In questo appunto vediamo in cosa consistono le formule parametriche di seno, coseno e tangente. Per poter comprendere al meglio il contenuto di questo appunto ti rimandiamo agli appunti relativi alle funzioni seno e coseno e tangente alle formule di duplicazione delle funzioni goniometriche. In questo appunto vedremo:

Per altri appunti di goniometria ti rimandiamo al seguente link.

Cosa sono le formule parametriche di seno e coseno

Le formule parametriche di seno e coseno sono delle formule che consentono di esprimere il seno o il coseno di un angolo in funzione di un parametro che indicheremo con t. Tali formule sono molto utili quando occorre risolvere delle equazioni o disequazioni goniometriche, ma soprattutto alcune forme di integrali.

Con le formule parametriche possiamo scrivere nel seguente modo le funzioni seno e coseno:

sin\alpha = \frac{2t}{1+t^{2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \neq \pi+ 2k\pi\\\,\\ cos \alpha = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \neq \pi+ 2k\pi\\\,\\ tg\alpha= \frac{2t}{1-t^{2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \wedge \alpha \neq \pi + 2k\pi

dove il parametro t altro non è che la tangente di alfa mezzi:

t= tan \frac{\alpha}{2}

Per cui, osservando le formule sopra scritte, queste sono valide solo nel dominio della tangente. Sappiamo infatti che la tangente di un angolo esiste se e solo se l’angolo è diverso da 90° o 270°. Ovvero nel caso di alfa mezzi dovremmo scrivere:

\frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\alpha \neq \pi+ 2k\pi

Dunque per ricapitolare, è possibile esprimere il seno ed il coseno di un angolo utilizzando le formule parametriche se e solo se:

\alpha \neq \pi+ 2k\pi
Dimostrazione delle formule parametriche

Mostriamo in questo paragrafo la dimostrazione delle formule.

Formula parametrica del seno

Partiamo dalla formula di duplicazione del seno. Ricordiamo che questa dice:

sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha 

possiamo dunque riscrivere tale equazione sostituendo α a 2α:

sin\alpha = 2sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)

Adesso possiamo riscrivere il secondo membro dell’equazione

sin\alpha = \frac{2sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1}

adesso ricordiamo la relazione fondamentale della goniometria che dice:

sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)  + cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)  =1

dunque possiamo sostituire questa formula al denominatore del secondo membro e ottenere:

sin\alpha = \frac{2sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)  cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) }{sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)  + cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right) }

Si noti che ponendo:

cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)  \neq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha \neq  \pi+ 2k\pi

possiamo dividere il numeratore e il denominatore per il quadrato del coseno di α/2 ottenendo:

sin\alpha = \frac{\frac{2sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)  cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)} }{\frac{sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) }{cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)} + \frac{cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)} }

adesso applicando le opportune semplificazioni e considerando che il rapporto tra il seno di un angolo ed il coseno di un angolo restituisce la sua tangente possiamo scrivere:

sin\alpha = \frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{tan^{2}\frac{\alpha}{2}+1}

sostituendo alla tangente il parametro t, possiamo scrivere:

sin\alpha = \frac{2t}{t^{2}+1}

come volevasi dimostrare

Formula parametrica del coseno

Allo stesso modo di come fatto per la formula parametrica del seno, andiamo a dimostrare quella del coseno. Partiamo anche qui dalla formula di duplicazione:

cos2\alpha = cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha

sostituiamo anche qui α al posto di 2α:

cos\alpha = cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)-sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)

dove anche qui, possiamo considerare il secondo membro con una unità al denominatore:

cos\alpha = \frac{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)-sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1}

sostituendo all’uno la relazione fondamentale della goniometria per l’angolo alfa mezzi abbiamo:

cos\alpha = \frac{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)-sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)+sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

adesso come fatto per il seno possiamo dividere numeratore e denominatore per il quadrato del coseno di alfa mezzi, avendolo prima posto opportunamente diverso da zero:

cos\alpha = \frac{\frac{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}-\frac{sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}{\frac{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}+\frac{sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{cos^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right)}} \\\,\\\\\\\\\,\\con\,\,\,\,\,\ cos^{2} \left(\frac{\alpha}{2}\right)  \neq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha \neq  \pi+ 2k\pi

applicando tutte le opportune semplificazioni e sostituendo alla tangente di alfa mezzi il parametro t possiamo scrivere:

cos\alpha = \frac{1-tan^{2}\frac{\alpha}{2}}{tan^{2}\frac{\alpha}{2}+1} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\cos\alpha = \frac{1-t^{2}}{t^{2}+1} 

Formula parametrica della tangente

La dimostrazione della formula parametrica della tangente è banale da dimostrare, basta dividere la formula del coseno alla formula del seno:

tan\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{\frac{2t}{t^{2}+1}}{\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1} } = \frac{2t}{1-t^{2}}

si noti che per poter dividere per sil seno per il coseno, occorre porre la condizione:

cos\alpha \neq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

alla quale si aggiunge la condizione di esistenza delle formule parametriche del seno e del coseno. Dunque, la condizione di esistenza per la formula parametrica della tangente è:

\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \wedge \alpha \neq \pi + 2k\pi
Esempio di esercizio

Gli esempi di esercizi più importanti che riguardano le formule parametriche sono le loro applicazioni per la risoluzione delle equazioni, disequazioni e integrali. Vedremo tali esempi negli appunti dedicati.

Calcolare il valore del seno e del coseno di un angolo sapendo che la tangente della sua metà è uguale a:

tan\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}-1

Per il calcolo del seno utilizziamo la sua relativa formula parametrica:

sin\alpha = \frac{2t}{t^{2}+1} =\frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^{2}+1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2+1-2\sqrt{2}+1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{4-2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}

razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 2 + radical 2:

sin\alpha =\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}\cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} =\frac{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

adesso utilizziamo lo stesso procedimento per il coseno utilizzando la sua rispettiva formula parametrica:

cos\alpha =\frac{1-t^{2}}{t^{2}+1}  = \frac{1-(\sqrt{2}-1)^{2}}{1+(\sqrt{2}-1)^{2}} = \frac{1-2+2\sqrt{2}-1}{1+2-2\sqrt{2}+1} =\frac{2\sqrt{2}-2}{4-2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}

razionalizzando esattamente come fatto per il seno otteniamo:

cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
Formule parametriche di seno, coseno e tangente
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