In questo appunto vediamo in cosa consiste il gage R&R crossed ed in quali situazioni utilizzarlo. Se vuoi saperne di più sui concetti chiave di un gage R&R e di come questo test determini l’affidabilità di un sistema di misura, ti rimandiamo al seguente link.

In questo appunto vedremo:

Cosa è ed in quali situazioni si può utilizzare un gage R&R crossed

Il gage R&R crossed è un’analisi statistica eseguita per definire la bontà di un sistema di misura. Essa è utilizzata quando è possibile far eseguire la misura di un oggetto diverse volte a più operatori.  E’ il tipico caso in cui la misura non è distruttiva e l’oggetto non subisce variazioni durante l’operazione di misura. In questo caso, più oggetti vengono misurati più volte da più operatori secondo un ordine casuale. I metodi statistici più utilizzati per eseguire tale analisi sono il 2-way anova test (Anova ANalysis Of VAriances) e il metodo average and range.

Regole di campionamento di un gage R&R crossed

La regola di campionamento più conosciuta e utilizzata per eseguire un gage R&R crossed suggerisce di misurare 10 componenti da 3 operatori diversi per due ripetizioni (10*3*2 = 60 misure).

gage R&R crossed: regola 10x3x2

Ma quanto è affidabile questa regola? Ci sono diversi studi eseguiti sul corretto dimensionamento del campione (“sample size”) da utilizzare per un’analisi di questo tipo. Uno dei problemi principali per la definizione del campione risiede nella difficoltà nel selezionare dei campioni che siano quanto più rappresentativi del processo di produzione. Se la selezione del campione non è casuale (ad esempio misurando componenti di un unico turno di produzione), l’output di un gage R&R risulterebbe poco significativo.

In uno studio gage R&R crossed, l’obiettivo è quantificare il contributo del sistema di misura alla varianza totale della misura. In un classico gage R&R crossed i maggiori contributi alla varianza totale sono:

  • Process variation: misurata come deviazione standard delle parti ottenute da un processo
  • Ripetibilità: intesa come contributo del sistema di misura. Poiché questa componente non dipende dagli operatori, in generale nel gergo ANOVA può essere considerata una “in within variation” rispetto agli operatori.
  • Riproducibilità: intesa come contributo degli operatori e delle condizioni ambientali di misura. In gergo ANOVA, poiché dipende dal contributo degli operatori p indicata come una “in between variation”

Il problema che ci si pone è: volendo avere una confidenza del 95% sui valori di tali contributi, quanto sarebbero ampi gli intervalli di confidenza? Richiedere che un test fornisca un dato con una confidenza del 95% non è affatto raro. Se questi intervalli di confidenza fossero molto ampi, il valore vero di queste varianze potrebbero essere molto diverse da quelle reali e lo studio potrebbe portare ad interpretazioni errate. Immaginiamo il caso in cui il contributo alla varianza totale dovuto al sistema di misura risultasse elevato ma con un intervallo di confidenza molto ampio e che il valore vero di tale varianza fosse nel limite inferiore dell’intervallo di confidenza stesso. Si potrebbe decidere erroneamente di considerare il sistema poco adeguato ad eseguire le misure.

Studio di minitab sul corretto campionamento

L’unico modo per aumentare l’affidabilità del test è quello di aumentare la dimensione del campione. In uno studio eseguito da minitab e che trovate in rete al seguente link, viene dimostrato l’impatto che la dimensione del campione ha sia sull’intervallo di confidenza della varianza part to part (sperimentale ed ottenuta mediante simulazione) che della varianza legata alla ripetibilità (stimata utilizzando una distribuzione chi quadro). L’intervallo di confidenza della deviazione standard part to part si restringe significativamente all’aumentare del campione, mentre l’intervallo di confidenza della deviazione standard della ripetibilità diminuisce all’aumentare dei gradi di libertà  (dati dal prodotto del numero di campioni *numero di operatori * n-1 repliche in un classico studio crossed). Lo studio conclude che:

  • sarebbero necessarie più di 35 parti per diminuire significativamente l’intervallo di confidenza della deviazione standard part to part. E’ possibile diminuire questo numero al classico valore di 10 se si ha un dato storico e significativo della process variation (comprendente sia del contributo part to part che di quello della ripetibilità).
  • Il numero di misure influenza la ripetibilità. Nello studio riportato, minitab prova a stimare l’ampiezza degli intervalli di confidenza e run livello di confidenza del 90%. Se il numero di gradi di libertà è 35, i limiti dell’intervallo sono situati a valori più alti e più bassi del 20% rispetto al valore stimato. L’intervallo si stringe al 10% se i gradi di libertà (numero di campioni *numero di operatori * n-1 repliche) 135 gradi di libertà. Quindi un numero di ripetizioni pari a 2 va bene se i gradi i libertà sono >35. Ha senso aumentare le ripetizioni solo se non è possibile aumentare le parti o gli operatori
  • Sarebbero necessari più di 3 operatori, ma se la variazione part to part è molto maggiore di quella dovuta agli operatori allora si può accettare .

In conclusione la regola 10*3*2 è molto discutibile e si presta a buone analisi solo quando il contributo della process variation è stimabile da dati storici e non dalle misure dello studio stesso.

Gage R&R crossed con 2 way Anova test

Vediamo in che modo l’analisi della varianza (Anova) con un 2 way test consente di eseguire un gage R&R crossed. Ricordiamo che un 2 way anova test consente di determinare la varianza di un set di dati rispetto a 2 o più categorie. Nel caso di un classico gage R&R i contributi alla varianza sono:

gage R&R crossed: contributi alla varianza totale

Il test non fa altro che stimare ciascuna di queste varianze. In che modo lo fa? Per ognuna delle fonti di varianza occorre calcolare prima la somma quadratica e poi la media quadratica. Quest’ultima è ottenuta dividendo la prima per i gradi di libertà e poi il valore della variabile F. Per capire la logica con la quale si eseguono tali calcoli, ti consigliamo di leggere l’appunto relativo al one way anova test al seguente link. In breve si ottiene la seguente tabella:

gage R&R crossed: Tabella 2 way anova test

dove ricordiamo che i termini SS sono le somme quadratiche date rispettivamente da:

gage R&R crossed: somme quadratiche

dove k è il numero di operatori n il numero di parti ed r il numero di ripetizioni. è la media totale delle misure,  i è la media per ogni parte, j è la media per ogni operatore, xijk rappresenta ogni singola osservaizone e x̄ij è la media per ogni livello di fattore. Si noti come per il calcolo della somma quadratica dell’interazione parte * operatore si utilizzi il residuo della somma quadratica della variabilità totale.

Le medie quadratiche sono calcolate dividendo le somme quadratiche per i rispettivi gradi di libertà indicati nella terza colonna della tabella mostrata sopra.

Interazione operatore componente

Non sempre l’interazione tra gli operatori e i componenti risulta importante in uno studio gage R&R crossed. E’ fondamentale però definire se eseguire lo studio considerando oppure no questa componente di variazione. Ma in che modo è possibile eseguire questa scelta? In questo caso ci viene in aiuto il calcolo del p-value. Ricordiamo che il p-value ci fornisce la probabilità di ottenere un valore più estremo di quello ottenuto assumendo una particolare distribuzione (in questo caso F-statistic). In generale, la regola utilizzata da molti software prevede che se il p-value è minore di 0,25 è necessario considerare l’effetto dell’interazione operatori*componente nello studio gage R&R crossed. Se il p-value è maggiore di tale valore, tale interazione è considerata trascurabile e viene inglobata nella componente ripetibilità. In quest’ultimo caso accade che la somma quadratica della ripetibilità può essere considerata il residuo rispetto agli altri componente:

somme quadratiche

A questo punto è possibile procedere con il calcolo delle varianze

Calcolo delle varianze

La tabella sopra mostrata non fornisce ancora il risultato finale del nostro studio gage R&R crossed. Una volta calcolate le medie quadratiche è necessario calcolare le varianze di ciascun componente. Questa operazione viene eseguita utilizzando le formule teoriche per la stima delle medie quadratiche (EMS = expected mean square).

Non entriamo nel dettaglio delle formule matematiche che consentono il calcolo delle EMS. Software come minitab utilizzano degli algoritmi per ottenere tali valori. Nel caso particolare di un crossed Gage R&R valgono le seguenti relazioni:

varianze

Con il primo termine che rappresenta la varianza della ripetibilità. Tali formule derivano da un sistema di equazioni lineari ottenute ponendo le medie quadratiche calcolate nella tabella precedente uguali alle Expected Mean Square teoriche. Questo tipo di approccio può procurare delle stime delle varianze anche negative. In questo caso il valore negativo va sostituito con un valore pari a zero. Le equazioni che danno origine al sistema lineare sono le seguenti:

confronto con varianza attese

Ciascuna delle equazioni riporta per ogni expected mean square il contributo dovuto alle singole varianze opportunamente moltiplicato per un fattore dato dal numero di componenti o operatori o parti. Tali equazioni derivano dal fatto che uno studio R&R Anova crossed possa essere considerato come un esperimento fattoriale di secondo livello dove ciascuna misura può essere riportata come:

contributi all'incertezza

e dove P rappresenta il contributo dei componenti, O degli operatori, OP della loro interazione e l’ultimo rappresenta l’errore associato al sistema di misura. Tutti questi contributi sono considerati randomici con media zero in quanto si suppone che per utilizzare l’esperimento siano state prese in considerazione solo un campione delle parti/operatori della popolazione totale. Ciò comporta l’utilizzo di un random effects model da cui si ottengono le equazioni precedenti.

Percentuale Gage R&R sulla varianza totale

Il calcolo delle varianze ci consente di determinare in percentuale quanto sia il contributo di ciascun componente alle varianza totale. Ci sono diversi coefficienti che possono essere utilizzati per stimare il contributo del sistema di misura alla varianza totale. Uno di questi, già visto al seguente link come contributo alla process capability è il rapporto tra la precisione dello strumento e la tolleranza della misura:

P/T

In generale viene considerato un valore accettabile se inferiore a 0,1. In realtà non è sempre consigliabile utilizzare questo rapporto in quanto è fortemente dipendente dalle tolleranze USL e LSL.Un aumento delle tolleranze diminuirebbe il valore di tale rapporto.

Il rapporto che forse meglio esprime il contributo della strumentazione è il rapporto tra la deviazione standard dovuta al sistema di misura (il cui quadrato è la somma della varianza delle componenti di riproducibilità e ripetibilità) e la deviazione standard totale:

contributo gage

se tale valore è al di sotto del 10% lo strumento di misura è normalmente considerato adeguato. E’ accettabile in alcune applicazioni tra il 10 ed il 30% e inaccettabile oltre il 30%.

Gage R&R crossed con metodo average and range

In questo paragrafo accenniamo un secondo metodo molto utilizzato per eseguire un gage R&R crossed: il medoto average and range. Ci limiteremo a dare una descrizione di massima del metodo visto che in generale a questo è preferito il metodo ANOVA visto nei paragrafi precedenti. Immaginiamo di eseguire delle misure secondo la regola 10*3*2 e di ottenere una tabella del tipo:

gage R&R crossed: average and range

 Una volta creata la tabella occorre calcolare dei valori statistici che utili per lo studio di gage R&R. In particolare occorre calcolare:

  1. la media delle misure eseguite su tutti i componenti da ciascun operatore e su ciascun trial (media di ogni riga della tabella).
  2. Il range e la media di tutte le misure eseguite da ciascun operatore e su ciascun componente
  3. Il range e la media totale di ogni operatore
  4. La media ed il range totale di tutte le misure

calcolo statistiche

A questo punto è possibile calcolare i singoli contributi alla varianza totale. Partiamo dall’equipment variation (EV) e che coincide con la componente di repeatibility ed è la variazione dovuta all’operatore quando misura lo stesso componente più di una volta con lo stesso strumento. Essa è data da:

environmental variation

dove K1 è una costante che dipende dal numero di misure (0,8862 bel caso di 2 misure e 0,5908 in caso di 3 misure) ed R doppio barrato la media dei range di ciascun operatore (media dei valori “range punto 3” in tabella).

La componente di riproducibilità indicata con AV (Appraiser Variation) è invece la variazione delle misure fatte da differenti operatori quando viene misurato lo stesso componente:

appraiser variation

dove XDIFF barrato è la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo delle celle indicate come “media punto 3” e K2 è una costante che dipende dal numero di oepratori (0,7071 per due operatori e 0,5231 per 3 operatori).

AV ed EV consentono a questo punto di misurare la componente alla variazione totale dovuta sia alla ripetibilità che alla riproducibilità (GRR):

gage R&R crossed

Per calcolare invec la variazione totale è necessario calcolare la part variation PV ovvero la variazione dovuta ai componenti. Questa è data da:

part variation


dove Rp è calcolata come differenza tra il valore massimo ed il valore minimo delle medie dei componenti (valori “media punto 4” in tabella) e K3 è una costante che dipende dal numero di componenti misurati e la cui tabulazione è riportata nei manuali AIAG.

La variazione totale della misura è quindi data da:

total variation

A questo punto, per determinare la bontà di un sistema di misura si calcolano i valori percentuali di ciascun contributo:

percentuali di contributo

Attenzione, la somma di questi due percentuali non è 100!. Infatti TV non è la somma di GRR e PV ma è la somma quadratica di questi due contributi. Ciò accade perchè l’average and range method utilizza le varianze e non le deviazioni standard.

Il Valore di %GRR discrimina un buon sistema di misura da uno meno buono. In generale, sistemi di misura per  quali %GRR è minore di 10% allora il sistema è considerato ok. Se il valore è maggiore di 30% il sistema è detto inadeguato. I casi intermedi dipendono dal tipo di processo che si affronta in tale modo. In genera al posto di TV si può utilizzare anche la tolleranza del processo come già visto in questo appunto in cui affrontiamo il tema del contributo del sistema di misura alla process capability.

Link

Riportiamo qui di seguito alcuni link utili per confronto o approfondimenti:

https://www.spcforexcel.com/knowledge/measurement-systems-analysis/variable-measurement-systems-part-4-gage-rr

http://reliawiki.org/index.php/Measurement_System_Analysis

http://parsetraining.com/wp-content/uploads/2018/11/MSAmanual.pdf

Influenza del sistema di misura sulla process capability

Gage R&R crossed: analisi si un sistema di misura
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