Fascio di rette proprio e improprio

Un fascio di rette è un insieme di rette definito da un’equazione parametrica. Si distinguono due tipi di fasci di rette:

• proprio: è l’insieme delle infinite rette che intersecano un determinato punto nel piano cartesiano
• improprio: è l’insieme delle infinite rette caratterizzate da uno stesso coefficiente angolare e quindi parallele tra di loro

Vediamo due esempio di questi due tipi di fasci:

Nei seguenti paragrafi vedremo:

• Equazione di un fascio proprio in forma esplicita
• Equazione di un fascio improprio in forma esplicita
• Forma implicita: fascio di rette proprio e improprio

Equazione di un fascio proprio in forma esplicita

Come definito sopra, un fascio di rette proprio è l’insieme delle infinite rette caratterizzate dall’avere uno stesso punto del piano cartesiano in comune. Ognuna di queste rette avrà una propria equazione che la descrive con un proprio coefficiente angolare ed una intercetta. Come rappresentiamo allora in termini di equazione un fascio di questo tipo? Immaginiamo che il punto in comune, centro del fascio di rette, sia il punto A con coordinate x_A e y_A. Consideriamo la retta r del fascio con coefficiente angolare m_r. Dal formulario, sappiamo che per calcolare l’equazione di una retta conoscendo il coefficiente angolare ed un suo punto, vale la formula:

La stessa formula vale per qualsiasi retta s e t. Possiamo quindi sostituire il coefficiente angolare mr della retta r con un generico parametro k che rappresenta tutti i coefficienti angolari delle rette del fascio. Si ottiene dunque:

Questa è l’equazione di un fascio di rette proprio in forma esplicita rappresentante l’infinito numero di rette passanti per il punto A. In alcuni casi, si predilige la notazione m(k) per rappresentare il generico coefficiente angolare:

Vedremo la rappresentazione di un fascio di rette proprio in forma implicita nei prossimi paragrafi

Equazione di un fascio improprio in forma esplicita

L’equazione del fascio in questo caso è molto semplice. Un fascio di rette improprio è un insieme di rette parallele e quindi caratterizzate dallo stesso coefficiente angolare. Ad esempio, il fascio di rette improprio con coefficiente angolare pari a 3 è dato dalle rette:

y=3x; y=3x+1; y=3x-40; y=3x+2/3….

Ciò che varia nelle equazioni è solo il valore dell’intercetta. Possiamo quindi scrivere l’equazione del fascio improprio caratterizzato dal coefficiente angolare m=3 nella seguente forma:

dove k rappresenta i valori di tutte le possibili ordinate all’origine o intercette. Per riconoscere da un fascio di rette improprio quale sia l’equazione della retta passante per un determinato punto A(x_A, y_A) occorrerà ricavare il valore di k sostituendo ad x e y i valori delle coordinate di A.

In alternativa, per calcolare la retta di un fascio improprio passante per un punto si può ancora utilizzare la generica equazione:

ma in questo caso m non è un parametro variabile, ma è un valore ben preciso (ad esempio m=3). Questa ultima equazione, può essere considerata rappresentativa del fascio se si assumono come “parametri” le coordinate del punto A. Esplicitando questa equazione per la variabile y otteniamo:

e quindi un valore di k pari a:

che varia al variare delle coordinate del punto A.

Equazione di un fascio di rette in forma implicita

In forma implicita è possibile esprimere sia un fascio di rette proprio che un fascio di rette improprio. Vedremo che per entrambi i casi l’equazione è la medesima ed è del tipo:

Vediamo nel seguito in che modo si arriva a tale equazione. Consideriamo due rette del piano cartesiano rispettivamente con equazione in forma implicita del tipo:

In che posizione reciproca possono trovarsi queste due rette? Esse possono essere o due rette che si incontrano in un determinato punto oppure due rette tra di loro parallele e che quindi non si incontrano mai. Per sapere il punto di incontro o di intersezione delle due rette è necessario risolvere un sistema di equazioni del tipo:

Risolvere tale sistema a 2 equazioni vuol dire individuare quel valore di x e quel valore di y che soddisfano entrambe le equazioni. Tali valori rappresentano l’ascissa e l’ordinata del punto di intersezione delle due rette rappresentate da quelle equazioni. In realtà, nel risolvere il sistema di equazioni possiamo avere ben 3 casi:

1. Una coppia di valori ben definita di coordinate del punto di intersezione. Le due rette quindi si incontrano in tal punto
2. Il sistema non ha soluzioni. Non esiste un punto di intersezione e quindi le due rette sono parallele
3. Esistono infinite soluzioni. Le due equazioni rappresentano la stessa retta o si dice che le due rette sono coincidenti

Adesso, indipendentemente in quale dei tre casi ci troviamo, dai principi di equivalenza dei sistemi lineari sappiamo che una combinazione lineare delle equazioni del sistema è ancora un’equazione per la quale vale la soluzione del sistema stesso. Quindi si possono avere i seguenti tre casi:

1. Se le due rette iniziali si incontrano per un punto, anche la retta ottenuta mediante un’equazione lineare si incontra i tale punto.
2. Quando le due rette iniziali sono parallele, allora anche la loro combinazione lineare sarà parallela alle due.
3. Se le due rette sono coincidenti, anche la loro combinazione lineare sarà coincidente ad esse.

La combinazione lineare si ottiene moltiplicando entrambe le equazioni per un valore. In questo caso scegliamo μ per la prima equazione e λ per la seconda equazione ottenendo:

μ e λ sono dei parametri. notiamo che se μ=0 allora la combinazione lineare coincide con la seconda equazione. Se λ = 0 allora la combinazione lineare coincide con la prima equazione. μ e λ possono assumere qualsiasi valore. Ne risulta che la combinazione lineare può rappresentare infinite rette. La combinazione lineare in funzione dei due parametri μ e λ rappresenta quindi un fascio di rette e le due rette iniziali vengono dette rette generatrici del fascio. In particolare:

1. Quando le due rette si incontrano in un punto il fascio descritto è un fascio proprio
2. Se le due rette sono parallele il fascio descritto è improprio
3. Se le due rette sono coincidenti, per qualsiasi valore dei due parametri, si ottiene sempre l’equazione della stessa retta

In generale però si preferisce esprimere il fascio in funzione di un solo parametro k. Allora, imponendo μ diverso da 0 e dividendo entrambi i membri per μ, si esprime la combinazione lineare nel seguente modo:

dove le due rette ax++by+c e a’x+b’y+c’ sono dette rette generatrici del fascio. Quest’ultima forma consente di rappresentare tutte le rette del fascio tranne una. Infatti, la retta a’x+b’y+c’ si otteneva ponendo μ=0 condizione che si contrappone con quella di essere diverso da zero necessaria per ottenere questa forma. La retta a’x+b’y+c’ allora si dice retta esclusa del fascio e non è possibile ottenerla per alcune valore di k. Si è soliti dire che tale retta la si ottiene per k che tende a infinito.