In questo appunto vediamo come sono definite le funzioni goniometriche secante e cosecante, ne dimostreremo le formule e forniremo qualche esempio di esercizio. Vedremo dunque:
- Definizione della secante e cosecante attraverso la circonferenza goniometrica
- Formule della secante e cosecante
- Secante e cosecante come funzioni:
- Formule di addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione , prostaferesi e Werner
- Esempi di esercizi
Definizione della secante e cosecante attraverso la circonferenza goniometrica
Ricordiamo che la circonferenza goniometrica è una circonferenza in un piano cartesiano avente centro nell’origine degli assi e raggio unitario. E’ possibile rappresentare qualsiasi angolo nella circonferenza goniometrica. Consideriamo adesso un generico angolo α nella seguente figura:
L’ampiezza dell’angolo α è rappresentata dalla posizione del raggio vettore che forma con l’asse delle x proprio tale angolo. Il raggio vettore interseca la circonferenza nel punto P che ricordiamo avere come ascissa il coseno dell’angolo α e come ordinata il seno dell’angolo α. Dunque abbiamo che:
\overline{OP} = 1 \\\,\\ \overline{OA} = cos\alpha \\\,\\ \overline{OB} = sin\alpha
Adesso tracciamo la retta tangente alla circonferenza nel suo punto P. Tale retta intersecherà gli assi cartesiani in due punti che indicheremo con R ed S:
R(x_{R},0) \\\,\\ S(0,y_{S})
Adesso possiamo definire la secante e la cosecante:
Si dice secante di un generico angolo α l’ascissa del punto di intersezione tra l’asse delle ascisse e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P quando il raggio vettore è ruotato di α rispetto all’asse delle ascisse. Nell’esempio riportato in figura la secante di α è l’ascissa del punto R
Si dice cosecante di un generico angolo α l’ordinata del punto di intersezione tra l’asse delle ordinate e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P quando il raggio vettore è ruotato di α rispetto all’asse delle ascisse. Nel punto riportato in figura la cosecante di α è l’ordinata del punto S
Si noti che ci sono alcuni angoli per i quali non è possibile poter definire la secante e la cosecante. Consideriamo i seguenti valori di α:
\alpha= \frac{\pi}{2} + k\pi
Per tali valori, il raggio vettore si posiziona sull’asse delle ordinate. Il punto P ha coordinate (0,1) o (0,-1). In questa situazione la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto P non incontra mail l’asse delle ascisse essendo ad esso parallelo. Dunque non esiste un valore della secante di α se questo assume i valori sopra mostrati.
Stessa cosa accade per la cosecante ma quando α assume i seguenti valori:
\alpha= 0+k\pi
Possiamo rappresentare queste situazioni nella seguente figura:
Formule della secante e della secante
Dopo aver definito la secante e la cosecante geometricamente proviamo a definire una formula per queste due funzioni goniometriche. Riprendiamo la prima figura di questo appunto per dimostrare le formule della secante e della cosecante:
Dimostrazione della formula della secante
consideriamo i due triangoli OPA a OPR. Possiamo dire per il primo criterio di similitudine che i due triangoli sono simili avendo due angoli congruenti: l’angolo α e l’angolo retto. Nell’angolo OPR l’ipotenusa è il segmento OR di lunghezza pari alla cosecante secondo la definizione data in precedenza. Il segmento OP è invece il cateto adiacente all’angolo α ed ha lunghezza pari a 1. Nel caso invece del triangolo OPA, l’ipotenusa è proprio il segmento OP, mentre il cateto adiacente all’angolo α è il segmento OA di lunghezza pari al cos α . Possiamo dunque scrivere la seguente proporzione derivante dalla similitudine dei due triangoli rettangoli:
\overline{OR}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{OA}
il che equivale a scrivere:
sec \alpha :1=1:cos \alpha
da cui:
\mathbf{sec\alpha = \frac{1}{cos \alpha}}
Abbiamo dunque dimostrato che la secante di un angolo altro non è che l’inverso del coseno di tale angolo
Dimostrazione della cosecante di un angolo
Eseguiamo adesso lo stesso tipo di dimostrazione considerando ancora il triangolo OPS e lo confrontiamo con l’angolo OPB. Anche in questo caso i due triangoli sono simili avendo entrambi un angolo retto ed avente un angolo in comune. Si tratta dell’angolo BOP che è pari a 90°- α. Abbiamo dunque che nel triangolo OPS:
- l’ipotenusa è il segmento OS e corrisponde alla cosecante dell’angolo α per come è stata definita nel paragrafo precedente
- Il raggio vettore OP di lunghezza unitaria è il cateto adiacente all’angolo 90- α
Nel triangolo OPB abbiamo invece che:
- l’ipotenusa è il raggio vettore OP
- Il cateto adiacente all’angolo 90- α è il segmento OB che avrà lunghezza pari al seno di α
Possiamo dunque scrivere la proporzione:
\overline{OS}:\overline{OP}=\overline{OP}:\overline{OB} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cosec\alpha :1 = 1 : sin \alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{cosec \alpha = \frac{1}{sin \alpha}}
Abbiamo dunque dimostrato che la cosecante di un angolo altro non è che l’inverso del seno di quell’angolo.
Secante e cosecante come funzioni
Abbiamo fino qui definito cosa sono la secante e la cosecante di un angolo e abbiamo individuato per esse due formule che le esprimono rispettivamente come inverso del coseno e del seno di tale angolo. In questo paragrafo analizziamo la secante e la cosecante come funzioni definendone il dominio di esistenza e mostrandone il grafico.
Dominio e grafico della funzione secante
Partiamo dalla funzione secante e ricordiamo che essa altro non è che l’inverso della funzione coseno. Il dominio della secante deve dunque escludere i valori di α per i quali il coseno dell’angolo è nullo. Dunque, poiché il coseno dell’angolo è 0 quando α è pari π/2 + kπ con k appartenente all’insieme dei numeri interi. Dunque la funzione secante è definita, o in altri termini il suo dominio è, per tutti i valori di x che sono diversi da π/2 + kπ:
x \neq \frac{\pi}{2}+ k\pi , \,\,\,\, k \in Z
Adesso vediamo il grafico della funzione secante:
elenchiamo di seguito alcune delle proprietà della funzione secante che possiamo desumere guardando il suo grafico
- La funzione secante è una funzione periodica di periodo 2π
- Si tratta di una funzione pari per cui f(-x) = f(x). In altre parole l’asse delle y risulta asse di simmetria per la funzione. Si noti che qualsiasi retta del tipo y=kπ può essere considerata asse di simmetria della funzione
- il suo codominio o immagine è compreso nell’intervallo ]-inf,-1] U [1,+inf[ . In altre parole la funzione può assumere tutti i valori eccetto quelli compresi tra 1 e -1. Potremmo verificare questa proprietà anche graficamente osservando la circonferenza goniometrica. La secante, per come definita non può mai essere all’interno della circonferenza goniometrica. Alternativamente si guardi alla funzione coseno. Poiché la funzione coseno non è mai maggiore di 1 e minore di -1, ne consegue che la funzione secante non può assumere valori tra -1 e 1. Poiché il codominio della funzione si estende a +inf e a -inf, la funzione è illimitata superiormente e inferiormente
- Per quanto detto nel punto prima, la funzione presenta dei massimi e dei minimi locali relativi che coincidono proprio con 1 e -1. Questi accadono, alternativamente, per valori di angolo pari a multipli interi di π.
- Quando gli angoli assumono valori pari a π/2+kπ, la funzione non è definita. Ne risulta che questa non assume un valore specifico. Notiamo però che a destra e a sinistra di tali valori la funzione tende sempre a infinito con un segno che dipende dall’angolo. Infatti se k è pari la funzione sarà tendente a +infinito a sinistra e a -infinito a destra. Con k dispari la situazione si inverte
- Il segno della funzione secante può essere sia positivo che negativo. Esso è positivo nell’intervallo di valori:
2k\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2k\pi +\frac{\pi}{2}
- la funzione secante sarà negativa in tutti gli altri intervalli
- Non interseca mai l’asse delle x, conseguentemente al fatto che non può assumere valori nell’intervallo compreso tra -1 e 1. Interseca l’asse delle y nel punto (0,1)
- La funzione è convessa negli intervalli in cui è positiva e concava negli intervalli in cui è negativa
- La funzione è monotona strettamente crescente negli intervalli (0, π/2[ e ]π/2,π) e strettamente decrescente negli intervalli (π,3π/2[ e ]3π/2,2π). Poiché la funzione ha periodo 2π allora anche questa proprietà si ripeteranno con periodo 2π
Dominio e grafico della funzione cosecante
Vediamo adesso le principali peculiarità della funzione cosecante utilizzando lo stesso schema usato per la funzione secante. Partiamo dunque dal dominio della funzione che risulta definita per ogni x appartenente ad R eccetto per i valori in cui x è pari a π+kπ:
x\neq \pi + k\pi, \,\,\, k \in Z
il grafico della funzione cosecante risulta essere il seguente:
elenchiamo di seguito alcune delle proprietà della funzione cosecante che possiamo desumere guardando il suo grafico
- La funzione secante è una funzione periodica di periodo 2π
- Si tratta di una funzione dispari per cui f(-x) = -f(x). In altre parole l’origine degli assi risulta asse centro di simmetria per la funzione. Si noti che qualsiasi retta del tipo y=k(π/2) può essere considerata asse di simmetria della funzione
- il suo codominio o immagine è compreso nell’intervallo ]-inf,-1] U [1,+inf[ . In altre parole la funzione può assumere tutti i valori eccetto quelli compresi tra 1 e -1. Potremmo verificare questa proprietà anche graficamente osservando la circonferenza goniometrica. La cosecante, per come definita non può mai essere all’interno della circonferenza goniometrica. Alternativamente si guardi alla funzione seno. Poiché la funzione seno non è mai maggiore di 1 e minore di -1, ne consegue che la funzione cosecante non può assumere valori tra -1 e 1. Poiché il codominio della funzione si estende a +inf e a -inf, la funzione è illimitata superiormente e inferiormente
- Per quanto detto nel punto prima, la funzione presenta dei massimi e dei minimi locali relativi che coincidono proprio con 1 e -1. Questi accadono, alternativamente, per valori di angolo pari a π/2 + kπ.
- Quando gli angoli assumono valori pari a kπ, la funzione non è definita. Ne risulta che questa non assume un valore specifico. Notiamo però che a destra e a sinistra di tali valori la funzione tende sempre a infinito con un segno che dipende dall’angolo. Infatti se k è pari la funzione sarà tendente a +infinito a destra e a -infinito a sinistra. Con k dispari la situazione si inverte
- Il segno della funzione secante può essere sia positivo che negativo. Esso è positivo nell’intervallo di valori:
2k\pi < x<(2k+1)\pi
- la funzione cosecante sarà negativa in tutti gli altri intervalli.
- Non interseca mai gli assi cartesiani. L’asse delle y risulta asintoto verticale
- La funzione è convessa negli intervalli in cui è positiva e concava negli intervalli in cui è negativa
- La funzione è monotona strettamente crescente negli intervalli (π/2, π [ e ]π,3π/2) e strettamente decrescente negli intervalli (-π/2,0[ e ]0,π/2). Poichè la funzione ha periodo 2π allora anche questa proprietà si ripeteranno con periodo 2π
Formule di addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione , prostaferesi e Werner
Le formule di addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione , prostaferesi e werner derivano direttamente da quelle del seno e del coseno. Per la risoluzione degli esercizi, non sono necessarie altre formule per la secante e cosecante in quanto basterebbe esprimere queste come inverse del coseno e del seno
Esempi di esercizi
Esempio 1
Calcolare la secante e la cosecante di 30°
Ricordiamo dalla tabella dei valori delle funzioni goniometriche i valori del seno e del coseno di 30°:
sin 30° = \frac{1}{2} \\\,\\ cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}
adesso possiamo calcolare il valore della secante e cosecante dell’angolo, applicando le rispettive definizioni di inverso della funzioni coseno e seno:
sec 30° = \frac{1}{cos30°} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\\,\\ cosec 30° = \frac{1}{sin 30°} = \frac{1}{\frac{1}{2}}=2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
Esempio 2
Calcolare la cosecante di 2α in funzione della secante e cosecante di α
L’esercizio richiede di utilizzare le formule di duplicazione per esprimere la cosecante in funzione dell’angolo α, Abbiamo però detto che non è necessario individuare delle formule ad hoc di duplicazione per le funzioni secante e cosecante in quanto possiamo sempre esprimerle come inverso della funzione coseno e seno. Dunque in questo caso abbiamo:
cosec 2\alpha = \frac{1}{sin 2\alpha}
ma la formula di duplicazione del seno di dice che:
sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha
ne risulta dunque che:
cosec2\alpha = \frac{1}{sin2\alpha} = \frac{1}{2sin\alpha cos\alpha} = \frac{1}{2}cosec\,\alpha sec\alpha
che potrebbe essere considerata come la formula di duplicazione della funzione cosecante.
