In questo appunto vediamo cosa sono i fuochi di un’iperbole e come le loro coordinate sono legate all’equazione dell’iperbole. Per comprendere il contenuto di questo appunto è consigliabile conoscere la definizione di iperbole e la sua equazione. Proveremo comunque a fornire le nozioni minime necessarie per comprender e il contenuto del seguente appunto. Vedremo in particolare:

Per ulteriori appunti sulla geometria analitica ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti. Si noti che in questo appunto non è trattato il caso di un’iperbole equilatera.

Breve definizione di iperbole come luogo geometrico di punti ed importanza dei fuochi

La definizione di iperbole come luogo geometrico di punti è la seguente:

L’iperbole è il luogo geometrico di punti del piano per i quali è costante il modulo della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi

se hai già familiarizzato con l’ellisse avrai subito notato che la definizione è molto simile negli elementi se non che qui si parla della differenza delle distanze, mentre nel caso dell’ellisse si parlava di somma delle distanze. Dunque, identificando con la notazione P(x,y) un generico punto appartenente all’iperbole e F1 ed F2 i suoi due fuochi, deve valere la relazione:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k

Se immaginiamo di posizionare i fuochi allineati orizzontalmente sull’asse delle ascisse ed in posizione simmetrica rispetto all’asse delle ordinate l’iperbole è una curva del tipo:

fuochi di un'iperbole

Dove l’asse sul quale sono posizionati i fuochi è detto asse trasverso, mentre l’asse ad esso perpendicolare è detto asse non trasverso. Se indichiamo la differenza delle distanze k=2a e poniamo come generiche coordinate dei fuochi i punti:

F_{1}(-c,0) \\\,\\ F_{2}(c,0)

si può dimostrare che l’equazione dell’iperbole è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

dove:

b^{2}=c^{2}-a^{2}

Adesso, ipotizzando che a sia costante, come varia l’iperbole al variare delle coordinate dei fuochi?

effetto della posizione dei fuochi sui rami dell'iperbole

Nel grafico sopra si osserva cosa succede quando i fuochi si allontanano tra loro (aumenta il valore 2c che è la distanza focale) mantenendo costante il valore di a. Il vertice non cambia, ma i rami dell’iperbole si allargano vistosamente. Nel limite di c che tende ad infinito accade che i bracci dell’iperbole tendono alle rette:

x=-a\\\,\\x=a
Coordinate dei fuochi nel caso di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente

Quando i fuochi sono allineati verticalmente l’equazione dell’iperbole è del tipo:

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1

e le coordinate dei fuochi diventano:

F_{1} (0,-c) \\\,\\ F_{2}(0,c)
Caso di un’iperbole traslata

Nel caso di un’iperbole traslata anche i fuochi risultano chiaramente traslati con l’intera curva. Vediamo di seguito in che modo variano l’equazione dell’iperbole e di conseguenza le coordinate dei fuochi.

Per un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e con centro in C(p,q) l’equazione e le coordinate dei fuochi diventano:

 

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ F_{1}(-c+p,q) \Rightarrow  F_{1}(-\sqrt{a^{2}+b^{2}}+p,q)\\\,\\   F_{2}(c+p,q) \Rightarrow  F_{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+p,q)

Nel caso di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e con centro in C(p,q) l’equazione e le coordinate dei fuochi diventano:

\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ F_{1}(p,-c+q) \Rightarrow  F_{1}(p,-\sqrt{a^{2}+b^{2}}+q)\\\,\\   F_{2}(p,c+q) \Rightarrow  F_{2}(p,\sqrt{a^{2}+b^{2}}+q)
Tabella di riepilogo

Vediamo di seguito la tabella riepilogativa delle formule relative alle coordinate dei fuochi per ciascuno dei casi visti in precedenza:

Fuochi di un’iperbole