Fascio di circonferenze

In questo appunto vediamo in cosa consiste un fascio di circonferenze e le diverse tipologie di fasci possibili. La trattazione è molto simile a quella dei fasci di parabole e dei fasci di rette ma resa più complessa dal tipo di curva. Ricapitolando, qui vedremo:

• Definizione di fascio di circonferenze ed equazione di un fascio
• Tipi di fasci di circonferenze
  • a=a’ e b=b’
  • a=a’ o b=b’
  • Casi in cui uno dei coefficienti è nullo
• Asse radicale
• Retta passante per i centri delle circonferenze
• Come studiare un fascio di circonferenze
• Esempi d esercizi

Definizione di fascio di circonferenze

Un fascio di circonferenze altro non è che un insieme di infinite di circonferenze aventi una caratteristica in comune e descritte da un’equazione che dipende da un parametro. Come già visto per i fasci di parabole e per i fasci di rette, l’equazione di un fascio di circonferenze può essere facilmente ottenuta eseguendo una combinazione lineare tra le equazioni di due circonferenze. Le due circonferenze saranno allora dette circonferenze generatrici del fascio. Consideriamo dunque le equazioni di due circonferenze:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 \\\,\\ x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0

ed eseguiamo una combinazione lineare di queste due equazioni. Questo significa sommare le due equazioni ciascuna prima moltiplicata per un parametro,  μ e λ. Otteniamo dunque:

\mu(x^{2}+y^{2}+ax+by+c) + \lambda(x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c')=0

Questa equazione dunque rappresenta infinite circonferenze tante quante sono le infinite combinazioni dei parametri μ e λ. In particolare se:

• μ=0 e λ=1 otteniamo la seconda circonferenza generatrice
• μ=1 e λ=0 otteniamo la prima circonferenza generatrice

Come già visto per altri fasci di curve risulta tuttavia più comodo rappresentare un fascio in funzione di un solo parametro. L’escamotage è sempre lo stesso. Si dividono entrambi i membri dell’equazione per il parametro μ imponendo anche che μ sia diverso da zero. Imporre μ diverso da zero implica escludere dal fascio di circonferenze tutte le infinite circonferenze che avremmo potuto ottenere dalla precedente equazione per i quali μ =0 e λ assume un valore qualsiasi. In particolare, la seconda circonferenza generatrice che si ottiene imponendo μ=0 e λ=1 è detta circonferenza esclusa del fascio. Otteniamo dunque la forma:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c +\frac{\lambda}{\mu}(x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c') = 0

Adesso se chiamiamo k il rapporto λ/μ l’equazione può essere riscritta nella forma:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c +k(x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c') = 0

ancora una volta facciamo notare che con k=0 si ottiene la prima circonferenza generatrice, mentre non esiste alcun valore di k che consenta di ottenere la seconda. Adesso riscriviamo l’equazione nel seguente modo:

x^{2} + kx^{2}+y^{2} + ky^{2} +ax+ka'x+by+kb'y+c+kc'=0 \\\,\\ (1+k)x^{2}+(1+k)y^{2} + (a+ka')x+(b+kb')y+c+kc'=0

L’equazione del fascio non è ancora espressa nella forma normale o canonica in quanto i termini al quadrato in x e in y non hanno coefficiente 1. A questo punto dividiamo tutto per 1+k. Questo significa imporre k=-1, valore per il quale otterremmo una retta detta asse radicale. Otteniamo dunque:

x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0

Questa è dunque l’equazione del fascio in forma canonica. Adesso possiamo definire le generiche coordinate del centro di una qualsiasi circonferenza appartenente al fascio. Ricordiamo che il centro di una circonferenza espressa in forma canonica è dato da:

x^{2}+ y^{2}+ax+by+c=0 \,\, \Rightarrow \,\,C\left(-\frac{\textit{a}}{2}, -\frac{\textit{b}}{2}\right) 

per cui:

x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0  \Rightarrow \mathbf{C\left(-\frac{a+ka'}{2(k+1)},-\frac{b+kb'}{2(k+1)}\right)}

ricordiamo invece che il raggio è dato da:

x^{2}+ y^{2}+ax+by+c=0 \,\, \Rightarrow \,\,r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c}

per cui:

x^{2}+y^{2}+\frac{a+ka'}{k+1}x+\frac{b+kb'}{k+1}y+\frac{c+kc'}{k+1}=0  \Rightarrow \mathbf{r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a+ka'}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{b+kb'}{k+1}\right)^{2}-4\frac{c+kc'}{k+1}}}

dove la condizione necessaria affinché la circonferenza esista è che l’argomento della radice sia maggiore di zero. Il valore di k per il quale l’argomento della radice è nullo consente di ricavare l’equazione della circonferenza degenere, ovvero la circonferenza che degenera in un punto.

Tipi di fasci di circonferenze

Vediamo adesso quali tipi di fasci di circonferenze possono esistere. Innanzitutto facciamo una considerazione generale circa l’equazione del fascio in forma canonica. Se le due circonferenze generatrici del fascio hanno uno dei coefficienti a e b o entrambi in comune, allora tutte le circonferenze del fascio avranno in comune una o entrambe le coordinate del centro. Proviamo a ricapitolare i possibili casi:

Caso a=a’ e b=b’

Se le circonferenze generatrici hanno a=a’ e b=b’, il fascio avrà un’equazione del tipo:

x^{2}+y^{2}+ax+by+\frac{c+kc'}{k+1}=0

le circonferenze del fascio avranno tutte centro in:

C\left(-\frac{\textit{a}}{2}, -\frac{\textit{b}}{2}\right) 

per cui il fascio rappresentato è un fascio di circonferenze concentriche.

Caso a=a’ o b=b’

Vediamo adesso cosa succede se solo uno dei due coefficienti è uguale tra le circonferenze generatrici. Prendiamo il caso in cui le due circonferenze generatrici abbiano il coefficiente a in comune. Tutte le circonferenze del fascio hanno tutte il centro sulla retta di equazione:

x = -\frac{a}{2}

Tali circonferenze saranno tali da avere tanti punti in comune quanti sono i punti di intersezione delle circonferenze generatrici:

vedremo dopo che l’asse radicale è sempre perpendicolare alla retta che passa per i centri. Ne consegue che l’asse radicale sarà parallelo all’asse delle ascisse.

Nel caso in cui il coefficiente in comune sia il b, allora le circonferenze avranno i loro centri sulla retta di equazione:

y=-\frac{b}{2}

ed esse avranno tanti punti in comune quanto quelli in comune tra le circonferenze generatrici:

L’asse radicale sarà invece parallelo all’asse delle ordinate.

Casi in cui uno dei coefficienti è nullo

Casi particolari di quelli sopra esposti sono quelli per cui uno o più coefficienti sono nulli. Abbiamo visto cosa significhino i coefficienti nulli per una circonferenza al seguente link. Riassumiamo di seguito tali casi:

• a=0. Le circonferenze hanno centro sull’ asse y ed hanno tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenze generatrici.
• b=0 Le circonferenze hanno centro sull’asse delle ascisse ed hanno tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenza generatrici
• c=0 Le circonferenze si incontrano nell’origine ed tanti punti di intersezione quanti quelli condivisi dalle circonferenza generatrici
• a=0 e b=0 Le circonferenze hanno centro nell’origine e sono concentriche tra loro
• a=0 e c=0 In questo caso i centri saranno posizionati sull’asse delle ordinate ma tutte passeranno per l’origine. Avendo dunque tutte l’origine in comune queste saranno o tangenti tra loro nell’origine oppure secanti tra loro con un secondo punto in comune oltre l’origine. Questo dipende dalle circonferenze generatrici
• b=0 e c=0 In questo caso i centri saranno posizionati sull’asse delle ascisse ma tutte passeranno per l’origine. Avendo dunque tutte l’origine in comune queste saranno o tangenti tra loro nell’origine oppure secanti tra loro con un secondo punto in comune oltre l’origine. Questo dipende dalle circonferenze generatrici

Asse radicale

Abbiamo visto ad un certo punto che l’equazione del fascio può essere espressa nella forma:

(1+k)x^{2}+(1+k)y^{2} + (a+ka')x+(b+kb')y+c+kc'=0

per k=-1 si annullano i termini al quadrato in x e in y e si ottiene l’equazione di una retta:

(a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0

tale retta rappresenta l’equazione dell’asse radicale del fascio. Esso esiste in tutti i fasci di circonferenze, tranne nel caso di circonferenze concentriche ed ha la caratteristica di passare per tutti i punti in comune tra le circonferenze del fascio. L’asse è sempre perpendicolare alla retta che congiunge i centri di tutte le circonferenze. Il punto di intersezione di queste due rette è il punto di tangenza nel caso di un fascio di circonferenze tangenti o lungo il punto medio del segmento che congiunge i due punti base del fascio nel caso di circonferenze secanti.

Se dunque le circonferenze non hanno punti in comune, l’asse radicale sarà una retta esterna al fascio di circonferenze. In caso di circonferenze tangenti in un punto, allora l’asse radicale sarà la retta tangente a tutte le circonferenze del fascio in quel punto. Se le circonferenze si intersecano in due punti, allora l’asse radicale passa per quei due punti.

Consideriamo adesso per un attimo la formula generica del raggio dedotta dal fascio di circonferenze:

\mathbf{r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{a+ka'}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{b+kb'}{k+1}\right)^{2}-4\frac{c+kc'}{k+1}}}

Non possiamo considerare il caso di k=-1 in quanto annullerebbe i denominatori degli addendi all’interno della radice. Consideriamo però il caso di un valore di k molto prossimo a -1. Accade che i denominatori tendono a zero (ma non sono zero) e che ogni addendo all’interno della radice assume un valore sempre più grande. Possiamo dunque dire che per k molto prossimo a -1 il raggio diventa sempre più grande. L’asse radicale può essere quindi considerato come una circonferenza caratterizzata dall’avere un raggio infinitamente grande!

Mostriamo quando detto con un esempio. Consideriamo il seguente fascio di circonferenze:

x^{2} + y^{2} + \frac{2+3k}{k+1}x +\frac{2+4k}{k+1}y + \frac{1-2k}{k+1}=0

e calcoliamo il raggio per diversi valore di k compresi alcuni valori molto prossimi a -1:

L’ordine di grandezza del raggio aumenta vertiginosamente all’avvicinarsi al valore k=-1. In questi casi, in prossimità dei punti base, gli archi di circonferenze del fascio con raggi molto grandi hanno una curvatura via via minore fino ad essere approssimabili con l’asse radicale.

Retta passante per i centri delle circonferenze

Tutti i centri di un fascio di circonferenze sono allineati lungo una retta. Tale retta ha alcune particolarità:

• esiste per tutti i fasci di circonferenze tranne nel caso di circonferenze concentriche. In tal caso tutti i centri sono coincidenti
• é sempre perpendicolare all’asse radicale
• Passa per il punto di tangenza nel caso di fasci di circonferenze tangenti
• Passa per il punto medio del segmento che congiunge i due punti base nel caso di fasci di circonferenze secanti.

essendo tale retta sempre perpendicolare all’asse radicale ne consegue che il suo coefficiente angolare è l’antireciproco del coefficiente angolare dell’asse radicale. Ci sono numerosi modi per calcolare questa retta. Uno potrebbe essere calcolare le coordinate di due centri e utilizzare la formula per calcolare l’equazione di una retta passante per due punti. In alternativa, si potrebbe rocalcolare le coordinate di un centro ed utilizzare la formula per il calcolo dell’equazione di una retta noto un suo punto ed il coefficiente angolare.

Come studiare un fascio di circonferenze

Lo studio di un fascio di circonferenze richiede di determinare tutte le principali caratteristiche delle circonferenze del fascio. Gli step principali sono:

1. Determinare le circonferenze generatrici del fascio. Per fare ciò raccogliere separatamente i termini aventi il fattore k dai termini non aventi il fattore k.
2. Dalle equazioni delle due rette generatrici, determinare se uno o più coefficienti sono uguali tra loro e determinare di conseguenza informazioni sui centri delle circonferenze.
3. Calcolare l’equazione dell’asse radicale
4. Determinare i punti base del fascio mettendo a sistema una delle circonferenze generatrici con l’asse radicale
5. Calcolare l’equazione della retta dei centri
6. Determinare i valori di k per il quale il fascio di circonferenze fornisce una circonferenza ponendo l’argomento del raggio maggiore o uguale a zero. Quando il raggio è uguale a zero la circonferenza degenera in un punto

Per una maggiore chiarezza, proponiamo degli esempi sotto

Esempi di esercizi

Esempio 1

Studiare il seguente fascio di circonferenze: x²+kx²+y²+ky²+2x+kx-3y-4ky+1-k=0

1)Innanzitutto riscriviamo il fascio di circonferenze in modo da determinare le due circonferenze generatrici del fascio. Raccogliamo separatamente i termini aventi il fattore k dai termini non aventi il fattore k:

x^{2}+y^{2}+2x-3y+1+k(x^{2}+y^{2}+x-4y-1)=0

Le due circonferenze generatrici del fasico sono dunque:

1) \, x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0 \\\,\\
2) \,x^{2}+y^{2}+x-4y-1=0  \,\,\,

dove la seconda circonferenza è detta circonferenza esclusa dal fascio dato.

2) Le due circonferenze non hanno nessuno dei coefficienti in comune. Nulla si può dire sulla retta dei centri.

3) Calcoliamo l’equazione dell’asse radicale sottraendo la seconda equazione alla prima:

 x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0 \\-\\
x^{2}+y^{2}+x-4y-1=0  \\-\\
x+y+2=0

In forma esplicita abbiamo:

y=-x-2

L’asse radicale è dunque una retta di coefficiente angolare pari a -1.

4) Calcoliamo adesso i punti base del fascio mettendo a sistema la prima circonferenza con l’asse radicale:

\left\{\begin{matrix}
 x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0 
\\ \,\\
y=-x-2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

sostituiamo il valore di y nella prima equazione otteniamo dunque:

x^{2} + (-x-2)^{2}+2x-3(-x-2) +1 =0  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x^{2} + x^{2}+4x+4+2x+3x+6+1=0  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2x^{2} +9x + 11  =0 

calcoliamo il delta di questa equazione:

\Delta = b^{2}-4ac = 9^{2}-4*2*11 = 81-88 = -7

poiché il delta è negativo, non esistono punti base del fascio di circonferenze.

5) Calcoliamo l’equazione della retta dei centri. Per farlo calcoliamo le coordinate di uno dei centri:

x^{2}+y^{2}+2x-3y+1=0 \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)\Rightarrow C\left(-1,\frac{3}{2}\right)

Il coefficiente angolare di questa retta sarà l’antireciproco di quello dell’asse radicale. Abbiamo dunque che:

m=1

utilizziamo dunque la formula:

y-y_{C} = m(x-x_{C} ) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\y-\frac{3}{2} = 1(x+1 ) \\\,\\\Rightarrow \\\,\\  y = x+\frac{5}{2}

6) Determiniamo adesso i valori di k per i quali il fascio fornisce delle circonferenze. Ripartiamo dall’equazione del fascio:

x^{2}+y^{2}+2x-3y+1+k(x^{2}+y^{2}+x-4y-1)=0

riscriviamo l’equazione nella forma:

(1+k)x^{2}+(1+k)y^{2}+(2+k)x+(-3-4k)y+1-k=0

il che ci consente di ottenere la forma canonica dividendo ogni termine per 1+k:

x^{2}+y^{2} +\frac{2+k}{1+k}x-\frac{3+4k}{1+k}+\frac{1-k}{1+k} =0

k adesso non può assumere valore pari a -1. Adesso scriviamo la formula del raggio:

r= \frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{2+k}{1+k}\right)^{2}+\left(\frac{-3-4k}{1+k}\right)^{2}-4\left(\frac{1-k}{1+k}\right)}

Il fascio, rappresenta delle circonferenze finché l’argomento della radice è maggiore o uguale di zero:

\left(\frac{2+k}{1+k}\right)^{2}+\left(\frac{-3-4k}{1+k}\right)^{2}-4\left(\frac{1-k}{1+k}\right) \geq 0

moltiplichiamo entrambi i membri per (1+k)² essendo questo un termine positivo e ricordando che k non può essere uguale a -1. Otteniamo:

(2+k)^{2} + (-3-4k)^{2} -4(1-k)(1+k) \geq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4+4k+k^{2} +9+16k^{2}+24k-4+4k^{2} \geq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 21k^{2} +28k+9 \geq 0 

Calcoliamo le soluzioni dell’equazione associata:

k_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a} = \frac{-14\pm\sqrt{14^{2}-21*9}}{21}  =\frac{-14\pm\sqrt{196-189}}{21}  = \frac{-14\pm\sqrt{7}}{21} 

Allora:

k_{1} = \frac{-14-\sqrt{7}}{21} \\\,\\k_{1} = \frac{-14+\sqrt{7}}{21}

Il fascio dunque restituisce una circonferenza se:

k\leq \frac{-14-\sqrt{7}}{21} \vee  k\geq \frac{-14+\sqrt{7}}{21} 

quando il fascio è espresso in forma canonica, bisogna aggiungere anche la condizione:

k \neq -1 

l’asse radicale non è dunque rappresentato dalla forma canonica.

Esempio 2

Studiare il seguente fascio di circonferenze: x²+y² -4x+6y-3 +k( x²+y² -7x+4y-5)=0

1)Il fascio di circonferenze è già scritto nella forma desiderata. Possiamo dunque dire che le circonferenze generatrici sono:

x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0 \\\,\\ x^{2}+y^{2}-7x+4y-5=0

2) Le equazioni delle generatrici non ci danno alcuna informazione preliminare sulla retta dei centri delle circonferenze

3) Calcoliamo adesso l’equazione dell’asse radicale:

x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0 \\-\\ x^{2}+y^{2}-7x+4y-5=0 \\=\\ 3x+2y+2=0

che in forma esplicita è:

y=-\frac{3}{2}x-1

4) Calcoliamo i punti base risolvendo il sistema:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0\\ \,\\
y=-\frac{3}{2}x-1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.

sostituiamo il valore della y della seconda equazione del sistema nella prima:

x^{2} + \left(-\frac{3}{2}x-1\right)^{2}-4x+6\left(-\frac{3}{2}x-1\right)-3=0 \\\,\\ x^{2}+\frac{9}{4}x^{2}+1+3x-4x-9x-6-3=0 \\\,\\ 13x^{2} -40x-32=0

Calcoliamo il delta di questa equazione:

\Delta = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 20^{2} -32*13 = 400 - 416 = -16

Non ci sono dunque punti base del fascio.

5) Calcoliamo l’equazione della retta dei centri. Sappiamo che il suo coefficiente angolare deve essere l’antireciproco di quello dell’asse radicale. Possiamo dunque concludere che:

m=\frac{2}{3}

Adesso calcoliamo uno dei centri delle circonferenze:

x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0 \Rightarrow C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right) \Rightarrow C\left(2,-3\right)

applichiamo la formula per calcolare l’equazione della retta noto il coefficiente angolare ed un suo punto:

y-y_{C} = m(x-x_{C} ) \Rightarrow y+3= \frac{2}{3}(x-2) \Rightarrow y= \frac{2}{3}x-\frac{13}{3} 

6) Adesso verifichiamo i valori di k per i quali il fascio fornisce una circonferenza. Riscriviamo l’equazione del fascio in forma canonica:

x^{2}+y^{2}-4x+6y-3+k( x^{2}+y^{2}-7x+4y-5)=0 \\\,\\\Rightarrow\,\\ \,\\x^{2}+y^{2}-\frac{4+7k}{k+1}x +\frac{6+4k}{k+1}y -\frac{3+5k}{k+1}  = 0

riportiamo dunque la formula del raggio:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{\left(-\frac{4+7k}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{6+4k}{k+1}\right)^{2}-4\left(-\frac{3+5k}{k+1}\right)}

Adesso poniamo l’argomento della radice maggiore uguale di zero:

\left(-\frac{4+7k}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{6+4k}{k+1}\right)^{2}-4\left(-\frac{3+5k}{k+1}\right) \geq 0

moltiplichiamo entrambi i membri per k+1 al quadrato che è sicuramente un termine positivo.:

(-4-7k)^{2} + (6+4k)^{2}-4(-3-5k)(k+1) \geq 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 16+49k^{2}+56k +36+16k^{2}+48k -4(-3k-3-5k^{2}-5k) \geq 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 16+49k^{2}+56k +36+16k^{2}+48k +32k +12+20k^{2} \geq 0 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 85k^{2} +136k +64 \geq 0

Il delta di questa equazione è minore di zero. Questo vuol dire che la disequazione è sempre soddisfatta per qualsiasi valore di k. Il fascio fornisce sempre una circonferenze. Se espresso in forma canonica, l’unico valore non ammesso è per k=-1 (asse radicale)

Esempio 3

Studiare il fascio di circonferenze x²+kx²+y²+ky²+6x+6kx -4y-ky+1+4k=0

1)Riscriviamo il fascio di circonferenze separando i termini con il parametro k dagli altri:

x^{2}+y^{2}+6x-4y+1+k(x^{2}+y^{2} +6x-y+4)=0

Le circonferenze generatrici sono dunque:

1) x^{2}+y^{2}+6x-4y+1=0 \\\,\\\ 2)x^{2}+y^{2} +6x-y+4=0 \,\,\,\,\, \\

2) Le due equazioni hanno il coefficiente a in comune. Questo significa che le due circonferenze hanno i due centri con le ascisse in comune. Allora tutti i centri sono allineati lungo la retta:

x=-\frac{a}{2} = -\frac{6}{2} = -3

3) Calcoliamo l’equazione dell’asse radicale. Data la proprietà di perpendicolarità con la retta passante per i centri ci aspettiamo una retta parallela all’asse delle ascisse.:

x^{2}+y^{2}+6x-4y+1=0 \\-\\ x^{2}+y^{2} +6x-y+4=0 \\=\\ -3y-3=0

per cui la retta:

y=-1

è l’asse radicale del fascio di circonferenze

4) Determiniamo i punti base del fascio costruendo il sistema di equazioni tra la prima circonferenza generatrice e l’asse radicale:

\left\{\begin{matrix}
x^{2}+y^{2}+6x-4y+1=0 \\ \,\\
y=-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

\end{matrix}\right.

sostituendo il valore y=-1 alla prima equazione:

x^{2} + (-1)^{2}+6x-4(-1)+1=0 \\\,\\ x^{2} + 1+6x+4+1=0 \\\,\\x^{2}+6x+6=0

risolviamo l’equazione di secondo grado:

x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac}}{a} =\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-1*6}}{1}  = -3\pm\sqrt{3}

per cui i punti base saranno:

A(-3+\sqrt{3} ;-1) \\\,\\ B(-3-\sqrt{3} ;-1)

6) Determiniamo i valori di k per cui il fascio fornisce delle circonferenze. Riscriviamo l’equazione del fascio in forma canonica. Otteniamo:

x^{2} +y^{2}+\frac{6+6k}{k+1}x+\frac{-4-k}{k+1} + \frac{1+4k}{k+1} = 0 \\ \, \\ \Rightarrow \\ \, \\ x^{2} +y^{2}+6x+\frac{-4-k}{k+1} + \frac{1+4k}{k+1} = 0

Adesso applichiamo la formula del raggio:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \sqrt{6^{2}+\left(\frac{-4-k}{k+1}\right)^{2}-4\left(\frac{1+4k}{k+1}\right)}

Imponiamo l’argomento della radice maggiore e uguale a zero:

6^{2}+\left(\frac{-4-k}{k+1}\right)^{2}-4\left(\frac{1+4k}{k+1}\right) \geq 0

Moltiplichiamo entrambi i membri per k+1 al quadrato (ricordiamo che k deve essere diverso da -1):

36(k+1)^{2} + (-4-k)^{2}-4(1+4k)(k+1) \geq 0 \\\,\\ 36k^{2}+36+72k+16+k^{2}+8k-4k-16k^{2}-4-16k \geq 0 \\\,\\ 21k^{2}+60k+48 \geq 0 \\\,\\ 7k^{2} + 20k + 16 \geq 0

Calcoliamo il delta di questa disequazione:

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^{2}-ac = 10^{2}-7*16 = 100-112=-12

Il delta è negativo per cui la disequazione è soddisfatta per ogni k. Quando espressa in forma canonica abbiamo:

\forall k \epsilon R / \{k\neq-1\}

L’asse radicale è dunque è escluso dall’equazione del fascio in forma canonica.

Esempio 4

Studiare il fascio di circonferenze x²+y²+2x-4y+1+k( x²+y²+2x-4y-1) =0

1)Le due circonferenze generatrici sono:

1) x^{2} + y^{2} +2x-4y+1 =0 \\\,\\ 2) x^{2} + y^{2} +2x-4y-1 =0

2) Le due circonferenze hanno i coefficienti a e b in comune. Questo vuol dire che le due circonferenze hanno il centro in comune ed il fascio è un fascio di circonferenze concentriche:

C(-1,2)

Questo vuol dire che non esistono l’asse radicale e la retta passante per i centri. Non esistono nemmeno punti base.

6) Calcoliamo i valori di k per i quali in output il fascio fornisce una circonferenza. Riscriviamo in forma canonica:

x^{2} + y^{2} +2x-4y+\frac{1-k}{k+1} =0

scriviamo la formula del raggio:

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-4c} = \frac{1}{2}\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}-4\left(\frac{1-k}{k+1}\right)}  =\frac{1}{2}\sqrt{20-4\left(\frac{1-k}{k+1}\right)} 

imponiamo l’argomento della radice maggiore uguale di zero :

\frac{20k+20-4+4k}{k+1} \geq 0 \\\,\\ \frac{24k+16}{k+1} \geq 0

Risolviamo la disequazione fratta:

\left\{\begin{matrix}
N \geq 0\\ 
D > 0
\end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
24k+16 \geq 0\\ 
k+1> 0
\end{matrix}\right. \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
k \geq -\frac{2}{3}\\ 
k> -1
\end{matrix}\right.

Utilizziamo la regola dei segni e otteniamo che il fascio restituisce una circonferenza per:

k<-1 \vee k\geq -\frac{2}{3}