In questo appunto vediamo in cosa consistono le formule di Werner per le funzioni goniometriche, mostreremo le dimostrazioni delle formule ed alcuni esempi di esercizi. L’appunto è dunque organizzato in questo modo:

Cosa sono le formule di Werner

Le formule di Werner sono delle formule che consentono di trasformare i vari possibili prodotti delle funzioni goniometriche seno e coseno di due angoli α e β in somme e differenze di seni e coseni. Tali formule sono:

Formule di Werner

Tali formule possono essere estremamente utili per semplificare espressioni, discutere problemi geometrici e risolvere equazioni.

Dimostrazione

Osservando il secondo membro di ciascuna delle formule di Werner possiamo subito intuire che queste formule derivano dalle formule di addizione e di sottrazione. Vediamo di seguito la dimostrazione caso per caso

sinαsinβ

Dimostriamo innanzitutto il caso del prodotto sinαsinβ. Consideriamo le formule di addizione e di sottrazione del coseno. Ricordiamo queste essere:

cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta \\\,\\cos(\alpha+\beta) = cos \alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta

se sottraiamo membro a membro la seconda formula alla prima otteniamo:

cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta) = sin\alpha sin\beta - (-sin\alpha sin\beta) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta) = 2sin\alpha sin\beta \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta) ]}

abbiamo dunque ottenuto la prima formula di Werner.

cosαcosβ

Consideriamo ancora le due formule di addizione e sottrazione viste precedentemente:

cos(\alpha-\beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta \\\,\\cos(\alpha+\beta) = cos \alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta

questa volta sommiamo membro a membro le due formule:

cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta) = cos\alpha cos\beta +cos\alpha cos\beta \\\,\\\Rightarrow \\\,\\cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta) = 2cos\alpha cos\beta \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta) ]}

Ecco dimostrata la seconda formula di Werner

sinαcosβ

Adesso consideriamo le formule di addizione e sottrazione della funzione seno:

sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \\\,\\ sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta

sommiamo membro a membro le due formule. Otteniamo:

sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta+sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)= 2sin\alpha cos\beta \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)]}

Dimostrando così la terza formula di Werner.

Nota:

Verifichiamo adesso cosa succede se invece di sommare le due formule di addizione e sottrazione del seno eseguiamo un’operazione di sottrazione. Otteniamo:

sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta) = sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta-sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\  sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)= 2cos\alpha sin\beta \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{sin\beta cos\alpha = \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)]}

Otteniamo dunque un’altra forma per il prodotte del seno di un angolo per il coseno di un secondo angolo. Questa volta tale prodotto non sarà in relazione con una somma di seni, ma con la differenza dei due seni. Quest’ultima forma sembrerebbe dunque in contraddizione con quella precedente. Sappiamo però che la funzione seno è una funzione dispari per cui dato un generico angolo x si verifica che:

sin(-x) = -sinx

per cui se esprimiamo l’angolo α−β come -(β-α) abbiamo che:

sin(\alpha-\beta) =  sin[ -(\beta-\alpha)]=-sin(\beta-\alpha)

possiamo dunque riscrivere la formula per sinβcosα come:

\mathbf{sin\beta cos\alpha = \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta) - sin(\alpha-\beta)] =  \frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta) + sin(\beta-\alpha)]} 

abbiamo così ottenuto la stessa forma vista precedentemente

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare il prodotto del seno di π/4 per il seno di π/12:

Utilizziamo la formula di Werner del prodotto di due seni. Otteniamo:

sin\frac{\pi}{4} sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right)-cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}\right)\right]  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\sin\frac{\pi}{4} sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{3\pi-\pi}{12}\right)-cos\left(\frac{3\pi+\pi}{12}\right)\right]  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\sin\frac{\pi}{4} sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]  

ma degli angoli π/3 e π/6 conosciamo i valori del coseno. Dunque possiamo scrivere:

sin\frac{\pi}{4} sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\right]   = \frac{\sqrt{3}-1}{4}

Esempio 2

Semplificare la seguente espressione:

sin\alpha cos3\alpha - sin3\alpha cos\alpha

Applichiamo la formula di Werner del prodotto di un seno per un coseno ad entrambi gli addendi dell’espressione. Otteniamo dunque:

\frac{1}{2}\left[sin(\alpha+3\alpha)+ sin (\alpha-3\alpha)\right] -\frac{1}{2}\left[sin(3\alpha+\alpha)+ sin (3\alpha-\alpha)\right] \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\ \frac{1}{2}\left[sin(4\alpha)+ sin (-2\alpha)\right] -\frac{1}{2}\left[sin(4\alpha)+ sin (2\alpha)\right] \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\ \frac{1}{2}sin(4\alpha)- \frac{1}{2}sin (2\alpha) -\frac{1}{2}sin(4\alpha)- \frac{1}{2}sin (2\alpha) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ -sin(2\alpha)

Esempio 3

Semplificare la seguente espressione calcolando il valore del coseno in essa presente:

cos^{4}\frac{\pi}{24} - \frac{5}{16}

Cerchiamo innanzitutto di calcolare il termine coseno dell’espressione. Possiamo innanzitutto scirvere:

cos^{4}\frac{\pi}{24} = cos^{2}\frac{\pi}{24} cos^{2}\frac{\pi}{24} =\left(cos\frac{\pi}{24} cos\frac{\pi}{24}\right)^{2}

abbiamo ottenuto dunque il quadrato del prodotto di due coseni. Possiamo dunque utilizzare la formula di Werner per il prodotto dei coseni. Otteniamo:

cos^{4}\frac{\pi}{24} = cos^{2}\frac{\pi}{24} cos^{2}\frac{\pi}{24} =\left[cos\frac{\pi}{24} cos\frac{\pi}{24}\right]^{2} = \left \{\frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{24}\right)+cos\left(\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{24}\right)\right]\right \}^{2}  = \\\,\\\ =
\left \{\frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+cos\left(0\right)\right]\right \}^{2}  = \\\,\\\ =\left \{\frac{1}{2}\left[cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+1\right]\right \}^{2}   = \\\,\\\ = \frac{1}{4}\left[cos^{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)+2cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+1\right]

Ci rimane adesso da calcolare il coseno di π/12 (15°). Potremmo o utilizzare le tavole dei valori delle funzioni goniometriche per angoli caratteristici, oppure considerare π/12 come la differenza di π/3-π/4 (angoli per i quali è richiesto normalmente di conoscere i valori di seno e coseno a memoria) e utilizzare la formula di sottrazione del coseno:

cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)  = cos\left(\frac{\pi}{3}\right)cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+sin\left(\frac{\pi}{3}\right)sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =\\\,\\ =\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)

dunque possiamo adesso calcolare il valore della quarta potenza del coseno di π/24:

cos^{4}\frac{\pi}{24} =\frac{1}{4}\left[cos^{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)+2cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+1\right] = \frac{1}{4}\left\{\left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+2 \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\right)+1\right\} = \\\,\\ =\frac{1}{4}\left\{ \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+2\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + \frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right\}= \\\,\\ =\frac{1}{4}\left\{ \frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right\}= \\\,\\ = \frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{\sqrt{6}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{8}+\frac{1}{4}

possiamo ancora portare tutto in un’unica frazione con denominatore 16:

cos^{4}\frac{\pi}{24} =\frac{2+\sqrt{3}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+4}{16} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}+6}{16} =\\\,\\=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)+\sqrt{3}+1+5}{16} = \frac{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}+1)}{16} + \frac{5}{16}

ritorniamo all’espressione iniziale:

\mathbf{cos^{4}\frac{\pi}{24} - \frac{5}{16}} = \frac{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}+1)}{16} + \frac{5}{16} - \frac{5}{16} = \mathbf{\frac{(\sqrt{3}+1)(2\sqrt{2}+1)}{16}}

 

Formule di Werner per funzioni goniometriche