In questo appunto vediamo cosa sono le formule di addizione e di sottrazione delle formule goniometriche. In particolare ci concentreremo sui seguenti paragrafi:

Cosa sono le formule di addizione e sottrazione di funzioni goniometriche

Abbiamo definito le funzioni goniometriche ai seguenti link (seno e coseno, tangente e cotangente). In questo paragrafo ci soffermiamo su una particolare caratteristica delle funzioni goniometriche e che determina la necessità di identificare delle formule di addizione e sottrazione. Tale caratteristica è quella di non possedere la proprietà di additività.

Ricordiamo che una funzione si dice additiva se:

f(x_{1}+x_{2}) =f(x_{1}) +f(x_{2})

che sostanzialmente vuol dire che il valore della funzione di una somma è pari al valore della somma delle funzioni dei singoli addendi. Bene, dire che le funzioni goniometriche non sono additive significa dire che, dati due angoli α e β:

sin(\alpha +\beta) \neq sin(\alpha)+sin(\beta) \\\,\\ cos(\alpha +\beta) \neq cos(\alpha)+cos(\beta) \\\,\\ tg(\alpha +\beta) \neq tg(\alpha)+tg(\beta) \\\,\\ cotg(\alpha +\beta) \neq cotg(\alpha)+cotg(\beta)

Intuire questa caratteristica nel caso delle funzioni seno e coseno è piuttosto semplice. Sappiamo che il codominio di queste funzioni è l’intervallo [-1,1]. Ciò significa che il seno ed il coseno di qualsiasi angolo è sempre compreso tra -1 e 1. Adesso consideriamo il seno dell’angolo π/2 e ci chiediamo se può essere considerato come somma di due angoli di ampiezza π/4:

sin\left(\frac{\pi}{2}\right)  = sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx1,414

otterremmo un valore del seno maggiore di 1 che è impossibile. Una dimostrazione dello stesso tipo si potrebbe fare anche con la funzione coseno.

Per la funzione tangente e cotangente, la dimostrazione è meno intuitiva in quando il codominio di queste funzioni è l’intervallo ]-∞,+∞[. Prendiamo allora in considerazione la funzione tangente. Sappiamo che, per come definita, non esiste il valore della funzione tangente di un angolo pari a π/2 tuttavia, se fosse vera la proprietà additiva avremmo:

tg\left(\frac{\pi}{2}\right)  = tg\left(\frac{\pi}{4}\right) + tg\left(\frac{\pi}{4}\right)  = 1+1 =2

sappiamo che tale risultato non è vero. Dimostrazione molto simile può essere ripetuta per la funzione cotangente.

Quanto visto per l’operazione somma vale anche per l’operazione differenza. Dimostreremo nei paragrafi successivi che nel caso delle funzioni goniometriche è possibile ottenere delle formule che esprimono il valore delle funzioni di una somma o di una differenza di angoli rispetto alle funzioni dei singoli angoli. Tali formule sono dette formule di addizione e sottrazione e dicono che:

cos(\alpha-\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) \\\,\\ cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) \\\,\\ sin(\alpha-\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)\\\,\\ sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) \\\,\\ tg(\alpha-\beta) = \frac{tg(\alpha)-tg(\beta)}{1+tg(\alpha)tg(\beta)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ tg(\alpha+\beta) = \frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)tg(\beta)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ cotg(\alpha-\beta) = \frac{cotg(\alpha)cotg(\beta)+1}{cotg(\beta)-cotg(\alpha)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\\ cotg(\alpha+\beta) = \frac{cotg(\alpha)cotg(\beta)-1}{cotg(\alpha)+cotg(\beta)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

vediamo nel proseguo come dimostrare tali formule.

Dimostrazione delle formule di addizione e sottrazione

Dimostriamo adesso le formule di addizione e sottrazione delle funzioni goniometriche. Utilizzeremo delle argomentazioni geometriche per dimostrare solo una delle formule. Tutte le altre dimostrazioni derivano da questa con la mediazione di passaggi matematici.

cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)

Consideriamo due angoli sulla circonferenza goniometria di ampiezza rispettivamente γ e β. Ricordiamo che la circonferenza goniometrica altro non è che una circonferenza di raggio uno e centro nell’origine degli assi. Adesso, indichiamo con C e B l’intersezione sul piano cartesiano tra il raggio vettore che delimita ciascuno di questi due angoli e la circonferenza goniometrica stessa. Tali punti avranno rispettivamente coordinate:

B(cos(\beta), sin(\beta)) \\\,\\C(cos(\gamma), sin(\gamma))

Adesso consideriamo un terzo angolo α sulla circonferenza goniometrica tale che α=β+γ. In questo caso indichiamo con A il punto di intersezione del raggio vettore con la circonferenza goniometrica. Esso avrà coordinate:

A(cos(\alpha), sin(\alpha)) \,\,\,\Rightarrow \,\,\,A(cos(\beta+\gamma), sin(\beta+\gamma))

Rappresentiamo la nostra situazione:

dimostrazione formule di addizione e sottrazione

dalla figura possiamo evincere che i due triangoli AOB e COD sono due triangoli congruenti. Le ragioni sono che:

  • hanno due coppie di lati congruenti: si tratta del raggio vettori di lunghezza unitaria. Tutti i lati AO, BO, CO e DO sono tutti di lunghezza unitaria
  • Hanno l’angolo compreso tra i raggi vettore congruente. Infatti:

 

A\hat{O}B = C\hat{O}D

Infatti possiamo dire che:

C\hat{O}D = \gamma \\\,\\ A\hat{O}B = \alpha-\beta = (\beta+\gamma)-\beta = \gamma

Per il primo principio di congruenza dei triangoli, poiché essi hanno due coppie di lati congruenti e l’angolo tra essi compreso congruente, possiamo concludere, come già detto, che i due triangoli sono congruenti. Ne consegue che:

\overline{AB} = \overline{CD}

possiamo calcolare la lunghezza di questi due lati considerando la formula della distanza tra due punti di cui conosciamo le coordinate. In particolare:

\overline{AB} = \sqrt{(cos(\beta+\gamma)-cos(\beta))^{2}+(sin(\beta+\gamma)-sin(\beta))^{2}} \\\,\\
\overline{CD} =  \sqrt{(cos(\gamma)-1)^{2}+(sin(\gamma)-0)^{2}}  \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

uguagliamo le due formule:

 \sqrt{(cos(\beta+\gamma)-cos(\beta))^{2}+(sin(\beta+\gamma)-sin(\beta))^{2}} =
  \sqrt{(cos(\gamma)-1)^{2}+(sin(\gamma)-0)^{2}}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \sqrt{cos^{2}(\beta+\gamma)+cos^{2}(\beta) -2cos(\beta+\gamma)cos(\beta)+sin^{2}(\beta+\gamma)+sin^{2}(\beta))^{2} - 2sin(\beta+\gamma)sin(\beta)} =
 \\\,\\ = \sqrt{cos^{2}(\gamma)+1-2cos(\gamma)+sin^{2}(\gamma)} 

adesso ricordiamo che per qualsiasi angolo vale la relazione:

cos^{2}(\delta) + sin^{2}(\delta)  = 1

per cui la nostra equazione, togliendo la radice in ambo i membri, diventa:

cos^{2}(\beta+\gamma)+cos^{2}(\beta) -2cos(\beta+\gamma)cos(\beta)+sin^{2}(\beta+\gamma)+sin^{2}(\beta))^{2} - 2sin(\beta+\gamma)sin(\beta) =\\\,\\=
  cos^{2}(\gamma)+1-2cos(\gamma)+sin^{2}(\gamma) \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\ 1+1 -2cos(\beta+\gamma)cos(\beta) - 2sin(\beta+\gamma)sin(\beta) =
  1+1-2cos(\gamma) \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\  -2cos(\beta+\gamma)cos(\beta) - 2sin(\beta+\gamma)sin(\beta) =
  -2cos(\gamma)

Adesso ricordiamo che:

\alpha= \beta+\gamma

e che dunque:

\gamma = \alpha-\beta

sostituendo questi valori nella formula otteniamo:

-2cos(\alpha)cos(\beta) - 2sin(\alpha)sin(\beta) =  -2cos(\alpha-\beta)

dividiamo entrambi i membri per -2:

\mathbf{cos(\alpha-\beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) }

abbiamo dunque dimostrato la prima formula!

cos(α+β)=cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)

Dimostriamo matematicamente tale formula. Scrivere:

cos(\alpha+\beta)

equivale a scrivere:

cos(\alpha - (-\beta))

ma la seconda formula altro non è che il coseno della differenza di due angoli dimostrata precedentemente. Possiamo dunque scrivere:

cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha-(-\beta)) = cos(\alpha)cos(-\beta)+sin(\alpha)sin(-\beta)

ricordiamo però che la funzione coseno è una funzione pari per cui:

cos(-\beta) = cos(\beta)

mentre la funzione seno è una funzione dispari. Per cui:

sin(-\beta)=-sin(\beta)

ne consegue allora nella nostra formula che:

cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha-(-\beta)) = cos(\alpha)cos(-\beta)+sin(\alpha)sin(-\beta) =  cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \mathbf{cos(\alpha+\beta) = cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta) }
sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)

Dimostriamo matematicamente questa formula. Partiamo dal presupposto che per ogni angolo vale la relazione:

sin(\alpha) = cos(90-\alpha)

per cui possiamo scrivere:

sin(\alpha-\beta) = cos(90-(\alpha-\beta)) =cos((90-\alpha)+\beta)) 

abbiamo dunque all’ultimo membro il coseno della somma di due angoli che abbiamo appena dimostrato nel paragrafo precedente:

sin(\alpha-\beta)  =cos((90-\alpha)+\beta))  = cos(90-\alpha)cos(\beta)-sin(90-\alpha)sin(\beta)

ma sappiamo che:

sin(\alpha) = cos(90-\alpha) \\\,\\\ cos(\alpha) = sin(90-\alpha) 

per cui possiamo scrivere:

\mathbf{sin(\alpha-\beta)   = sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)}
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)

Dimostriamo questa formula come fatto per la formula di addizione del coseno:

sin(\alpha+\beta) = sin(\alpha-(-\beta))    =  sin(\alpha)cos(-\beta)-cos(\alpha)sin(-\beta)

allora otteniamo:

\mathbf{sin(\alpha+\beta) =  sin(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)}
tg(αβ)=(1+tg(α)tg(β))/(tg(α)−tg(β))​

Dimostriamo matematicamente la formula considerando la tangente come il rapporto tra il seno ed il coseno:

tg(\alpha- \beta) = \frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)} = \frac{ sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)} 

Affinché la tangente possa esistere dobbiamo imporre che α – β sia diverso da π/2. Dividiamo numeratore e denominatore per cos(α)cos(β) imponendo che anche α e β siano diversi da π/2. Quest’ultima operazione ci consente di essere sicuri che cos(α)cos(β) non sia un termine nullo. La formula diviene dunque:

tg(\alpha- \beta) =  \frac{ \frac{sin(\alpha)cos(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}-\frac{cos(\alpha)sin(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}}{\frac{cos(\alpha)cos(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)} + \frac{sin(\alpha)sin(\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}}  = \frac{ tg(\alpha)-tg(\beta)}{1 + tg(\alpha)tg(\beta)} \\\,\\\alpha-\beta \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi\\\\,\\\alpha \neq \frac{\pi}{2}\pm k\pi\\\,\\\\ \beta \neq \frac{\pi}{2}\pm k\pi
tg(α+β)= (tg(α)+tg(β))/(1−tg(α)tg(β))

Eseguiamo la dimostrazione come già fatto per il seno ed il coseno:

tg(\alpha+ \beta)  = tg(\alpha-(-\beta)) =\frac{ tg(\alpha)-tg(-\beta)}{1 + tg(\alpha)tg(-\beta)} 

ma poiché la funzione tangente è una funzione dispari, ne risulta che:

tg(-\beta) = - tg(\beta) 

da cui:

\mathbf{tg(\alpha+ \beta) =\frac{ tg(\alpha)+tg(\beta)}{1 - tg(\alpha)tg(\beta)} }

che è valida se sono valide le condizioni di esistenza delle singole funzioni tangente:

\alpha+\beta \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi\\\,\\\alpha \neq \frac{\pi}{2}\pm k\pi\\\,\\\\ \beta \neq \frac{\pi}{2}\pm k\pi
cotg(α−β)= (cotg(α)cotg(β)+1)/(cotg(β)−cotg(α))

Scriviamo la formula della funzione cotangente come rapporto coseno su seno. Affinché la funzione esista, dobbiamo imporre che α−β sia diverso da zero. Otteniamo dunque:

cotg(\alpha-\beta) = \frac{cos(\alpha-\beta)}{sin(\alpha-\beta)}   =\frac{ cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)}{sin(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)} 

dividiamo numeratore e denominatore per sin(α)sin(β) imponendo che α e β siano diversi da zero :

cotg(\alpha-\beta) =   \frac{ \frac{cos(\alpha)cos(\beta)}{sin(\alpha)sin(\beta)} + \frac{sin(\alpha)sin(\beta)}{sin(\alpha)sin(\beta)}}{\frac{sin(\alpha)cos(\beta)}{sin(\alpha)sin(\beta)}-\frac{cos(\alpha)sin(\beta)}{sin(\alpha)sin(\beta)}}  = \mathbf{\frac{ cotg(\alpha)cotg(\beta) + 1}{cotg(\beta)-cotg(\alpha)}}

che ripetiamo vale se sono verificate le condizioni di esistenza delle cotangenti:

\alpha-\beta \neq 0\pm k\pi\\\,\\\alpha \neq 0\pm k\pi\\\,\\\\ \beta \neq 0 \pm k\pi
cotg(α+β)=(cotg(α)cotg(β)−1) /(cotg(α)+cotg(β))

Dimostriamo matematicamente la formula come fatto per le formule di addizione delle altre formule goniometriche:

cotg(\alpha+\beta) = cotg(\alpha-(-\beta)) = \frac{ cotg(\alpha)cotg(-\beta) + 1}{cotg(-\beta)-cotg(\alpha)} =

poichè la cotangente è una funzione dispari:

cotg(-\beta) = -cotg(\beta)

otteniamo:

cotg(\alpha+\beta)   = \frac{- cotg(\alpha)cotg(\beta) + 1}{-cotg(\beta)-cotg(\alpha)}  =\mathbf{\frac{cotg(\alpha)cotg(\beta) - 1}{cotg(\beta)+cotg(\alpha)}}
Esempi di esercizi con formule di addizione e sottrazione

Gli esercizi con le formule di addizione e sottrazione sono esercizi nei quali viene chiesto di risolvere delle espressioni in cui sono riportate funzioni goniometriche di somme e differenze di angoli.

Esercizio 1

Semplificare la seguente espressione:

\frac{cos\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)+cos\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)}{sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)+sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right)}

Se hai già affrontato le equazioni goniometriche, puoi determinare il campo di esistenza dell’espressione ponendo il denominatore diverso da zero (in caso non avessi affrontato le equazioni goniometriche salta questo passaggio):

sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)+sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right) \neq 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\sin\left(\frac{\pi}{3} + \beta\right)\neq -sin\left(\frac{\pi}{3} - \beta\right) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{\pi}{3} + \beta \neq \frac{\pi}{3} - \beta \pm k\pi \\\,\\\Rightarrow \\\,\\\beta \neq \pm \frac{k\pi}{2}

utilizziamo le formule di addizione e di sottrazione del coseno al numeratore e del seno al denominatore. Otteniamo dunque

\frac{cos\frac{\pi}{3}cos\beta -sin\frac{\pi}{3}sin\beta+cos\frac{\pi}{3}cos\beta+sin\frac{\pi}{3}sin\beta}{sin\frac{\pi}{3}cos\beta+cos\frac{\pi}{3}sin\beta+sin\frac{\pi}{3}cos\beta-cos\frac{\pi}{3}sin\beta}

eseguendo le somme algebriche dei vari termini, osserviamo che al numeratore le forme “sin()sin()” si annullano, mentre al denominatore si annullano le forme “cos()sin()“. Otteniamo dunque:

\frac{2cos\frac{\pi}{3}cos\beta}{2sin\frac{\pi}{3}cos\beta}

semplifichiamo il numeratore ed il denominatore semplificando per il termine 2cosβ (ammettendo β diverso da π/2 +- kπ). Otteniamo:

\frac{2cos\frac{\pi}{3}cos\beta}{2sin\frac{\pi}{3}cos\beta} = \frac{cos\frac{\pi}{3}}{sin\frac{\pi}{3}} = cotg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Esercizio 2

Semplifica la seguente espressione:

sin^{2} \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+sin^{2} \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-cos^{2} \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-cos^{2} \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)

applichiamo le formule di addizione del seno e del coseno:

\left(sin\frac{\pi}{4}cos\alpha+cos\frac{\pi}{4}sin\alpha \right)^{2}+\left(sin\frac{\pi}{4}cos\alpha-cos\frac{\pi}{4}sin\alpha\right)^{2}-\left(cos\frac{\pi}{4}cos\alpha+sin\frac{\pi}{4}sin\alpha\right)^{2}-\left(cos\frac{\pi}{4}cos\alpha-sin\frac{\pi}{4}sin\alpha\right)^{2}

sostituiamo al seno ed al coseno di π/4 il valore delle funzioni:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha \right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2}

Adesso il primo e terzo termine, come il secondo ed il quarto sono uguali ed opposti. Per cui il risultato dell’espressione è zero:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha \right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha-\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha\right)^{2} =0

Nota: si sarebbe potuto risolvere l’esercizio notando che π/4+α e π/4-α sono due angoli complementari per cui vale:

sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) \\\,\\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) = sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)
Esercizio 3

Individua una formula generale per:

cotg(\alpha+\beta+\gamma)

potremmo agire in due modi. Applicare direttamente la formula di addizione della cotangente, o considerare la cotangente come il rapport coseno su seno. Scegliamo la seconda:

cotg(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{cos(\alpha+\beta+\gamma)}{sin(\alpha+\beta+\gamma)}

prima di farlo però, esprimiamo la condizione di esistenza della funzione cotangente:

\alpha+\beta+\gamma \neq 0

adesso applichiamo le formule di addizione del coseno e del seno considerando α+β come il primo angolo e γ come secondo angolo:

 \frac{cos((\alpha+\beta)+\gamma)}{sin((\alpha+\beta)+\gamma)} =\frac{cos(\alpha+\beta)cos\gamma -sin(\alpha+\beta)sin\gamma }{sin(\alpha+\beta)cos\gamma+cos(\alpha+\beta)sin\gamma  }

Applichiamo nuovamente le formule di addizione e sottrazione alle funzioni seno e coseno che presentano come argomento α+β:

\frac{cos(\alpha+\beta)cos\gamma -sin(\alpha+\beta)sin\gamma }{sin(\alpha+\beta)cos\gamma+cos(\alpha+\beta)sin\gamma  }  = \frac{cos\alpha cos\beta cos\gamma -sin\alpha sin\beta cos\gamma -sin\alpha cos\beta sin\gamma -cos\alpha sin\beta sin\gamma }{sin\alpha cos\beta cos\gamma +cos\alpha sin\beta cos\gamma+cos\alpha cos\beta sin\gamma -sin\alpha sin\beta sin\gamma  }

adesso dividiamo numeratore e denominatore per il termine:

sin\alpha sin\beta sin\gamma 

ponendolo diverso da zero:

sin\alpha sin\beta sin\gamma  \neq 0 \\\,\\ \Rightarrow \alpha \neq 0 \pm k\pi \\\,\\ \Rightarrow \beta \neq 0 \pm k\pi \\\,\\ \Rightarrow \gamma \neq 0 \pm k\pi

Otteniamo dunque:

 \frac{\frac{cos\alpha cos\beta cos\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} -\frac{sin\alpha sin\beta cos\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} -\frac{sin\alpha cos\beta sin\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} - \frac{cos\alpha sin\beta sin\gamma }{sin\alpha sin\beta sin\gamma}}{\frac{sin\alpha cos\beta cos\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} +\frac{cos\alpha sin\beta cos\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma}+\frac{cos\alpha cos\beta sin\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} -\frac{sin\alpha sin\beta sin\gamma}{sin\alpha sin\beta sin\gamma} }

semplifichiamo i singoli termini presenti nell’espressione e sostituiamo al rapporto del coseno sul seno di un angolo la rispettiva cotangente:

\frac{cotg\alpha cotg\beta cotg\gamma - cotg\alpha - cotg \beta - cotg \gamma}{cotg\beta cotg\gamma+cotg\alpha  cotg\gamma+cotg\alpha cotg\beta -1}
Esercizio 4

Calcolare il coseno di 105°

Consideriamo 105° come la somma di 60° e 45°:

cos 105° = cos(60° + 45°)

applichiamo a questo punto la formula di addizione del coseno:

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos60°cos45° - sin60°sin45° 

45 e 60 sono due angoli per cui sono noti i valori delle funzioni goniometriche:

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos60°cos45° - sin60°sin45°  = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}{4} \approx -0,26

 

Formule di addizione e sottrazione in funzioni goniometriche
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