In questo appunto parliamo delle formule di bisezione delle funzioni goniometriche dimostrandole e proponendo degli esempi di esercizi. In particolare vedremo:

Cosa sono le formule di bisezione

Le formule di bisezione sono delle formule goniometriche che consentono di mettere in relazione la funzione goniometriche di un angolo con una funzione goniometrica del suo doppio. Esse sono una derivazione delle formule di duplicazione che, a loro volta, derivano dalle formule di addizione. Le formule di bisezione sono:

sin\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}} \\\,\\ cos\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}} \\\,\\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}} = \frac{sin\alpha}{1+cos\alpha} =\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha} \\\,\\cotg\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}} = \frac{1+cos\alpha}{sin\alpha} =\frac{sin\alpha}{1-cos\alpha} \\\,\\

Dalle formule sopra riportate si può subito notare due cose:

  1. Le formule presentano l’operatore +- portando erroneamente a pensare che se volessi calcolare ad esempio il seno di 30° partendo dal coseno di 60° dovrei aspettarmi due valori uguali ed opposti in segno. Chiaramente non è così. La presenza dell’operatore +- deriva da come le formule sono state ricavate e ci dice che in alcuni casi può essere usato il segno + ed in altri il segno -. Se nell’applicazione delle formule conoscessi l’angolo di cui voglio calcolare la funzione goniometrica, allora di per se conosco a priori il segno di tale funzione goniometrica. Ad esempio, per gli angoli compresi tra 90° e 180° sappiamo che il seno è una funzione positiva, il coseno è una funzione negativa e anche tangente e cotangente sono negative. Dunque a priori so quale segno della formula rimane per ogni funzione goniometrica.
    In alcuni casi potrebbe essere necessario utilizzare le formule di bisezione senza conoscere esattamente il valore degli angoli. In questi casi particolari occorre tenere in considerazione entrambi i segni.
  2. Le funzioni tangente e cotangente presentano ben tre forme delle formule di duplicazione. Come per le altre funzioni notiamo che finché le funzioni dipendono dal solo coseno viene mantenuto il segno +-. Questo perché, se non conosciamo l’angolo ma conosciamo solo il coseno di tale angolo nulla possiamo dire sul segno della funzione in quanto non possiamo essere certi in quale quadrante della circonferenza goniometrica sia tale angolo. Nel caso della tangente e cotangente ci sono però due forme delle formule di duplicazione in cui il segno scompare. In queste forme notiamo che compare anche la funzione seno. La conoscenza del valore di entrambe le funzioni consente infatti di stabilire con certezza la posizione dell’angolo nei quadranti della circonferenza goniometrica e quindi il segno delle altre funzioni goniometriche.
    Si noti infine che, sia i termini 1+cosα che 1-cosα sono termini sempre positivi. Dunque in tali formule, il segno dipende dal segno del sinα.
Dimostrazione delle formule di bisezione

La dimostrazione delle formule di bisezione parte dalle diverse forme della formula di duplicazione del coseno.

cosα/2

Consideriamo la seguente forma della formula di duplicazione del coseno:

cos2\alpha' =2cos^{2}\alpha-1

adesso eseguiamo la seguente sostituzione:

2\alpha' = \alpha \Rightarrow \alpha' = \frac{\alpha}{2}

la formula si trasforma di conseguenza in:

cos\alpha = 2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1

allora potremmo ricavare che:

cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}

L’operazione di estrazione della radice comporta la comparsa del segno +- davanti la radice. Ma può un angolo avere due valori per il coseno uguali in modulo ma di segno opposto? La risposta è: “certamente no!”. Allora che senso ha quel +-? Se durante la risoluzione di un problema conosciamo il valore di c allora siamo in grado di conoscere la posizione di α/2 sulla circonferenza goniometrica e quindi il segno del coseno di α/2. Se invece nella risoluzione di un problema, non siamo a conoscenza del valore di α ma solo del suo coseno, allora l’uso del segno è imprescindibile. Consideriamo ad esempio il caso in cui sappiamo che cos α è positivo ed è pari ad 1/2 ma non conosciamo il valore di α. In questo caso avremo ben due angoli con questo valore di coseno. Si tratta di 60° e 300°:

formule di bisezione: esempio sul segno

quindi potremmo avere due possibili valori di α/2. Rispettivamente 30° e 150°

formule di bisezione: esempio sul segno

a cui effettivamente corrispondono due valori del coseno uguali in modulo ma opposti in segno. Per ricapitolare dunque potremmo avere le seguenti situazioni:

  • cos α > 0 allora possiamo avere:
    • α nel primo quadrante (compreso tra 0° e 90°). Allora α/2 sarà compreso tra 0° e 45° e cosα/2 > 0
    • α nel quarto quadrante(compreso tra 270° e 360°). Allora α/2 sarà compreso tra 135° e 180° e cosα/2 < 0
  • cos α < 0 allora possiamo avere:
    • α nel secondo quadrante (compreso tra 90° e 180°). Allora α/2 sarà compreso tra 45° e 90° e cosα/2 > 0
    • α nel quarto quadrante (compreso tra 180° e 270°). Allora α/2 sarà compreso tra 90° e 135° e cosα/2 < 0

senα/2

cos2\alpha' = 1- sin^{2} \alpha'

adesso eseguiamo la seguente sostituzione:

2\alpha' = \alpha \Rightarrow \alpha' = \frac{\alpha}{2}

la formula si trasforma di conseguenza in:

cos \alpha = 1-sin^{2} \frac{\alpha}{2}

da cui possiamo isolare il seno ottenendo:

sin\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}

Anche nel caso del seno compare nella formula il segno +-. Come già detto anche per il coseno, se nella risoluzione del problema è noto il valore di α, allora siamo in grado di capire dalla posizione dell’angolo sulla circonferenza goniometrica il segno del seno. Se invece non conosciamo α ma solo il cosα, allora il mantenimento di entrambi i segni è imprescindibile. Nel caso del seno di α/2 possiamo dire che:

  • se α è compreso tra 0 e 360° allora α/2 sarà compreso tra 0 e 180° ed in questo range il seno di α/2 è sempre positivo
  • se α appartiene al secondo giro ed è quindi compreso tra 360 e 720°, allora la situazione si inverte.

tanα/2

Il valore della tangente di α/2 può essere calcolato come il rapporto tra il seno ed il coseno:

tan\frac{\alpha}{2} = \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos \alpha}}

la formula vale se:

\alpha \neq \pi \pm 2k\pi

avendo rispettivamente considerato la condizione di esistenza della funzione tangente ed avendo posto 1+cosα diverso da zero in quanto al denominatore della formula.

Abbiamo ancora il segno più o meno, in quanto la sola conoscenza del coseno di α non ci consente di conoscere il segno della tangente di α. Se però moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1-cosα otteniamo:

tan\frac{\alpha}{2} =  \pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos \alpha}} = \pm \sqrt{\frac{(1-cos\alpha)(1-cos\alpha)}{(1+cos \alpha)(1-cos\alpha)}}  = \pm \sqrt{\frac{(1-cos\alpha)^{2}}{1-cos^{2}\alpha}} = \pm\sqrt{\frac{(1-cos\alpha)^{2}}{sin^{2}\alpha}} =\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}

scompare il segno più o meno della formula. Questo perché, la conoscenza contemporanea del seno e del coseno di un angolo ci consente di posizionare con precisione l’angolo sulla circonferenza goniometrica e di non avere più dubbi sul conseguente posizionamento della sua metà. Infatti possiamo ricapitolare:

1) \,\,\,\, cos\alpha>0 \wedge sin\alpha >0 \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,0°<\alpha < 90°  \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 0°<\frac{\alpha}{2} < 45° \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 0< tan\frac{\alpha}{2}<1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ 2) \,\,\,\, cos\alpha<0 \wedge sin\alpha >0 \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,90°<\alpha < 180°  \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 45°<\frac{\alpha}{2} < 90° \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 1< tan\frac{\alpha}{2}<+\infty\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\\ 3) \,\,\,\, cos\alpha<0 \wedge sin\alpha <0 \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,180°<\alpha < 270°  \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 90°<\frac{\alpha}{2} < 135° \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, -\infty< tan\frac{\alpha}{2}<-1  \\\,\\ 4) \,\,\,\, cos\alpha>0 \wedge sin\alpha <0 \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,270°<\alpha < 360°  \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, 135°<\frac{\alpha}{2} < 180° \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, -1< tan\frac{\alpha}{2}<0 \,\,\,\,\,

La tangente di α/2 segue sempre il segno del seno di α. Infatti possiamo dire che 1-cos α è un valore sempre positivo per qualsiasi valore di α.

Possiamo sviluppare la formula iniziale della tangente in un altro modo, moltiplicando numeratore e denominatore per 1+cosα. Otteniamo:

tan\frac{\alpha}{2} =  \pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos \alpha}} = \pm \sqrt{\frac{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha)}{(1+cos \alpha)(1+cos\alpha)}}  = \pm \sqrt{\frac{1-cos^{2}\alpha}{(1+cos \alpha)^{2}}} = \pm\sqrt{\frac{sin^{2}\alpha}{(1+cos\alpha)^{2}}} =\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}

dove valgono le stesse considerazioni fatte per la forma precedente.

cotg α/2

Allo stesso modo di come fatto per la tangente, potremmo ricavare la formula come rapporto tra il coseno sul seno o viceversa considerare la cotangente come l’inverso della tangente. Quest’ultima opzione risulta la più semplice. Otteniamo dunque per la cotangente tre forme per le formule di bisezione rispettivamente inverse alle tre forme della tangente:

cotg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{tg\frac{\alpha}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos \alpha}} \\\,\\ cotg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{tg\frac{\alpha}{2}} = \frac{sin\alpha}{1-cos\alpha}\\\,\\cotg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{tg\frac{\alpha}{2}} =\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}

Ancora una volta notiamo che il valore del segno della cotangente nelle ultime due forme dipende dal valore del seno di α.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Semplifica la seguente espressione:

cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}+\frac{sin2\alpha}{sin \alpha}

ricordiamo che possiamo semplificare il termine sin2α utilizzando la rispettiva formula di duplicazione. Per cos α/2 utilizziamo invece la formula di bisezione. Poiché il termine è al quadrato, scompare il segno +-:

\frac{1+cos{\alpha}}{2}-\frac{1}{2}+\frac{2sin\alpha cos\alpha}{sin\alpha} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{2} +\frac{cos{\alpha}}{2}-\frac{1}{2}+2 cos\alpha  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{5cos \alpha}{2}

Esercizio 2

Calcolare il valore della cotangente di π/8

Per risolvere questo esercizio, possiamo considerare π/8 come la metà di π/4 che è un angolo per il quale sono noti i valori delle funzioni goniometriche. Dunque possiamo scrivere:

cotg\frac{\pi}{8} = cotg\frac{\frac{\pi}{4}}{2} 

utilizziamo una delle forme della formula di bisezione della funzione cotangente:

cotg\frac{\pi}{8} = cotg\frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{sin\frac{\pi}{4}}{1-cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2+radical2:

cotg\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}  \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}+2}{2} = \sqrt{2}+1

Esercizio 3

Semplifica la seguente espressione:

sin^{2}\frac{\alpha}{2}-cos^{2}\frac{\alpha}{2} +cos\alpha

innanzitutto riportiamo tutti i termini dell’espressione in termini del coseno. Dall’identità fondamentale della goniometria ricaviamo infatti che il quadrato del seno di un angolo può essere espresso come la differenza di 1 meno il quadrato del coseno dello stesso angolo. Per questo motivo otteniamo:

1-cos^{2}\frac{\alpha}{2}-cos^{2}\frac{\alpha}{2}+cos\alpha \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 1-2cos^{2}\frac{\alpha}{2}+cos\alpha

Adesso applichiamo la formula di bisezione del coseno:

1-2\left(\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}\right)^{2}+cos\alpha \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 1-1-cos\alpha+cos\alpha = 0

L’espressione si annulla

Formule di bisezione di funzioni goniometriche
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