. L’escamotage è sempre lo stesso. Si dividono entrambi i membri dell’equazione per il parametro μ imponendo anche che μ sia diverso da zero. Imporre μ diverso da zero implica escludere dal fascio di circonferenze tutte le infinite circonferenze che avremmo potuto ottenere dalla precedente equazione per i quali μ =0 e λ assume un valore qualsiasi. In particolare, la seconda circonferenza generatrice che si ottiene imponendo μ=0 e λ=1 è detta circonferenza esclusa del fascio. Otteniamo dunque la forma:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c+\frac{\lambda}{\mu}( x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c')=0
Adesso se chiamiamo k il rapporto λ/μ l’equazione può essere riscritta nella forma:
x^{2}+y^{2}+ax+by+c+k( x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c')=0
ancora una volta facciamo notare che con k=0 si ottiene la prima circonferenza generatrice, mentre non esiste alcun valore di k che consenta di ottenere la seconda. Adesso riscriviamo l’equazione nel seguente modo:
x^{2}+kx^{2}+y^{2}+ky^{2}+ ax+ka'x+by+kb'y+c+kc'=0\\\,\\ (1+k)x^{2}+(1+k)y^{2} + (a+ka')x+(b+kb')y+c+kc'=0
L’equazione del fascio non è ancora espressa nella forma normale o canonica in quanto i termini al quadrato in x e in y non hanno coefficiente 1. A questo punto dividiamo tutto per 1+k. Questo significa imporre k=-1, valore per il quale otterremmo una retta detta asse radicale. Otteniamo dunque:
x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0
Questa è dunque l’equazione del fascio in forma canonica. Adesso possiamo definire le generiche coordinate del centro di una qualsiasi circonferenza appartenente al fascio. Ricordiamo che il centro di una circonferenza espressa in forma canonica è dato da:
x^{2}+ y^{2}+ax+by+c=0 \,\, \Rightarrow \,\,C\left(-\frac{\textit{a}}{2}, -\frac{\textit{b}}{2}\right)
per cui:
x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0 \Rightarrow \mathbf{C\left(-\frac{a+ka'}{2(k+1)},-\frac{b+kb'}{2(k+1)}\right)}
ricordiamo invece che il raggio è dato da:
x^{2}+ y^{2}+ax+by+c=0 \,\, \Rightarrow \,\,r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}
per cui:
x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0 \Rightarrow \mathbf{r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a+ka'}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{b+kb'}{k+1}\right)^{2}-4\frac{c+kc'}{k+1}}}
dove la condizione necessaria affinché la circonferenza esista è che l’argomento della radice sia maggiore di zero. Il valore di k per il quale l’argomento della radice è nullo consente di ricavare l’equazione della circonferenza degenere, ovvero la circonferenza che degenera in un punto.
Tipi di fasci di circonferenze
Vediamo adesso quali tipi di fasci di circonferenze possono esistere. Innanzitutto facciamo una considerazione generale circa l’equazione del fascio in forma canonica. Se le due circonferenze generatrici del fascio hanno uno dei coefficienti a e b o entrambi in comune, allora tutte le circonferenze del fascio avranno in comune una o entrambe le coordinate del centro. Proviamo a ricapitolare i possibili casi:
Caso a=a’ e b=b’
Se le circonferenze generatrici hanno a=a’ e b=b’, il fascio avrà un’equazione del tipo:
x^{2}+y^{2}+ax+by+\frac{c+kc'}{k+1}=0
le circonferenze del fascio avranno tutte centro in:
C\left(-\frac{\textit{a}}{2}, -\frac{\textit{b}}{2}\right)
per cui il fascio rappresentato è un fascio di circonferenze concentriche.
Caso a=a’ o b=b’
Vediamo adesso cosa succede se solo uno dei due coefficienti è uguale tra le circonferenze generatrici. Prendiamo il caso in cui le due circonferenze generatrici abbiano il coefficiente a in comune. Tutte le circonferenze del fascio hanno tutte il centro sulla retta di equazione:
x=-\frac{a}{2}
Tali circonferenze saranno tali da avere tanti punti in comune quanti sono i punti di intersezione delle circonferenze generatrici:
vedremo dopo che l’asse radicale è sempre perpendicolare alla retta che passa per i centri. Ne consegue che l’asse radicale sarà parallelo all’asse delle ascisse.
Nel caso in cui il coefficiente in comune sia il b, allora le circonferenze avranno i loro centri sulla retta di equazione:
y=-\frac{b}{2}
ed esse avranno tanti punti in comune quanto quelli in comune tra le circonferenze generatrici:
L’asse radicale sarà invece parallelo all’asse delle ordinate.
Casi in cui uno dei coefficienti è nullo
Casi particolari di quelli sopra esposti sono quelli per cui uno o più coefficienti sono nulli. Abbiamo visto cosa significhino i coefficienti nulli per una circonferenza al seguente link. Riassumiamo di seguito tali casi:
- a=0. Le circonferenze hanno centro sull’ asse y ed hanno tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenze generatrici.
- b=0 Le circonferenze hanno centro sull’asse delle ascisse ed hanno tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenza generatrici
- c=0 Le circonferenze si incontrano nell’origine ed tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenza generatrici
- a=0 e b=0 Le circonferenze hanno centro nell’origine e sono concentriche tra loro
- a=0 e c=0 In questo caso i centri saranno posizionati sull’asse delle ordinate ma tutte passeranno per l’origine. Avendo dunque tutte l’origine in comune queste saranno o tangenti tra loro nell’origine oppure secanti tra loro con un secondo punto in comune oltre l’origine. Questo dipende dalle circonferenze generatrici
- b=0 e c=0 In questo caso i centri saranno posizionati sull’asse delle ascisse ma tutte passeranno per l’origine. Avendo dunque tutte l’origine in comune queste saranno o tangenti tra loro nell’origine oppure secanti tra loro con un secondo punto in comune oltre l’origine. Questo dipende dalle circonferenze generatrici
Asse radicale
Abbiamo visto ad un certo punto che l’equazione del fascio può essere espressa nella forma:
(1+k)x^{2}+(1+k)y^{2} + (a+ka')x+(b+kb')y+c+kc'=0
per k=-1 si annullano i termini al quadrato in x e in y e si ottiene l’equazione di una retta:
(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0
tale retta rappresenta l’equazione dell’asse radicale del fascio. Esso esiste in tutti i fasci di circonferenze, tranne nel caso di circonferenze concentriche ed ha la caratteristica di passare per tutti i punti in comune tra le circonferenze del fascio. L’asse è sempre perpendicolare alla retta che congiunge i centri di tutte le circonferenze. Il punto di intersezione di queste due rette è il punto di tangenza nel caso di un fascio di circonferenze tangenti o lungo il punto medio del segmento che congiunge i due punti base del fascio nel caso di circonferenze secanti.
Se dunque le circonferenze non hanno punti in comune, l’asse radicale sarà una retta esterna al fascio di circonferenze. In caso di circonferenze tangenti in un punto, allora l’asse radicale sarà la retta tangente a tutte le circonferenze del fascio in quel punto. Se le circonferenze si intersecano in due punti, allora l’asse radicale passa per quei due punti.
Consideriamo adesso per un attimo la formula generica del raggio dedotta dal fascio di circonferenze:
\mathbf{r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a+ka'}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{b+kb'}{k+1}\right)^{2}-4\frac{c+kc'}{k+1}}}
Non possiamo considerare il caso di k=-1 in quanto annullerebbe i denominatori degli addendi all’interno della radice. Consideriamo però il caso di un valore di k molto prossimo a -1. Accade che i denominatori tendono a zero (ma non sono zero) e che ogni addendo all’interno della radice assume un valore sempre più grande. Possiamo dunque dire che per k molto prossimo a -1 il raggio diventa sempre più grande. L’asse radicale può essere quindi considerato come una circonferenza caratterizzata dall’avere un raggio infinitamente grande!
Mostriamo quando detto con un esempio. Consideriamo il seguente fascio di circonferenze:
x^{2} + y^{2} + \frac{2+3k}{k+1}x +\frac{2+4k}{k+1}y + \frac{1-2k}{k+1}=0
e calcoliamo il raggio per diversi valore di k compresi alcuni valori molto prossimi a -1:
L’ordine di grandezza del raggio aumenta vertiginosamente all’avvicinarsi al valore k=-1. In questi casi, in prossimità dei punti base, gli archi di circonferenze del fascio con raggi molto grandi hanno una curvatura via via minore fino ad essere approssimabili con l’asse radicale.
Retta passante per i centri delle circonferenze
Tutti i centri di un fascio di circonferenze sono allineati lungo una retta. Tale retta ha alcune particolarità:
- esiste per tutti i fasci di circonferenze tranne nel caso di circonferenze concentriche. In tal caso tutti i centri sono coincidenti
- é sempre perpendicolare all’asse radicale
- Passa per il punto di tangenza nel caso di fasci di circonferenze tangenti
- Passa per il punto medio del segmento che congiunge i due punti base nel caso di fasci di circonferenze secanti.
essendo tale retta sempre perpendicolare all’asse radicale ne consegue che il suo coefficiente angolare è l’antireciproco del coefficiente angolare dell’asse radicale. Ci sono numerosi modi per calcolare questa retta. Uno potrebbe essere calcolare le coordinate di due centri e utilizzare la formula per calcolare l’equazione di una retta passante per due punti. In alternativa, si potrebbe ricalcolare le coordinate di un centro ed utilizzare la formula per il calcolo dell’equazione di una retta noto un suo punto ed il coefficiente angolare.
