In questo appunto vediamo in maggior dettaglio cosa caratterizza il vertice di una parabola e in che modo è possibile calcolarlo. Nel seguito daremo per appreso il concetto di parabola, la sua equazione ed il significato dei coefficienti a,b e c di una parabola. In particolare vedremo:

Vertice di una parabola: cosa è e caratteristiche

Il vertice di una parabola è un punto appartenente ad essa e avente delle particolari caratteristiche:

  • Esso è il punto di incontro della parabola con il suo asse di simmetria. Essendo appartenente anche all’asse di simmetria, il punto della parabola ad esso simmetrico coincide con se stesso.
  • E’ allineato al fuoco nel senso che con esso ne condivide una coordinata (per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y, la coordinata è l’ascissa).
  • Si tratta di un punto estremo della parabola. Questo vuol dire che:
    • nel caso di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y:
      • se a>0 il vertice è il punto minimo della parabola. Non esiste nessun altro punto appartenente ad essa con un valore di ordinata più piccolo di quella del vertice
      • se a<0 il vertice è il punto di massimo della parabola. Non esiste nessun altro punto appartenente ad essa con un valore di ordinata più grande di quella del vertice
    • nel caso di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x:
      • se a>0 il vertice è l’estremo sinistro della parabola. Non esiste un punto appartenente ad essa con un valore di ascissa più piccolo di quello del vertice
      • se a<0 il vertice è l’estremo sinistro della parabola. Non esiste un punto appartenente ad essa con un valore di ascissa più grande di quello del vertice
  • Il vertice è l’unico punto della parabola nel quale la retta tangente ha coefficiente angolare nullo ed è del tipo y=q, con q ordinata del vertice. Per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x, l’equazione di tale retta tangente sarà del tipo x=k.
vertice di una parabola
Formule delle coordinate del vertice di una parabola avente asse di simmetria parallelo ad y

In questo appunto non entreremo troppo in dettaglio su come si giunge alle formule delle coordinate. Ci eravamo occupati di questo esercizio al seguente link. In questo paragrafo riportiamo solo le formule che necessita applicare per calcolare le coordinate di V nel caso di una parabola avente asse di simmetria parallelo all’asse delle y di equazione del tipo:

a partire dai coefficienti a,b e c dell’equazione di una parabola:

dove il delta è pari a:

Formule delle coordinate del vertice di una parabola avente asse di simmetria parallelo ad x

L’equazione della parabola adesso è:

In questo caso le formule per l’ascissa e l’ordinata si invertono:

dove delta è ancora:

Caso particolare, parabola con coefficiente b=0

Un caso particolare, in cui non è necessario eseguire alcun calcolo per individuare le coordinate del vertice è quello di una parabola con il coefficiente b=0. Consideriamo prima il caso di parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y e con equazione:

poiché b=0, l’ascissa del vertice sarà proprio 0. Questo significa che il vertice giace sull’asse delle y. Si può facilmente dimostrare, inoltre, che se b=0 l’ordinata del vertice coincide con c. Questo vuole dire che, il vertice avrà coordinate:

V(0,c)

allo stesso modo si può dimostrare che, per parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x, se b=0, le coordinate del vertice saranno:

V(c,0) 

per entrambi i casi se b=0 e c=0, le coordinate del vertice coincidono con quelle dell’origine degli assi.

Calcolare le coordinate del vertice da altre informazioni note

Se l’equazione della parabola non è a disposizione non è possibile utilizzare le formule dei precedenti paragrafi per calcolare le coordinate del vertice. Ci possono essere però altre informazioni che potrebbero aiutarci nel calcolo. Tali informazioni riguardano le coordinate del fuoco e le equazioni della direttrice e dell’asse di simmetria. Vediamo anche questa volta i due case

  • Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y:
    • L’ascissa del vertice coincide con l’ascissa del fuoco e con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria. Se una delle due informazioni è nota, non è necessario calcolare l’ascissa del vertice usando i coefficienti dell’equazione della parabola.
    • L’ordinata del vertice è la media aritmetica dell’ordinata del fuoco ed il termine noto dell’equazione della direttrice. Se entrambe le informazioni sono note, non è necessario calcolare l’ordinata del vertice usando i coefficienti dell’equazione.
    • Il vertice è l’unico punto per cui passa una retta tangente alla parabola con coefficiente angolare nullo. Se l’equazione di tale retta è nota, il vertice avrà un’ordinata che coinciderà con il termine noto dell’equazione di tale retta
  • Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle x:
    • L’ordinata del vertice coincide con l’ordinata del fuoco e con il termine noto dell’equazione dell’asse di simmetria. Se una delle due informazioni è nota, non è necessario calcolare l’ordinata del vertice usando i coefficienti dell’equazione.
  • L’ascissa del vertice è la media aritmetica dell’ascissa del fuoco ed il termine noto dell’equazione della direttrice. Se entrambe le informazioni sono note, non è necessario calcolare l’ascissa del vertice usando i coefficienti dell’equazione.
  • Il vertice è l’unico punto per cui passa una retta tangente alla parabola del tipo x=k. Se l’equazione di tale retta è nota, il vertice avrà un’ascissa che coinciderà con il termine noto dell’equazione di tale retta
Esempi di calcolo delle coordinate del vertice

In questo paragrafo vediamo alcuni esempi di calcolo delle coordinate del vertice partendo da alcune informazioni note. Ricordiamo che il primo step fondamentale è verificare di che parabola si tratti, ovvero se è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y oppure all’asse delle x. Vedremo che questa informazioni è deducibile spesso pur non conoscendo l’equazione della parabola.

Esempio 1

Calcolare le coordinate del vertice della parabola y=2x2 -4x +1

In questo semplice esercizio non abbiamo altra informazione oltre ai coefficienti dell’equazione (a=2, b=-4, c=1). La parabola è del tipo con asse di simmetria parallelo all’asse delle y. Per questo motivo per calcolare le coordinate del vertice utilizzeremo le formule:

ottenendo quindi:

Le coordinate del vertice sono dunque V(1,-1).

Esempio 2

Calcolare le coordinate del vertice della parabola di equazione x=-3y2 + 6y+2

In questo caso la parabola ha asse di simmetria parallelo all’asse dell x. Ne consegue che le formule che utilizzeremo saranno del tipo:

I coefficienti dell’equazione sono a=-3 , b= 6 c=2. Applichiamo le formule:

Le coordinate del vertice sono dunque V(5,1)

Esempio 3

Calcolare le coordinate del vertice della parabola avente asse di simmetria x=3 e la retta tangente y=-4.

Cerchiamo innanzitutto di capire di che parabola si tratta e poi di costruire il percorso logico che ci porterà a ricavare le coordinate richieste. L’asse di simmetria è parallelo all’asse delle y, per cui la parabola sarà del tipo:

Adesso, l’ascissa del vertice coincide con il vertice noto dell’equazione dell’asse di simmetria. Possiamo quindi dedurre che xV = 3. Adesso, abbiamo detto che il vertice è l’unico punto della parabola per cui passa una retta tangente avente equazione con coefficiente angolare nullo. Il che vuol dire che l’ordinata del vertice coincide con il termine noto dell’equazione della retta tangente. quindi yV=-4. Le coordinate del vertice sono V(3,-4).

Attenzione! In questo modo abbiamo ottenuto le coordinate del vertice di una parabola di cui non è possibile calcolare l’equazione. Esistono infatti infinite parabole passanti per il vertice V(3,-4).

Esempio 4

Calcolare le coordinate del vertice della parabola avente fuoco F(-3,4) e direttrice x=3.

In questo caso la direttrice è parallela all’asse delle y. Ciò significa che l’asse di simmetria della parabola è parallelo all’asse delle x e che la parabola è del tipo:

In questo caso, il vertice avrà la stessa ordinata del fuoco, per cui yV = 4. L’ascissa del vertice invece possiamo calcolarla eseguendo la media aritmetica tra l’ascissa del fuoco e il termine noto dell’equazione della direttrice. Per cui:

Le coordinate del vertice saranno quindi V(0,4).

Esempio 5

Calcolare le coordinate del vertice della parabola y=2x2+3

Poiché b=0 non è necessario fare alcun calcolo. Le coordinate del vertice saranno V(0,c) e quindi V(0,3).

Esempio 6

Calcolare le coordinate del vertice della parabola x=4y2

Poiché sia b che c sono uguali a 0, le coordinate del vertice coincidono con l’origine degli assi. Dunque V(0,0)

Vertice di una parabola