In questo appunto vediamo in cosa consistono le formule di Briggs per un generico triangolo. Tali formule mettono in relazione le funzioni goniometriche della metà degli angoli di un triangolo qualsiasi con il suo perimetro ed i suoi lati. Per poter comprendere a pieno il contenuto di questo appunto è necessario conoscere approfonditamente le funzioni seno e coseno ed il teorema di Carnot. In particolare in questo appunto vedremo:

Per ulteriori argomenti di trigonometria e goniometria ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Formule di Briggs: che cosa sono

Le formule di Briggs sono una serie di formule che consentono di ottenere il valore degli angoli interni di un generico triangolo conoscendo la lunghezza dei tre lati dello stesso. Tali formule mettono in relazione le principali funzioni goniometriche dei semiangoli interni di un triangolo con i lati ed il semi perimetro dello stesso. Sia dato il seguente generico triangolo di lati a,b e c e semiperimetro p:

Formule di Briggs per un generico triangolo

per ciascun angolo interno del triangolo è possibile scrivere 3 formule che mettono in relazione il seno, il coseno e la tangente della sua metà con i lati ed il semiperimentro del triangolo. Vediamo tali formule nella seguente tabella:

Formule di Briggs: riepilogo

Si noti che l’utilizzo delle formule di duplicazione consente di ottenere le funzioni goniometriche di α, β e γ dalle funzioni goniometriche di α/2, β/2 e γ/2. Vediamo nel prossimo paragrafo come dimostrare tali formule per l’angolo α. La dimostrazione può essere quindi estesa anche per gli altri due angoli.

Dimostrazione delle formule di Briggs

Step 1

Applichiamo il teorema di Carnot al lato a del generico triangolo. Esso ci dice che il quadrato di tale lato è dato dalla somma dei quadrati degli altri due lati meno il loro doppio prodotto per il coseno dell’angolo fra essi compreso:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\,cos\alpha

esplicitiamo il coseno di α:

cos\alpha = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

 

Step 2

Consideriamo adesso i tre lati del triangolo a,b e c. La loro somma fornisce il perimetro P:

a+b+c= P

portiamo c al secondo membro ed otteniamo:

a+b= P-c

sottraiamo ad entrambi i membri la lunghezza del lato c ed otteniamo:

a+b-c = P-2c

se sostituiamo adesso al perimetro il valore del doppio del semiperimetro P=2p, possiamo riscrivere la relazione come:

a+b-c=2p-2c=2(p-c)

Allo stesso modo possiamo ricavare le seguenti altre due relazioni:

a-b+c = 2(p-b)   \\\,\\   
b+c-a = 2(p-a) 


Step 3

Adesso consideriamo le formule di bisezione del seno e del coseno di α:

sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}} \\\,\\ cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}

Le formule di bisezione ammettono sia un valore positivo che un valore negativo per le funzioni seno e coseno. Tuttavia, poiché in un generico triangolo gli angoli interni sono tutti minori di 180° ne risulta che i semiangoli saranno tutti minori di 90°. Si ricordi che il seno ed il coseno di angoli minori di 90° sono positivi:

0< \alpha < \pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0<\frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, sin \frac{\alpha}{2}; cos \frac{\alpha}{2} > 0

Dunque nel caso degli angoli di un triangolo possiamo riscrivere le formule di bisezione considerando solo i valori positivi:

sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}} \\\,\\ cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}
Dimostrazione per la funzione seno

Adesso inseriamo la formula del coseno di α ottenuta dal teorema di Carnot nel primo step di questo paragrafo ed applichiamolo alla formula di bisezione della funzione seno:

sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}} 

Riscriviamo l’argomento della radice risolvendo le operazioni tra frazioni:

sin \frac{\alpha}{2}  = \sqrt{\frac{1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}} = \sqrt{\frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}}

si noti che al numeratore dell’argomento sotto radice è esplicitato il quadrato della differenza di b-c:

sin \frac{\alpha}{2}   = \sqrt{\frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}} = \sqrt{\frac{-(b-c)^{2}+a^{2}}{4bc}}

ancora il numeratore della frazione sotto radice esprime la differenza di due quadrati. Abbiamo infatti la differenza tra il quadrato di a ed il quadrato di b-c:

sin \frac{\alpha}{2}  = \sqrt{\frac{-(b-c)^{2}+a^{2}}{4bc}}= \sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}}

Adesso, nello step 2 di questo paragrafo abbiamo dimostrato che:

a-b+c= 2(p-b) \\\,\\ a+b-c=2(p-c)

dunque possiamo riscrivere la formula del seno di α/2:

sin \frac{\alpha}{2}  =  \sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}} =\sqrt{\frac{2(p-b)2(p-c)}{4bc}} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}

Come volevasi, abbiamo dimostrato la formula di Briggs per la funzione seno.

Dimostrazione per la funzione coseno

Dimostriamo adesso la formula per la funzione coseno partendo sempre dalla relativa formula di bisezione ed applicando lo stesso tipo di passaggi. Innanzitutto utilizziamo la formula del teorema di Carnot per esprimere il coseno di α:

cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}}

Riorganizziamo la frazione sotto radice:

cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}{2}}= \sqrt{\frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4bc}}

raccogliamo il quadrato della somma di b+c:

cos \frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4bc}}=\sqrt{\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4bc}}

adesso al numeratore abbiamo la differenza di due quadrati che possiamo esprimere al seguente modo:

cos \frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4bc}} =\sqrt{\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}

ma b+c+a altro non è che il doppio del semiperimetro. Il fattore b+c-a abbiamo invece dimostrato essere pari a 2p-2a (vedi ancora step 2 di questo paragrafo):

cos \frac{\alpha}{2} =\sqrt{\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}=\sqrt{\frac{2p(2p-2a)}{4bc}} =\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}

Abbiamo così dimostrato la formula del coseno!

Dimostrazione della formula della tangente

Per dimostrare la formula della tangente, basta applicare la seconda relazione fondamentale della goniometria:

tan\frac{\alpha}{2}= \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} 

sostituiamo al seno e al coseno le relative formule di Briggs sopra dimostrate:

tan\frac{\alpha}{2}= \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}}{\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}}

portiamo tutto sotto la medesima radice e semplifichiamo la frazione:

tan\frac{\alpha}{2}=  \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}*\frac{bc}{p(p-a)}} =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}

Come volevasi, abbiamo dimostrato la relazione per la funzione tangente.

Allo stesso modo è possibile dimostrare le stesse relazioni anche per gli altri due angoli interni del triangolo.

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo di lati a=5m b=15m e c=13,229m utilizzare le formule di Briggs per il calcolo degli angoli interni del triangolo

Per risolvere l’esercizio calcoliamo innanzitutto il semiperimetro fondamentale per l’applicazione delle formule:

p= \frac{a+b+c}{2}=\frac{5+15+13,229}{2} = \frac{33,229}{2}=16,615m

Adesso utilizziamo la formula di Briggs relativa alla funzione seno per ciascuno degli angoli intenri:

sin \frac{\alpha}{2}   =\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} =\sqrt{\frac{(16,615-15)(16.615-13,229)}{15*13,229}} = 0,166 \\\,\\sin \frac{\beta}{2}   =\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}} =\sqrt{\frac{(16,615-5)(16.615-13,229)}{5*13,229}} = 0,771 \\\,\\ sin \frac{\gamma}{2}   =\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}} =\sqrt{\frac{(16,615-5)(16.615-15)}{5*15}} = 0,5

applichiamo adesso la funzione arcoseno per calcolare il valore degli angoli interni:

\alpha= 2arcsin\, (0,166)=19,10°\\\,\\
\beta = 2arcsin\, (0,771) = 100,89°\\\,\\
\gamma = 2arcsin\, (0,5)= 60°\\\,\\

Abbiamo così ottenuto il valore degli angoli interni del triangolo. Si noti che avremmo potuto ottenere gli stessi risultati utilizzando in maniera più diretta la formula inversa del teorema di Carnot!

Formule di Briggs