In questo appunto vediamo in maggior dettaglio cosa caratterizza il fuoco di una parabola ed in che modo è possibile calcolarlo. In particolare vedremo:

Fuoco di una parabola

Il fuoco di una parabola è un punto non appartenente alla parabola e tale che ogni punto appartenente alla parabola è distante da esso tanto quanto lo è da una retta detta direttrice della parabola (vedi dimostrazione equazione parabola).

Il fuoco, inoltre giace sempre sull’asse di simmetria della parabola esattamente come il vertice.

Dato questo allineamento, fioco e vertice condividono una coordinata e questa coincide con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria. Tale coordinata è l’ascissa per parabole con asse di simmetria verticale e l’ordinata per parabole con asse di simmetria orizzontale. Un’altra caratteristica particolare del fuoco, ma non importante ai fini degli esercizi è che tutte le rette parallele all’asse di simmetria sono riflesse dalla parabola proprio verso il fuoco. Questa caratteristica è molto importante quando in ottica si ha a che fare con specchi parabolici si ha a che fare Poiché la parabola è una curva, la riflessione di tali rette (che in ottica chiameremo raggi) deve essere considerata verso la retta tangente alla parabola in quel punto. Parleremo di questa caratteristica del fuoco quando parleremo delle rette tangenti alla parabola.

fuoco di una parabola

Una conseguenza di questa caratteristica è che il fuoco, nel caso di parabole con asse verticale, ha la stessa ascissa del punto della parabola per il quale passa una retta tangente con coefficiente angolare pari a 1 (quindi parliamo di una retta che forma 45° con l’asse delle x)

Formule delle coordinate del fuoco di una parabola con asse di simmetria verticale

In questo appunto non entreremo troppo in dettaglio su come si giunge alle formule delle coordinate. Ci eravamo occupati di questo esercizio al seguente link. In questo paragrafo riportiamo solo le formule che necessita applicare per calcolare le coordinate del fuoco di una parabola nel caso in cui l’asse di simmetria sia parallelo all’asse delle y:

a partire dai coefficienti a,b e c dell’equazione di una parabola otteniamo le coordinate del fuoco di una parabola:

coordinate fuoco di una parabola

con:

Formule delle coordinate del fuoco di una parabola con asse di simmetria orizzontale

L’equazione della parabola adesso è del tipo:

le coordinate del fuoco diventano:

coordinate fuoco di una parabola asse orizzontale
Caso particolare, parabola con coefficiente b=0

Quando la parabola ha coefficiente b=0 l’asse di simmetria coincide con uno degli assi cartesiani. In questo caso non sarà necessario calcolare l’ascissa o l’ordinata del fuoco a seconda che l’asse di simmetria sia orizzontale o verticale. Infatti, tale coordinata sarà pari a zero. Riassumendo avremo:

Caso 1 asse di simmetria verticale

coordinate fuoco di una parabola b=0

Caso 2 asse di simmetria orizzontale

coordinate fuoco di una parabola asse orizzontale b=0

Se anche il coefficiente c della parabola è nullo (parabola con vertice coincidente con l’origine degli assi), le coordinate del fuoco diventano:

Caso 1 asse di simmetria verticale

Caso 2 asse di simmetria orizzontale

queste ultime due formule ci dicono che al crescere del coefficiente a (parabola più chiusa), il fuoco si avvicina all’origine degli assi.

Calcolare le coordinate del fuoco da altre informazioni note

Non sempre è necessario o possibile calcolare le coordinate del vertice a partire dai coefficienti dell’equazione della parabola. Può accadere infatti che l’equazione della parabola non sia nota e che sia necessario ricavare le coordinate del vertice da altre informazioni.

Ricordiamo ancora una volta che per parabole con asse di simmetria verticale:

  • Il fuoco ha la stessa ascissa del vertice e questa coincide con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria
  • L’ordinata del vertice è la media aritmetica dell’ordinata del fuoco e del termine noto dell’equazione della direttrice. Ne consegue che l’ordinata del fuoco è due volte l’ordinata del vertice meno il termine noto dell’equazione della direttrice

queste informazioni, nel caso di parabole con asse di simmetria orizzontale ascisse e ordinate si invertono:

  • Il fuoco ha la stessa ordinata del vertice e questa coincide con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria
  • L’ascissa del vertice è la media aritmetica dell’ascissa del fuoco e del termine noto dell’equazione della direttrice. Ne consegue che l’ascissa del fuoco è due volte l’ascissa del vertice meno il termine noto dell’equazione della direttrice
Esempi di calcolo delle coordinate del vertice

In questo paragrafo vediamo alcuni esempi di calcolo delle coordinate del fuoco partendo da alcune informazioni note. Ricordiamo che il primo step fondamentale è verificare di che parabola si tratti, ovvero se è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y oppure all’asse delle x. Vedremo che questa informazioni è deducibile spesso pur non conoscendo l’equazione della parabola.

Esempio 1

Calcolare le coordinate del fuoco della parabola y=2x2 -4x +1

In questo semplice esercizio non abbiamo altra informazione oltre ai coefficienti dell’equazione (a=2, b=-4, c=1). La parabola è del tipo con asse di simmetria parallelo all’asse delle y. Per questo motivo per calcolare le coordinate del fuoco utilizzeremo le formule:

ottenendo quindi:

Le coordinate del fuoco sono dunque F(1, 7/8)

Esempio 2

Calcolare le coordinate del fuoco della parabola di equazione x=-3y2 + 6y+2

In questo caso la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse dell x. Ne consegue che le formule che utilizzeremo saranno del tipo:

otteniamo quindi:

le coordinate del fuoco sono quindi (59/12 ,1)

Esempio 3

Calcolare le coordinate del fuoco della parabola y=2x2+3

Poiché b=0 non è necessario fare alcun calcolo per l’ascissa del fuoco. Essa infatti sarà zero. Il fuoco giace sull’asse delle y. Siamo dunque nel caso:

Per quanto riguarda l’ordinata applichiamo ancora la formula:

le coordinate del fuoco sono dunque (0, 25/12)

Esempio 4

Calcolare le coordinate del fuoco di una parabola avente asse di simmetria x=3, vertice di ordinata 4 e direttrice y=6.

L’ascissa del vertice coincide con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria. Per cui xF = 3. Per quanto riguarda l’ordinata ricordiamo che, l’ordinata del vertice è:

dove k è il termine noto dell’equazione della direttrice. Ne consegue che:

Il fuoco ha quindi coordinate F(3,2). Poiché il fuoco è posizionato più in basso rispetto al vertice, possiamo anche concludere che la parabola ha un coefficiente a negativo.

Esempio 5

Calcolare le coordinate del fuoco della parabola x=2y2

Poiché sia b che c sono uguali a 0 e la parabola ha asse di simmetria orizzontale, le coordinate del fuoco saranno:

e quindi avremo F(1/4 , 0)

Fuoco di una parabola
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