In questo appunto parleremo delle formule di duplicazione delle funzioni goniometriche con dimostrazione ed esercizi. In particolare vedremo:
Cosa sono le formule di duplicazione
Le formule di duplicazione sono delle formule che consentono di esprimere una funzione goniometrica del doppio di un angolo rispetto a funzioni goniometriche dell’angolo stesso. Come già fatto per le formule di addizione e sottrazione, ricordiamo che le formule goniometriche non godono della proprietà additiva. Per cui nel caso delle funzioni goniometriche:
f(\alpha+\beta) \neq f(\alpha) + f(\beta)
ciò significa che:
f(2\alpha) \neq 2f(\alpha)
Le formule di duplicazione non sono altro che un caso particolare delle formule di addizione, dove i due addendi sono uguali tra loro. Tali formule sono:
1) sin 2\alpha = 2sin \alpha cos\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ 2)cos 2\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha = 2cos^{2} \alpha -1 = 1-sin^{2} \alpha \\\,\\3) tan 2\alpha = \frac{2 tan \alpha}{1- tan^{2} \alpha}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\4) cotg2\alpha = \frac{cotg^{2}\alpha-1}{2cotg \alpha}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
dove, ponendo la condizione di esistenza della funzione tangente di 2α, otteniamo:
2\alpha \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \alpha \neq \frac{\pi}{4} \pm k\frac{\pi}{2}
dove k è un numero intero positivo. Ponendo anche che la condizione di esistenza della funzione tangente di α, otteniamo:
\alpha \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi
dunque la formula 3) è vera solo se:
\alpha \neq \frac{\pi}{4} \pm k\frac{\pi}{2} \wedge \alpha \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi
Allo stesso modo, ponendo le condizioni di esistenza della funzione cotangente sia per l’angolo 2α che per l’angolo α si ottiene che la formula 4 è vera solo se:
\alpha \neq \pm k\frac{\pi}{2} \wedge \alpha \neq \pm k\pi \Rightarrow \alpha \neq\pm k\frac{\pi}{2}
Nel prossimo paragrafo dimostreremo le quattro formule sopra riportate.
Dimostrazione delle formule di duplicazione
La dimostrazione di tutte le formule di duplicazione si basa sul porre:
2 \alpha = \alpha +\alpha
e di applicare le formule di duplicazione delle funzioni goniometriche. Vediamolo adesso caso per caso.
sin2α
Ricordiamo, innanzitutto, la formula di addizione della funzione seno:
sin (\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin\beta
Calcoliamo adesso il seno di 2α come il sin di α+α:
sin 2\alpha = sin (\alpha +\alpha) = sin \alpha cos \alpha + cos\alpha sin\alpha = 2sin\alpha cos\alpha
abbiamo dunque dimostrato che:
\mathbf{sin 2\alpha = 2sin \alpha cos\alpha}
cos2α
Dimostriamo adesso il caso del coseno di 2α. Il coseno presenta ben 3 possibili forme di formula di duplicazione. Andiamo a dimostrarle tutte e tre. Ricordiamo la formula di addizione della funzione coseno. Essa dice che:
cos(\alpha +\beta) = cos \alpha cos \beta -sin\alpha sin\beta
Adesso calcoliamo il coseno di 2α come il coseno di α+α:
cos2\alpha = cos (\alpha+\alpha) = cos\alpha cos\alpha - sin\alpha sin\alpha = cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha
abbiamo dunque dismotrato che:
\mathbf{cos2\alpha = cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}
In questa formula la funzione del coseno di 2α dipende sia dal seno che dal coseno dell’angolo α. E’ però possibile ottenere delle formule che esprimono il coseno di 2α in funzione o solo del coseno o solo del seno. Ricordiamo però che la prima relazione fondamentale della goniometria ci dice che per un generico angolo α vale la relazione:
cos^{2} \alpha + sin^{2}\alpha = 1
da cui possiamo ottenere le due relazioni:
cos^{2}\alpha = 1-sin^{2}\alpha \\\,\\ sin^{2}\alpha =1-cos^{2}\alpha
sostituendo prima l’una e poi l’altra relazione nella formula di duplicazione ottenuta, ricaviamo:
cos2\alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2}\alpha = 1- sin^{2}\alpha- sin^{2}\alpha = \mathbf{1- 2sin^{2}\alpha} \\\,\\cos2\alpha = cos^{2} \alpha - sin^{2}\alpha = cos^{2} \alpha -1 + cos^{2} \alpha = \mathbf{2cos^{2}\alpha-1}
Dunque, la particolarità di queste due ultime forme è quella di esprimere il coseno di 2α in funzione o del solo coseno di α o del solo seno di α. Esse sono importanti in quanto consentono di dimostrare le formule di bisezione del seno e del coseno.
tan2α
Per la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente, possiamo procedere in due modi. Il primo è quello visto anche per le altre due funzioni goniometriche e consiste nell’utilizzare la formula di addizione della tangente. Ricordiamo che tale formula dice:
tan (\alpha +\beta)= \frac{tan \alpha + tan\beta}{1- tan\alpha tan\beta}
per cui:
tan 2\alpha = tan (\alpha+\alpha) = \frac{tan\alpha + tan\alpha}{1-tan\alpha tan\alpha} = \mathbf{\frac{2tan\alpha}{1-tan^{2}\alpha}}
tale formula è vera se poniamo le condizioni di esistenza sia della tangente di 2α che della tangente di α. Dunque otteniamo che α deve essere:
\alpha \neq \frac{\pi}{4} \pm k\frac{\pi}{2} \wedge \alpha \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi
Il secondo metodo consiste nel considerare la funzione tangente come il rapporto della funzione seno sul coseno:
tan 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{2sin \alpha cos\alpha}{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}
Adesso dividiamo numeratore e denominatore per cos2α:
tan 2\alpha = \frac{sin 2\alpha}{cos 2\alpha} = \frac{\frac{2sin \alpha cos\alpha}{cos^{2}\alpha}}{\frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}} = \mathbf{\frac{2tan \alpha}{1-tan^{2}\alpha}}
abbiamo dunque dimostrato con un metodo diverso la formula di duplicazione della funzione tangente. Non abbiamo ripetuto il calcolo dei valori dell’angolo α proibiti che coincidono con quelli riportati con la prima dimostrazione.
cotan2α
Anche nel caso della cotangente abbiamo due modi per eseguire la dimostrazione della formula di duplicazione. Il primo consiste nell’utilizzare la formula di addizione della cotangente. Essa ricordiamo essere:
cotg(\alpha +\beta) = \frac{cotg\alpha cotg\beta - 1}{cotg\alpha + cotg\beta}
per cui:
cotg2\alpha = cotg(\alpha +\alpha) = \frac{cotg\alpha cotg\alpha - 1}{cotg\alpha + cotg\alpha} =\mathbf{ \frac{cotg^{2}\alpha-1}{2cotg\alpha}}
questa formula esiste se vengono soddisfatte contemporaneamente le condizioni di esistenza della funzione cotangente di 2α e di α. Questo porta a dire che:
\alpha \neq\pm k\frac{\pi}{2}
Alternativamente potremmo considerare la cotangente come il rapporto della funzione coseno sulla funzione seno:
cotg 2\alpha = \frac{cos2\alpha}{sin2\alpha}= \frac{cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}{2sin\alpha cos\alpha} =\frac{\frac{cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}}{\frac{2sin\alpha cos\alpha}{sin^{2}\alpha}} = \mathbf{ \frac{cotg^{2}\alpha-1}{2cotg\alpha}}
Infine, potremmo considerare la cotangente come l’inversa della tangente:
cotg2\alpha = \frac{1}{tan2\alpha} = \frac{1-tan^{2}\alpha}{2tan\alpha} = \frac{1-\frac{1}{cotg^{2}\alpha}}{\frac{2}{cotg^{2}\alpha}}
moltiplicando numeratore e denominatore per cotg2α otteniamo:
cotg2\alpha == \frac{(1-\frac{1}{cotg^{2}\alpha})cotg^{2}\alpha}{(\frac{2}{cotg^{2}\alpha})cotg^{2}\alpha} = \mathbf{ \frac{cotg^{2}\alpha-1}{2cotg\alpha}}
ESEMPI DI ESERCIZI
Spesso gli esercizi con le formule di duplicazione consistono nella semplificazione di espressioni o di risolvere equazioni in cui compaiono contemporaneamente formule goniometriche di angoli e dei loro doppi.
Esercizio 1
Semplifica la seguente espressione:
cos4\alpha - cos^{2}2\alpha+sin^{2}2\alpha
utilizziamo la formula di duplicazione per il cos4α (in blu) e riscriviamo l’espressione:
{\color{Blue} cos^{2}2\alpha-sin^{2}2\alpha} - cos^{2}2\alpha+sin^{2}2\alpha
il risultato dell’espressione sarà dunque 0 in quanto i termini si annullano a due a due.
Esercizio 2
Utilizzare le formule di duplicazione e di addizione per esprimere il sin3α in relazione a funzioni goniometriche di α
Iniziamo ad esprimere il seno di 3α come somma di 2α+α ed applichiamo le formule di addizione:
sin3\alpha = sin(2\alpha + \alpha) = sin2\alpha cos\alpha+cos2\alpha sin\alpha
applichiamo a questo punto le formule di duplicazione per il seno ed il coseno di 2α:
sin3\alpha = sin(2\alpha + \alpha) = sin2\alpha cos\alpha+cos2\alpha sin\alpha = \\\,\\ = 2sin\alpha cos^{2}\alpha + cos^{2}\alpha sin \alpha - sin^{3} \alpha = \\\,\\2sin \alpha cos^{2}\alpha + sin\alpha (cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha) = \\\,\\ = 2sin \alpha cos^{2}\alpha + sin\alpha (1-sin^{2} \alpha- sin^{2} \alpha) = \\\,\\=2sin \alpha cos^{2}\alpha + sin\alpha -2sin^{3} \alpha= \\\,\\=2sin\alpha(cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha) + sin\alpha = \\\,\\=2sin\alpha(1-sin^{2} \alpha - sin^{2} \alpha) + sin\alpha= \\\,\\= 2sin\alpha - 4sin^{3}\alpha +sin\alpha = \\\,\\= \mathbf{3sin \alpha - 4 sin^{3}\alpha}
abbiamo dunque ottenuto una formula di triplicazione della funzione seno.
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione:
cos \alpha - cos2\alpha =0
Applichiamo innanzitutto la formula di duplicazione del coseno:
cos \alpha -cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha =0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\cos \alpha - 2 cos^{2} \alpha +1 =0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \left(cos \alpha-1 \right)\left(cos \alpha + \frac{1}{2}\right)=0
per la legge di annullamento del prodotto abbiamo due soluzione:
cos \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 2k\pi \\\,\\ cos \alpha = -\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{2}{3}\pi + 2k \pi \wedge \frac{4}{3}\pi + 2k \pi
Esercizio 4
Calcolare il coseno di 120° sapendo che il coseno di 60° è uguale a 1/2
cos(120°) = cos(2*60°) =cos^{2}60°-sin^{2}60° = cos^{2}60° - 1+ cos^{2}60° = 2cos^{2}60°-1 = 2\frac{1}{4}-1 = -\frac{1}{2}
il coseno di 120° è allora uguale a -1/2
