Fuochi di un’ellisse

Vediamo in questo appunto in cosa consistono i fuochi di un’ellisse come calcolarne le coordinate e alcuni esempi di esercizi. In particolare vedremo:

• Cosa sono i fuochi di un’ellisse
• Come calcolare le coordinate dei fuochi di un’ellisse
• Relazione tra la lunghezza della semidistanza focale con quella dei semiassi
• Esempi di esercizi

Cosa sono i fuochi di un’ellisse

I fuochi di un’ellisse sono due punti del piano cartesiano che non appartengono all’ellisse. Sono due punti interni all’ellisse ma estremamente importanti perché la definiscono. Ricordiamo infatti la definizione di ellisse come luogo geometrico di punti:

L’ellisse è il luogo geometrico di punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi

raffiguriamo in un piano cartesiano l’esempio di un ellisse con i suoi due fuochi:

Nella figura sopra abbiamo indicato i due fuochi dell’ellisse con F₁ ed F₂. La definizione dell’ellisse come luogo geometrico di punti ci dice che:

P_{1}F_{1} +P_{1}F_{2} \,\,\,\,\cong \,\,\,\,P_{2}F_{1} +P_{2}F_{2} \,\,\,\, \cong \,\,\,\,P_{3}F_{1} +P_{3}F_{2}\,\,\,\, \cong \,\,\,\,P_{4}F_{1} +P_{4}F_{2}\,\,\,\, \cong\,\,\,\, P_{5}F_{1} +P_{5}F_{2}

Dunque, tutti i punti del piano per i quali la somma delle distanze rispetta la relazione sopra, fanno parte dell’ellisse. I fuochi di un’ellisse hanno le seguenti caratteristiche:

• sono sempre posizionati sull’asse maggiore dell’ellisse
• sono sempre simmetrici rispetto al centro dell’ellisse
• nel caso di ellissi non traslate con il centro che coincide con l’origine degli assi hanno coordinate:
  • F₁ (-c,0) e F₂ (c,0) se i due fuochi sono disposti sull’asse delle ascisse
  • F₁(0,c) e F₂(0,-c) se i due fuochi sono disposti sull’asse delle ordinate

Vediamo nel prossimo paragrafo come calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse a partire dalla sua equazione.

Come calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse

Le coordinate dei fuochi dell’ellisse dipendono fortemente dal tipo di ellisse con cui abbiamo a che fare. Se ci limitiamo ai casi in cui l’ellisse non è ruotata nel piano cartesiano, possiamo limitarci ai seguenti tre casi:

• Caso in cui l’elisse ha i fuochi allineati orizzontalmente e con il centro che coincide con l’origine degli assi
• Ellisse con i fuochi allineati verticalmente e con il centro che coincide con l’origine degli assi
• Ellisse traslata

Evitiamo in questo paragrafo di descrivere l’equazione dell’ellisse. Troverai degli appunti approfonditi a questo link. Riassumiamo però le formule che ci consentono di calcolare le coordinate dei fuochi di un’ellisse con la seguente tabella:

nella tabella compare il parametro c nelle coordinate dei fuochi. Come si lega ai coefficienti presenti nell’equazione generica di un’ellisse? La relazione da considerare è la seguente:

a^{2}-b^{2}= c^{2}

dove a e b sono le lunghezze dei semiassi dell’ellisse e dove c è la semidistanza dei fuochi dell’ellisse.

Nota:

Per calcolare le coordinate dei fuochi è innanzitutto necessario capire con quale tipologia di ellisse si ha a che fare analizzando la sua equazione. Questo aspetto è fondamentale prima di affrontare qualsiasi tipo di esercizio sull’ellisse.

Relazione tra la lunghezza della semidistanza focale con quella dei semiassi

Spendiamo adesso qualche parola sul valore c presente nelle coordinate dei fuochi. Abbiamo visto nel paragrafo precedente che vale la relazione:

a^{2} - b^{2}=c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2} = b^{2}+c^{2}

dunque il quadrato del semiasse maggiore è dato dalla somma del quadrato del semiasse minore con il quadrato della semidistanza focale. Potremmo rappresentare questa relazione considerando il triangolo rettangolo BOF all’interno dell’ellisse:

poiché per il triangolo BOF vale il teorema di Pitagora in quanto rettangolo, possiamo scrivere:

\overline{BF_{2}^{2}} = \overline{OB_{2}^{2}} +\overline{OF_{2}^{2}}

ma:

\overline{OB_{2}^{2}} = b \\\,\\ \overline{OF_{2}^{2}} = c

per cui:

\overline{BF_{2}^{2}} = b^{2}+c^{2} = a^{2} 

dunque l’ipotenusa BF₂ ha la stessa lunghezza del semiasse maggiore dell’ellisse.

Nota:

La lunghezza dei semiassi di un’ellisse è in relazione con le coordinate dei vertici di un’ellisse. Trovi un approfondimento al seguente link.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare le coordinate dei fuochi della seguente ellisse:

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

Analizziamo innanzitutto l’equazione dell’ellisse. Poiché il coefficiente al denominatore della x è maggiore del coefficiente al denominatore della y e mancando altri termini noti, l’ellisse avrà i fuochi allineati orizzontalmente sull’asse delle x e il suo centro coinciderà con l’origine degli assi.

Dunque i due fuochi avranno coordinate:

F_{1} (-c,0) \\\,\\ F_{2} (c,0) 

dall’equazione ricaviamo che:

c^{2} = a^{2} -b^{2} = 25-9 = 16 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\c_{1} = -4 \\\,\\ c_{2}= 4

per cui le coordinate dei fuochi dell’ellisse saranno:

F_{1} (-4,0) \\\,\\ F_{2} (4,0) 

Esercizio 2

Calcolare le coordinate dei fuochi della seguente ellisse:

\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1

Analizziamo innanzitutto l’equazione dell’ellisse. Poiché il coefficiente al denominatore della x è minore del coefficiente al denominatore della y e mancando altri termini noti, l’ellisse avrà i fuochi allineati orizzontalmente sull’asse delle y e il suo centro coinciderà con l’origine degli assi.

Dunque i due fuochi avranno coordinate:

F_{1} (0,c) \\\,\\ F_{2} (0,-c) 

dall’equazione ricaviamo che:

c^{2} = a^{2} -b^{2} = 25-9 = 16 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\c_{1} = -4 \\\,\\ c_{2}= 4

per cui le coordinate dei fuochi dell’ellisse saranno:

F_{1} (0,4) \\\,\\ F_{2} (0,-4) 

Esercizio 3

Calcolare i fuochi dell’ellisse con centro che coincide con l’origine degli assi ed avente due vertici nei punti A(0,13) e B(5,0)

Analizziamo innanzitutto le informazioni sulle coordinate dei due vertici per capire con che tipo di ellisse abbiamo a che fare. Il vertice A, che si trova sull’asse delle ordinate, è molto più distante dall’origine degli assi rispetto al vertice B. Ne consegue che il semiasse maggiore si trova sull’asse delle ordinate così come i due fuochi. Dunque possiamo scrivere che l’equazione è del tipo:

\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{13^{2}}=1

dove:

a=13 \\\,\\ b=5

calcoliamoci dunque c:

c = \pm \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \pm \sqrt{13^{2}-5^{2}} =\pm\sqrt{169-25} = \pm \sqrt{144} = \pm12 

dunque i due fuochi hanno coordinate:

F_{1} (0,12) \\\,F_{2} (0,-12)

Esercizio 4

Calcolare le coordinate dei fuochi dell’ellisse di equazione:

\frac{(x-3)^{2}}{289} + \frac{(y+2)^{2}}{225} = 1

poiché il denominatore del termine in x è maggiore di quello in y, abbiamo a che fare con un’ellisse i cui fuochi sono allineati orizzontalmente. Possiamo dunque ricavare il valore di c mediante la seguente relazione:

c^{2} = 289-225 = 64

da cui:

c= \pm 8

Dall’equazione possiamo notare che l’ellisse non è centrata rispetto all’origine degli assi. Essa infatti è centrata rispetto al punto:

C(3,-2)

allora le coordinate dei fuochi saranno:

F_{1}(-c+x_{C},y_{C} ) = F_{1} (-5,-2) \\\,\\F_{2}(c+x_{C},y_{C} ) = F_{1} (11,-2)