In questo appunto vediamo cosa sono le formule di prostaferesi in goniometria, ne mostreremo le dimostrazioni ed alcuni esempi di esercizi. In particolare parleremo di:

Cosa sono le formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi sono delle formule goniometriche che consentono di esprimere la somma o la differenza di due seni o di due coseni nel prodotto di seni e coseni. Le formule di prostaferesi sono quattro e come vedremo in seguito derivano direttamente dalle formule di Werner e quindi dalle formule di addizione e sottrazione. Vediamo le quattro formule:

formule di prostaferesi

dalle formule mostrate sopra si nota come la somma o la differenza dei coseni o dei seni degli angoli p e q è espressa come prodotto tra il seno o il coseno della media dei due angoli per il seno o il coseno della loro semidifferenza. Vediamo nel prossimo paragrafo come dimostrare le quattro formule di prostaferesi.

Dimostrazione delle formule di prostaferesi

In questo paragrafo dimostrazione le formule di prostaferesi. Lo faremo, dove possibile, partendo dalle formule di Werner la cui dimostrazione a partire dalle formule di addizione è riportata nel relativo appunto. Vediamo dunque la dimostrazione caso per caso.

sinp + sin q

Consideriamo la seguente formula di Werner:

sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2} \left[ sin(\alpha+\beta) + sin (\alpha - \beta )\right]

che esprime il prodotto del seno di un angolo per il coseno di un angolo nella somma di due seni. Tale formula di Werner è facilmente dimostrabile considerando le due formule di addizione e sottrazione della funzione seno. Adesso eseguiamo la seguente trasformazione:

p = \alpha + \beta \\\,\\ q = \alpha-\beta

Ricaviamo il valore dell’angolo in funzione di p e di q:

\alpha = p-\beta \\\,\\ \alpha =q+\beta

sommiamo adesso membro a membro le due formule:

2\alpha = p-\beta + q +\beta = p+q \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \mathbf{\alpha = \frac{p+q}{2}}

facciamo la stessa cosa per l’angolo β:

\beta = p- \alpha \\\,\\ \beta =-q + \alpha

sommiamo le due equazioni membro a membro:

2\beta = p-\alpha-q+\alpha = p-q

da cui:

\beta = \frac{p-q}{2}

la formula di Werner allora diventa:

sin\left( \frac{p+q}{2}\right)cos\left( \frac{p-q}{2}\right) = \frac{1}{2} \left[ sinp + sin q \right]

da cui:

\mathbf{sin p +sin q = 2sin\left( \frac{p+q}{2}\right)cos\left( \frac{p-q}{2}\right)}

abbiamo dimostrato ancora la formula di Werner.

sinp – sinq

Consideriamo la stessa formula di Werner del paragrafo precedente ma questa volta invertiamo i due angoli α e β:

sin\beta cos\alpha =\frac{1}{2} \left[sin\left(\alpha+\beta\right)+sin\left(\beta-\alpha\right)\right] \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ sin\beta cos\alpha =\frac{1}{2} \left[sin\left(\alpha+\beta\right)-sin\left(\alpha-\beta\right)\right]

Consideriamo ancora la trasformazione vista nella dimostrazione precedente. Otteniamo:

sin\left( \frac{p-q}{2}\right)cos\left( \frac{p+q}{2}\right) = \frac{1}{2} \left[ sinp - sin q \right]

da cui:

\mathbf{sinp-sinq = 2sin\left( \frac{p-q}{2}\right)cos\left( \frac{p+q}{2}\right)}

cosp + cosq

Consideriamo la seguente formula di Werner:

cos \alpha cos \beta = \frac{1}{2} \left[cos\left(\alpha+\beta\right)+cos\left(\alpha-\beta\right)\right]

utilizziamo ancora una volta la trasformazione vista sopra:

cos\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right) = \frac{1}{2} \left[cosp+cosq\right]

da cui:

\mathbf{cosp+cosq = 2cos\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right) }

cosp-cosq

Consideriamo la seguente formula di Werner:

sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]

consideriamo ancora le relazioni utilizzate nei paragrafi precedenti per ottenere p e q. La formula diventa:

sin\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right) = \frac{1}{2}[cosq-cosp]

da cui:

cos q-cos p = 2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\cos p-cos q =- 2sin\left(\frac{p+q}{2}\right)sin\left(\frac{p-q}{2}\right) 
Esempi di esercizi

Le formule di prostaferesi possono essere utili per risolvere diversi tipi di esercizi, dalle equazioni e disequazioni goniometriche alla risoluzione di semplici espressioni. Vediamo di seguito qualche esempio

Esempio 1

Calcolare, utilizzando le formule di prostaferesi la somma sin75+sin15

Poiché 75 e 15 sono angoli per i quali è difficile ricordare a memoria il valore del seno. utilizziamo la formula di prostaferesi relativa alla somma di due seni:

sinp+sin q = 2 sin\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\left(\frac{p-q}{2}\right)

sostituendo p con 75 e q con 15 otteniamo:

sin75+sin 15 = 2 sin\left(\frac{75+15}{2}\right)cos\left(\frac{75-15}{2}\right) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\sin75+sin 15 = 2 sin\left(45\right)cos\left(30\right)

abbiamo così ottenuto due angoli, 45 e 30, di cui dovrebbero essere noti i valori del seno e del coseno:

sin75+sin15 = 2\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione:

cos2\alpha +cos4\alpha = 0

In questo tipo di equazioni è sempre comodo utilizzare le formule di prostaferesi in quanto trasformare una somma in un prodotto, consente di utilizzare la legge di annullamento del prodotto. L’utilizzo delle formule di duplicazione e addizione, renderebbe l’esercizio di più complessa soluzione. Trasformiamo dunque il primo membro:

cos2 \alpha + cos 4 \alpha = 2cos\left(\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\right)cos\left(\frac{2\alpha-4\alpha}{2}\right) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\cos2 \alpha + cos 4 \alpha = 2cos\left(3\alpha\right)cos\left(-\alpha\right)

ma poiché:

cos( -\alpha) = cos(\alpha)

otteniamo:

cos2 \alpha + cos 4 \alpha = 2cos\left(3\alpha\right)cos\left(\alpha\right)

l’equazione dunque cambia radicalmente:

cos2\alpha +cos4\alpha = 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\2cos\left(3\alpha\right)cos\left(\alpha\right) = 0

per cui, per la legge di annullamento del prodotto:

cos(3\alpha) = 0 \Rightarrow 3\alpha = \frac{\pi}{2} \pm k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{6} \pm k\frac{\pi}{3} \\\,\\cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \pm k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

ma la seconda soluzione è inclusa nella prima. Per cui possiamo scrivere che:

\alpha = \frac{\pi}{6} \pm k\frac{\pi}{3}

Esempio 3

Risolvere la seguente equazione:

cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = cos\left(\frac{\pi}{12}\right)

In questo caso si potrebbe essere orientati ad utilizzare le formule di addizione per semplificare il primo membro dell’equazione. In realtà, con un po’ di esperienza con la goniometria, dall’equazione possiamo notare che π/12 è proprio la semidifferenza di π/3 e π/6. Per cui, applicando la formula di prostaferesi per la somma di due coseni , il primo membro diventa:

cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = 2 cos\left(\frac{x+\frac{\pi}{3}+x+\frac{\pi}{6}}{2}\right)cos\left(\frac{x+\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{6}}{2}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 2 cos\left(\frac{2x+\frac{\pi}{2}}{2}\right)cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}}{2}\right) \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 2 cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)cos\left(\frac{\pi}{12}\right) 

sostituiamo allora quanto ottenuto nel primo membro nell’equazione:

2 cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)cos\left(\frac{\pi}{12}\right)  =cos\left(\frac{\pi}{12}\right) 

Adesso possiamo semplificare entrambi i membri per il coseno di π/12. L’equazione diventa:

cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{2}

le cui soluzioni sono:

x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\Rightarrow x = \frac{\pi}{12}  + 2k\pi\\\,\\x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{3} -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\Rightarrow x = \frac{17\pi}{12}  + 2k\pi

quindi:

x = \frac{\pi}{12}  + 2k\pi \wedge x = \frac{17\pi}{12}  + 2k\pi

 

Formule di prostaferesi per funzioni goniometriche