In questo appunto vediamo cosa sono gli archi associati delle funzioni goniometriche e come questi consentono di semplificare espressioni o equazioni che includono tali funzioni. Per capire bene il contenuto di questo appunto è importante conoscere le funzioni goniometriche (seno e coseno, tangente e cotangente). Per la dimostrazione degli archi associati si utilizzeranno i criteri di congruenza nel caso di un triangolo rettangolo e formule di addizione e sottrazione. In particolare in questo appunto vedremo:

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Cosa sono gli archi associati (o angoli associati)

Nello studio e utilizzo delle funzioni goniometriche è assolutamente importante avere degli strumenti che consentano di applicare delle semplificazioni. Uno di questi strumenti consiste nella conoscenza degli archi associati o angoli associati. Ma cosa sono gli angoli associati? Partiamo da una considerazione molto semplice. Tutti i possibili valori che le funzioni goniometriche possono assumere in modulo possono essere ottenuti con gli angoli appartenenti al primo quadrante della circonferenza goniometrica. Esiste dunque la possibilità di associare il valore di una funzione goniometrica di un qualsiasi angolo della circonferenza goniometrica con quello di un angolo del primo quadrante? La risposta è affermativa. Due angoli tra i quali è possibile associare il valore di due funzioni goniometriche sono detti per l’appunto angoli associati (o archi associati). Gli angoli associati devono delle specifiche caratteristiche per poter consentire l’associazione dei valori delle funzioni goniometriche. Possiamo definire 7 tipi di angoli associati:

1. Angoli complementari
2. Angoli che differiscono di π/2
3. Angoli supplementari
4. Angoli che differiscono di π
5. Angoli la cui somma è 3π/2
6. Angoli che differiscono di 3π/2
7. Angoli esplementari

Nei prossimi paragrafi vedremo caso per caso quali sono le relazioni delle funzioni goniometriche per tali angoli associati

Angoli complementari

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è l’angolo retto. In questo paragrafo presentiamo dunque le relazioni che sussistono tra le funzioni goniometriche di due angoli complementari. Indicheremo tali angoli con:

\alpha \\\,\\ \frac{\pi}{2}-\alpha

è facile infatti dimostrare che questi due angoli sono complementari:

\alpha + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{\pi }{2}

Per due angoli complementari possiamo scrivere le seguenti relazioni tra le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente:

cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = sin\alpha \\\,\\  sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = cos\alpha \\\,\\ tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)= cotg\alpha \\\,\\ cotg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=tan\alpha

Vediamo nel prossimo paragrafo come dimostrare geometricamente tali relazioni

Dimostrazione geometrica

La dimostrazione geometrica che proponiamo per il caso degli angoli complementari può essere utilizzata in modo del tutto simile per tutti gli altri archi associati. La utilizzeremo per dimostrare  la relazione tra le funzioni seno e coseno. Consideriamo dunque due angoli complementari che indicheremo con α e con 90-α. Per semplificare la comprensione, in questo e nei prossimi casi, rappresenteremo α come un angolo acuto (per angoli complementari non può che essere così) ma in realtà α può assumere negli altri casi qualsiasi valore! Disegniamo α e 90-α sulla circonferenza goniometrica insieme alle loro proiezioni sugli assi, le cui lunghezze sono pari al modulo delle funzioni seno e coseno:

archi associati: angoli complementari

consideriamo dunque i due triangoli rettangoli OPA e O’P’A’. Possiamo dimostrare che:

  • L’ipotenusa OP e l’ipotenusa O’P’ sono congruenti in quanto entrambi raggi della circonferenza goniometrica
  • Gli angoli adiacenti all’ipotenusa OP sono a due a due congruenti agli angoli adiacenti ad O’P’. Ricordiamo infatti che in un triangolo rettangolo gli angoli adiacenti all’ipotenusa sono complementari. Dunque se un angolo ha un generico valore α, all’ora il secondo avrà valore 90-α:
A\widehat{O}P \cong O'\widehat{P'}A' = \alpha \\\,\\ A\widehat{P}O \cong A'\widehat{O'}P' = \frac{\pi}{2}-\alpha

Dunque, poiché i due triangoli hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti, per il secondo principio di congruenza essi sono congruenti. Ne consegue che:

\overline{AO} \cong \overline{O'B'} \\\,\\  \overline{OB} \cong \overline{O'A'}

possiamo però esprimere le lunghezze dei cateti in termini delle funzioni seno e coseno:

\overline{AO} \cong \overline{O'B'} \,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, cos\alpha = sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\\,\\  \overline{OB} \cong \overline{O'A'}\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, sin\alpha = cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)

abbiamo così dimostrato la relazione che sussiste tra il seno ed il coseno di due angoli complementari! Verifichiamolo considerando i due angoli 30° e 60°:

cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\\,\\\\\,\\ cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

effettivamente i valori per seno e coseno si invertono! Calcoliamo adesso la tangente di 90-α:

tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} =\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=cotg\alpha

utilizzando dunque la definizione della funzione tangente come rapporto delle funzioni seno su coseno, e le relazioni appena dimostrate per due angoli complementari, otteniamo che la tangente di 90-α è uguale alla cotangente di α. Facciamo la stessa cosa per la funzione cotangente:

cotg \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} =\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tan\alpha

E’ possibile anche per le funzioni tangente e cotangente fare una dimostrazione geometrica utilizzando ancora la congruenza tra i triangoli rettangoli che si formano rappresentando graficamente tali funzioni. Invitiamo il lettore ad esercitarsi.

Dimostrazione con formule di sottrazione

Dimostriamo ancora una volta le formule degli archi complementari utilizzando questa volta le formule di sottrazione per il seno ed il coseno:

cos(\alpha-\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) \\\,\\  sin(\alpha-\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)

Partiamo dunque dal caso del coseno. Nel nostro caso ad α – β sostituiamo 90 – α. Vediamo cosa accade al coseno:

cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) =cos\left(\frac{\pi}{2}\right)cos\left(\alpha\right) + sin\left(\frac{\pi}{2}\right)sin\left(\alpha\right) = 0*cos\alpha+1*sin\alpha = sin\alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = sin\alpha}

ecco dimostrata la prima delle formule. Vediamo cosa accade per il seno:

 sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = sin\left(\frac{\pi}{2}\right)cos\left(\alpha\right) - cos\left(\frac{\pi}{2}\right)sin\left(\alpha\right) =1+cos\alpha-0*sin \alpha=cos\alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=cos\alpha}
Angoli che differiscono di π/2

Vediamo adesso che rapporto c’è tra le funzioni goniometriche quando abbiamo a che fare con due angoli che differiscono di 90°. Si ricordi che α è rappresentato come un angolo acuto per semplicità, ma può essere un qualsiasi angolo. Come fatto nel primo caso rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:

archi associati: angoli che differiscono di 90°

Anche in questo caso è possibile, attraverso considerazioni geometriche, identificare la relazione tra il seno ed il coseno di due angoli che differiscono di 90°. Il triangolo rettangolo OPA è infatti congruente al triangolo O’P’B’. Lasciamo al lettore questo esercizio ma si faccia attenzione a ricordare che sono il modulo del seno ed il modulo del coseno dei due angoli che rappresentano la lunghezza dei cateti. Quando le due funzioni sono situate lungo la parte negativa degli assi cartesiani, queste assumono valori negativi. E una lunghezza, non può essere negativa!! Graficamente notiamo che:

cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)= -sin\alpha \\\,\\ sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = cos\alpha

verifichiamo queste relazioni utilizzando le formule di addizione di seno e coseno. Ricordiamo che:

cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)\\\,\\sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

sostituiamo ai generici α+β i valori π/2+α:

cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)= cos\left(\frac{\pi}{2}\right)cos\left(\alpha\right)-sin\left(\frac{\pi}{2}\right)sin\left(\alpha\right)=0*cos\alpha-1*sin\alpha=-sin\alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\mathbf{cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-sin\alpha} \\\,\\ \,\\ sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=sin\left(\frac{\pi}{2}\right)cos\left(\alpha\right)+cos\left(\frac{\pi}{2}\right)sin\left(\alpha\right)=1*cos\alpha+0*sin\alpha=cos\alpha \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\mathbf{sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=cos\alpha}

Dunque le formule di addizione ci confermano quanto dimostrabile geometricamente. Vediamo dunque cosa accade alle funzioni tangente e cotangente:

tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \frac{sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}= \frac{cos\alpha}{-sin\alpha}=-cotg\alpha \\\,\\ cotg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \frac{cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}= \frac{-sin\alpha}{cos\alpha}=-tan\alpha

dunque ricapitolando:

cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-sin\alpha \\\,\\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=cos\alpha \\\,\\ tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-cotg\alpha \\\,\\ cotg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-tan\alpha
Angoli supplementari

Vediamo adesso cosa accade quando abbiamo a che fare con due angoli supplementari. Ricordiamo che due angoli si dicono supplementari se la loro somma è pari a 180° di seguito indicheremo genericamente i due angoli con α e π- α. Graficamente abbiamo:

archi associati: angoli supplementari

ancora una volta otteniamo due triangoli rettangoli congruenti. Attraverso considerazioni geometriche o con l’utilizzo delle formule di sottrazione potrai dimostrare le seguenti formule:

cos\left(\pi -\alpha\right) = -cos\alpha \\\,\\ sin \left(\pi -\alpha\right) = sin \alpha \\\,\\ tan\left(\pi -\alpha\right)= -tan \alpha \\\,\\ cotg \left(\pi -\alpha\right)=-cotg\alpha
Angoli che differiscono di π

Vediamo cosa accade per due angoli che differiscono di π. Graficamente abbiamo:

 

archi associati: angoli che differiscono di 180°

le formule divengono:

cos\left(\pi +\alpha\right)=-cos\alpha \\\,\\ sin\left(\pi +\alpha\right) = -sin \alpha \\\,\\ tan\left(\pi +\alpha\right)= tan \alpha \\\,\\ cotg\left(\pi +\alpha\right)= cotg\alpha
Angoli la cui somma è 3π/2

Nel caso in cui i due angoli sono tali che la loro somma è 3π/2 abbiamo:

le formule degli angoli associati divengono:

cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =-sin\alpha \\\,\\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-cos\alpha \\\,\\ tan\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = cotg\alpha \\\,\\ cotg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) =tan\alpha
Angoli che differiscono di 3π/2

Consideriamo adesso il caso di due angoli che differiscono 3π/2:

 

le formule per tali archi associati divengono:

cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =sin\alpha\\\,\\ sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-cos\alpha \\\,\\ tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-cotg\alpha \\\,\\ cotg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-tan\alpha
Angoli esplementari

Ricordiamo che due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro:

dove il generico angolo 2π- α può anche essere scritto come – α. Ne risulta che le formule degli angoli associati sono:

cos\left(2\pi-\alpha\right)=cos(-\alpha) = cos\alpha \\\,\\sin\left(2\pi-\alpha\right)=sin(-\alpha) = -sin\alpha \\\,\\tan\left(2\pi-\alpha\right)=tan(-\alpha) = -tan\alpha \\\,\\cotg\left(2\pi-\alpha\right)=cotg(-\alpha) = -cotg\alpha \\\,\\
Tabella riassuntiva

Vediamo di seguito una tabella che riassume tutte le casistiche viste nell’intero appunto:

archi associati: tabella riepilogativa
Funzioni goniometriche ed archi associati