In questo appunto vediamo in cosa consiste la formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo generico. Per comprendere a pieno il contributo di questo appunto, soprattutto nella parte relativa alle due dimostrazioni della formula, è necessario avere confidenza con il teorema di Pitagora, la formula per il calcolo dell’area di un triangolo, le formule di Briggs e le funzioni seno e coseno. In particolare in questo appunto vedremo:

Per ulteriori argomenti di trigonometria e geometria ti rimandiamo ai relativi indici degli argomenti (trigonometria; geometria piana).

Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo generico

Dalla geometria piana sappiamo che la formula generica per il calcolo dell’area di un triangolo è data dal semiprodotto di una qualsiasi base per la relativa altezza. La formula di Erone consente di ricavare l’area di un generico triangolo conoscendo semplicemente la lunghezza dei suoi tre lati a.b e c:

A= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

dove p è il semiperimetro del triangolo:

p= \frac{a+b+c}{2}

Nei prossimi due paragrafi vedremo due dimostrazioni della formula di Erone. La prima utilizza conoscenze basilari di geometria piana e si basa sul teorema di Pitagora. La seconda dimostrazione, invece, utilizza conoscenze di goniometria e si basa sull’utilizzo delle formule di Briggs.

Dimostrazione Geometrica attraverso il teorema di Pitagora

Consideriamo il seguente generico triangolo:

 

Formula di Erone

Dove abbiamo rappresentato il lato c come base dello stesso e con h l’altezza relativa a c. Dalla geometria piana sappiamo che l’area del triangolo è data dal semiprodotto della base per l’altezza:

A= \frac{hc}{2}

Adesso, poiché l’altezza è perpendicolare alla base, possiamo identificare due triangoli rettangoli. Il primo triangolo ha come ipotenusa il lato b e come cateti l’altezza h ed il segmento d. Il secondo triangolo rettangolo ha come ipotenusa il lato a e come cateti l’altezza h ed il segmento c-d. Da quest’ultimo triangolo possiamo ricavare il valore di h applicando il teorema di Pitagora:

h^{2} = a^{2}-(c-d)^{2} 

Applichiamo ancora il teorema di Pitagora al primo triangolo rettangolo per ricavare il calore di d:

d^{2} = b^{2}-h^{2} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, d=\sqrt{b^{2}-h^{2}}

e sostituiamolo nella formula precedente:

h^{2} = a^{2}-(c-\sqrt{b^{2}-h^{2}})^{2}

sviluppiamo il quadrato della parentesi e applichiamo le dovute semplificazioni:

h^{2}= a^{2}-c^{2}-b^{2}+h^{2}+2c\sqrt{b^{2}-h^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{b^{2}-h^{2}} = \frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}}{2c}

eleviamo entrambi i membri al quadrato:

b^{2}-h^{2} = \frac{(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{4c^{2}}

ricaviamo dunque il valore di h:

h^{2} = b^{2}-\frac{(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{4c^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ h=\sqrt{b^{2}-\frac{(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{4c^{2}}}

dove nell’estrazione della radice abbiamo escluso il segno negativo in quanto una lunghezza non può essere negativa. Adesso sostituiamo questo valore dell’altezza nella formula per l’area:

A=\frac{hc}{2} = \frac{c}{2}\sqrt{b^{2}-\frac{(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{4c^{2}}}

portiamo c all’interno della radice:

A= \sqrt{\frac{c^{2}b^{2}}{4}-\frac{c^{2}(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{16c^{2}}} 

possiamo esprimere i termini all’interno della radice come differenza di due quadrati:

A= \sqrt{\frac{c^{2}b^{2}}{4}-\frac{c^{2}(b^{2}-a^{2}+c^{2})^{2}}{16c^{2}}} = \sqrt{\left[\frac{bc}{2}+\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}}{4}\right]\left[\frac{bc}{2}-\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}}{4}\right]} 

risolviamo quindi le frazioni:

A = \sqrt{\left[\frac{bc}{2}+\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}}{4}\right]\left[\frac{bc}{2}-\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}}{4}\right]} =\sqrt{\left[\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}+2bc}{4}\right]\left[\frac{-b^{2}+a^{2}-c^{2}+2bc}{4}\right]} 

adesso si noti che in entrambi i numeratori delle frazioni esistono il doppio prodotto di b e c e i quadrati degli stessi. I segni ci suggeriscono che nel primo numeratore abbiamo il quadrato della somma di b e c e al secondo numeratore il quadrato della differenza:

A =\sqrt{\left[\frac{b^{2}-a^{2}+c^{2}+2bc}{4}\right]\left[\frac{-b^{2}+a^{2}-c^{2}+2bc}{4}\right]} =\sqrt{\left[\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4}\right]\left[\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4}\right]} = \frac{1}{4}\sqrt{\left[(b+c)^{2}-a^{2}\right]\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right]}

adesso, ciascuna parentesi quadra può essere espressa come differenza di quadrati:

A  = \frac{1}{4}\sqrt{\left[(b+c)^{2}-a^{2}\right]\left[a^{2}-(b-c)^{2}\right]} = \frac{1}{4}\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)}

Adesso si consideri la formula del perimetro P (indicato anche come 2p dove p è il semiperimentro) di un generico triangolo:

P = 2p = a+b+c

sottraiamo ad entrambi i membri 2a:

2p-2a=b+c-a

si noti che il secondo membro di questa equazione coincide con la prima parentesi dell’argomento della nostra radice! Allo stesso modo possiamo dimostrare che:

 

a-b+c= 2p-2b=2(p-b) \\\,\\ a+b-c =2p-2c= 2(p-c)

sostituiamo adesso tali termini nella radice:

A  =  \frac{1}{4}\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)} = \frac{1}{4}\sqrt{2(p-a)2p\,2(p-b)2(p-c)} =\\\,\\ = \frac{1}{4}\sqrt{16(p-a)p(p-b)(p-c)} =\sqrt{(p-a)p(p-b)(p-c)} 

abbiamo dunque dimostrato la formula di Erone!

Dimostrazione mediante formule di Briggs

Dimostriamo ancora una volta la formula di Erone, utilizzando un altro approccio. Partiamo questa volta dalla formula generica dell’area di un triangolo secondo la trigonometria. Tale formula dice che l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati e dell’angolo fra essi compreso

A= \frac{1}{2}bc sin \alpha

Utilizzando la formula di duplicazione della funzione seno, possiamo esprimere il seno di alfa in funzione del seno e del coseno di alfa mezzi:

sin\alpha = 2sin \frac{\alpha}{2} cos\frac{\beta}{2}

dunque l’area diventa:

A= bc\,sin \frac{\alpha}{2} cos\frac{\beta}{2}

adesso utilizziamo le formule di Briggs per esprimere il seno ed il coseno di alfa mezzi in funzione dei lati e del semiperimetro p del triangolo. Ricordiamo che le formule di Briggs sono:

sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{bc}} \\\,\\ cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

sostituiamo questi valori nella formula per l’area:

A= bc\,sin \frac{\alpha}{2} cos\frac{\beta}{2} = bc\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{bc}}\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}

semplifichiamo:

A= bc\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{bc}}\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Abbiamo dimostrato ancora una volta la formula di Erone!

Esempio di esercizio

Sia dato un triangolo di lati a=32 cm, b=15cm e c=27,73 cm. Calcolare l’area di tale triangolo

Calcoliamo innanzitutto il semiperimetro del triangolo:

p=\frac{a+b+c}{2} =\frac{32+15+27,73}{2} = 37,37 cm

Applichiamo la formula di Erone per il calcolo dell’area:

A= \sqrt{(p-a)p(p-b)(p-c)} = \sqrt{(37,37-27,73)*37,37*(37,37-32)*(37,37-15)} \approx \sqrt{43275} \approx 208cm^{2}
Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo generico