Formula di sdoppiamento: equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto

In questo appunto introduciamo le formule di sdoppiamento per il calcolo dell’equazione della retta tangente ad una parabola in un suo punto. In particolare vedremo:

• Condizioni in cui utilizzare la formula di sdoppiamento
• Dimostrazione della formula di sdoppiamento
• Formule di sdoppiamento quando il punto non appartiene alla parabola
• Esempio di esercizi

Condizioni in cui utilizzare la formula di sdoppiamento

La formula di sdoppiamento è una formula che consente di ricavare in modo semplice ed immediato l’equazione della retta tangente alla parabola in un punto appartenente a quest’ultima. E’ importante ricordare che la formula può essere utilizzata solo se il punto appartiene alla parabola in caso contrario occorrerà utilizzare il procedimento generale per il calcolo dell’equazione della retta tangente visto al seguente link.

Vediamo adesso la formula interessata:

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x + b\left(\frac{x+x_{0}}{2} \right) + c

La formula mostrata vale nel caso in cui la parabola ha l’asse parallelo all’asse delle y. In maniera del tutto simmetrica si può dimostrare per una parabola con asse parallelo all’asse delle x la seguente formula:

\frac{x+x_{0}}{2} = ay_{0}y + b\left(\frac{y+y_{0}}{2} \right) + c

Come si può notare, in entrambi i casi le formule di sdoppiamento sono ottenute dall’equazione generica della parabola applicando le seguenti trasformazioni:

y^{2} \rightarrow y_{P}y \\\,\\ x^{2} \rightarrow x_{P}x \\\,\\ y\rightarrow \frac{y_{P} + y}{2}\\\,\\ x\rightarrow \frac{x_{P} + x}{2}

Questo aspetto può sicuramente aiutare nella memorizzazione della formula. Nel prossimo paragrafo vediamo in che modo è possibile dimostrare la formula per il caso di parabole con asse parallelo all’asse delle y.

Formule di sdoppiamento: dimostrazione

Quando il punto P (x₀; y₀) noto appartiene alla parabola, è possibile calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola in quel punto utilizzando la formula di sdoppiamento. Si tratta di sicuro di una procedura più semplice e immediata di quella generale. Ricorda però: la formula di sdoppiamento vale solo nel caso in cui il punto noto appartiene alla parabola. Ciò deriva dal fatto che nella dimostrazione imponiamo il punto P (x₀; y₀) come unica soluzione del sistema!  Tale formula dice:

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x + b \left(\frac{x+x_{0}}{2}\right) +c

ma come si arriva a tale formula? Vediamo di seguito la dimostrazione. Consideriamo il fascio di rette passante per il punto P. Esso avrà equazione:

y-y_{0} = m(x-x_{0})

Di tale fascio, avente come centro il punto P, interessa la retta tangente alla parabola. Per trovare mettiamo dunque a sistema l’equazione generica della parabola con l’equazione del fascio. Otteniamo dunque il seguente sistema:

\left\{\begin{matrix}
y=ax^{2}+bx+c\\ 
y-y_{0} = m(x-x_{0}) 

\end{matrix}\right. \Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
y=ax^{2}+bx+c\\ 
y = m(x-x_{0}) + y_{0}

\end{matrix}\right. 

Dai secondi membri delle due equazioni otteniamo dunque la seguente uguaglianza:

ax^{2}+bx+c= m(x-x_{0}) + y_{0} \Rightarrow\,\,\, \mathbf{ax^{2} + (b-m)x+c+mx_{0}-y_{0} =0}

Otteniamo dunque una equazione di secondo grado in x. Poiché dal sistema ci attendiamo due soluzioni reali e coincidenti a x₀ (per la condizione di tangenza), abbiamo che il delta dell’equazione sarà pari a zero. Per cui:

x_{1,2} = x_{0} = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^{2}-4a'c'}}{2a'} =  
\frac{-b' \pm \sqrt{0}}{2a'} = -\mathbf{\frac{b'}{2a'}}

dove abbiamo indicato i termini generici dell’equazione di secondo grado con a’,b’ e c’ per non creare confusione. Ricordando dunque che a’=a; b’ = (b-m) otteniamo:

x_{0} = -\frac{b-m}{2a} \Rightarrow \mathbf{ m = 2ax_{0}+b}

sostituiamo questa forma del coefficiente angolare all’equazione del fasico di rette. Adesso che il coefficiente angolare non è più generico, l’equazione non rappresenta più il generico fascio, ma la retta tangente alla parabola in P:

y-y_{0} = (2ax_{0} + b) (x-x_{0})

Questa forma già consente il calcolo diretto dell’equazione della retta. Per renderla nella forma vista prima (formula di sdoppiamento), aggiungiamo e sottraiamo ad entrambi i membri il valore 2y₀:

y-y_{0} + 2y_{0} = (2ax_{0} + b) (x-x_{0})+ 2y_{0} \,\,\, \Rightarrow \,\,\,\\\\ y+y_{0} = 2ax_{0}x -2ax_{0}^{2}+bx-bx_{0}+2ax_{0}^{2}+2bx_{0} +2c

Dalla quale eseguendo le opportune semplificazioni algebriche e dividendo entrambi i membri per 2, ricaviamo la formula di sdoppiamento mostrata a inizio paragrafo.

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x + b\left(\frac{x+x_{0}}{2} \right) + c

Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi in cui utilizziamo le formule di sdoppiamento per calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola in un punto di quest’ultima.

Formule di sdoppiamento quando il punto non appartiene alla parabola

In questo paragrafo vediamo cosa succede se si applicano le formule di sdoppiamento ad un punto P esterno alla parabola. Anche in questo caso le formule di sdoppiamento consentono comunque di calcolare l’equazione di una retta, ma questa non sarà tangente alla parabola. Cosa rappresenterà tale retta? Essa viene detta polare del punto P rispetto alla parabola. Tale retta polare interseca la parabola in due punti. Tali punti sono i punti per i quali passano le due rette tangenti alla parabola e passanti nel punto P. Vediamo quanto detto con un esempio:

Calcolare la retta polare alla parabola y=3x²+2x-1 del punto P(0;-3) esterno alla parabola

Utilizziamo la formula di sdoppiamento:

\frac{y+y_{P}}{2} = ax_{0}x + b\left (\frac{x+x_{P}}{2} \right )+c \Rightarrow \\\\\\
\frac{y-3}{2} = 3(0)x + 2\left (\frac{x+0}{2} \right )-1 \Rightarrow \\\\\\
y = 2x+1

Si ottiene dunque la retta y=2x+1. Tale retta intersecherà la parabola in due punti che indichiamo con A e B. I punti A e B sono tali che le due rette passanti per A e P e per B e P sono tangenti alla parabola:

Se il punto P è invece interno alla parabola, allora le formule di sdoppiamento consentiranno di calcolare ancora l’equazione di una retta, ma questa non avrà alcun punto in comune con la parabola.

 Esempio di esercizi

Vediamo nel seguito alcuni esempi di esercizi. Ricordiamo che può essere utile concludere l’esercizio con il disegno della parabola e della retta.

Esempio 1

Calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola y=3x²– 2x +1 nel punto A appartenente alla parabola A(1;2).

Per la risoluzione di questo esercizio utilizziamo la formula di sdoppiamento 

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x+ b\left(\frac{x+x_{0}}{2} \right ) + c

e sostituiamo a x0 e y0 le coordinate del punto A e ad a,b e c i coefficienti della parabola. Otteniamo dunque: 

\frac{y+2}{2} = 3(1)x- 2\left(\frac{x+1}{2} \right ) + 1 \Rightarrow y+2 = 6x-2x-2+2-2 \Rightarrow \mathbf{y = 4x-2}

y = 4x-2 è dunque l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto A.

Esempio 2

Calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola x=2y²+3 nel punto A(5;1)

Poiché la parabola ha l’asse parallelo rispetto all’asse delle x, la forma di sdoppiamento da utilizzare è:

\frac{x+x_{0}}{2} = ay_{0}y + b\left(\frac{y+y_{0}}{2} \right) + c

sostituendo le coordinate del punto A ed i coefficienti della parabola otteniamo:

\frac{x+5}{2} = 2*1y +0*\left(\frac{y+1}{2} \right) + 3 \Rightarrow x= 4y+1 \Rightarrow \mathbf{y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}}

Esempio 3

Calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola y=2x²-3x+1 nel suo punto A(2;3)

Applichiamo dunque la formula:

\frac{y+y_{0}}{2} = ax_{0}x+ b\left(\frac{x+x_{0}}{2} \right ) + c \Rightarrow \frac{y+3}{2} = 2(2)x-3\left(\frac{x+2}{2} \right ) + 1 \Rightarrow y=8x-3x-6+2-3 \Rightarrow \mathbf{y=5x-7}