In questo appunto vediamo in cosa consiste l’equazione di alcune rette particolari, ovvero rette per le quali consigliamo saper riconoscere le caratteristiche direttamente dall’equazione. Nell’esposizione di questo appunto diamo per assimilato il concetto di equazione di una retta nelle sue forme implicita ed esplicita. Vediamo di seguito cosa tratteremo in questo appunto:

Se sei interessato ad ulteriori appunti di geometria analitica ti rimandiamo al relativo indice degli argomenti.

Breve accenno sull’equazione di una retta: forma implicita ed esplicita

Esistono due forme con le quali è possibile esprimere l’equazione di una retta: la forma implicita e la forma esplicita. Per forma implicita intendiamo una forma nella quale tutti gli elementi (variabili + costanti) sono a primo membro. L’equazione è del tipo:

ax+by+c=0

per forma esplicita si intende la forma per la quale l’equazione della retta è espressa in funzione di una delle due variabili (x o y). In generale, si esplicita l’equazione della retta in funzione della variabile y, ottenendo:

y=-\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}

ponendo le uguaglianze:

m=-\frac{a}{b} \\ \,\\ q= -\frac{c}{b}

otteniamo:

y=mx+q

dove m è detto coefficiente angolare e q è detta intercetta della retta. La prima esprime la pendenza della retta rispetto all’asse delle ascisse, la seconda esprime l’ordinata all’origine ovvero l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate.

Dunque per ricapitolare:

  • forma implicita:
ax+by+c=0
  • forma esplicita in y:
y=mx+q

E’ possibile, infine esplicitare l’equazione della retta per la variabile x. Generalmente non risulta comodo farlo se non quando si ha a che fare con rette parallele all’asse delle ordinate. Nei prossimi paragrafi vediamo in dettaglio l’equazione di alcune rette particolari.

Equazione delle rette parallele all’asse delle ascisse

Adesso vogliamo rispondere alla domanda: quando una retta è parallela all’asse delle ascisse, che forma ha la sua equazione? Pensiamo alle caratteristiche di tale retta:

  • poiché la retta è parallela all’asse delle ascisse essa non ha alcuna pendenza con l’asse x. Dunque se la pendenza è zero m=0
  • Ogni punto della retta avrà la stessa ordinata che coinciderà quindi con l’ordinata all’origine.

Possiamo concludere che l’equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse è del tipo:

y=q 

ma essendo:

q=-\frac{c}{b}

possiamo scrivere la formula:

y=-\frac{c}{b}

vediamo il grafico di questo tipo di retta.

equazione di rette particolari: parallele all'asse delle x
Equazione delle rette parallele all’asse delle ordinate

Quando la retta è perpendicolare all’asse delle ordinate significa che tutti i punti che ad essa appartengono sono caratterizzati dall’avere l’ascissa in comune. Ne consegue dunque che vale la relazione:

x=k

ma a quanto equivale k? Consideriamo l’equazione implicita della retta ed esplicitiamola in funzione della variabile x:

ax+by+c=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x=-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a}

ma poiché abbiamo detto che tutti i punti della retta hanno la stessa ascissa indipendentemente dal valore dell’ordinata, allora il termine con y dovrà essere nullo (quindi b=0). Abbiamo dunque:

x=-\frac{c}{a}

che potremmo rappresentare nel seguente modo:

equazione di rette particolari: parallele all'asse delle y
Equazione di una retta passante per l’origine

Vediamo adesso una famiglia di rette caratterizzate dal fatto di passare per l’origine. Imporre il passaggio per l’origine degli assi e quindi dal punto O(0,0) significa imporre che tutte queste rette intercettino l’asse delle ordinate nel punto di ordinata nulla. Ne risulta dunque che il termine “intercetta” o “ordinata all’origine” q dell’equazione in forma esplicita deve essere nullo. Abbiamo dunque la generica equazione:

y=mx

Le rette si differenziano tra loro dunque per il valore del coefficiente angolare. Possiamo rappresentarle graficamente nel seguente modo:

equazione di rette particolari: passanti per l'origine

Si noti che per tali rette il punto con ascissa 1 avrà sempre ordinata proprio pari ad m. Ciò semplifica molto la rappresentazione di tali rette. Esiste una ed una sola retta che passa per l’origine degli assi e che non può essere rappresentata dall’equazione y=mx. Si tratta dell’asse delle ordinate, per il quale l’equazione è del tipo:

x=0
Equazione della bisettrice primo-terzo quadrante

Una retta di cui è consigliabile saper riconoscere l’equazione è la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Si tratta dunque di una caso particolare di retta per l’origine caratterizzata dal fatto che ad essa appartengano tutti i punti avente ascissa e ordinata uguali. Sono dunque punti di tale retta i seguenti:

A(1,1) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ B(2,2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ C(-3,-3)
\\ O(0,0)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

poiché in tale retta le ascisse sono uguali alle ordinate vale dunque la relazione:

y=x

che è per l’appunto l’equazione di tale retta. Ma perché si chiama bisettrice del primo e del terzo quadrante? Ciò deriva dal fatto che la retta divide in due angoli uguali l’angolo formato dai due assi. Nel caso di due assi cartesiani che formano un angolo di 90° tra loro, la bisettrice divide tale angolo in due angoli da 45°:

equazione di rette particolari: bisettrice primo-terzo quadrante

Nella risoluzione dei problemi geometrici queste informazioni possono risultare molto utili

Equazione della bisettrice secondo-quarto quadrante

Un’altra retta dalle caratteristiche molto simili alla precedente è la bisettrice del secondo e quarto quadrante del piano cartesiano. Essa è costituita da tutti i punti per i quali l’ordinata è opposta all’ascissa. Dunque si verifica la relazione:

y=-x

ad essa fanno dunque parte i seguenti punti:

A(4,-4)\\B(2,-2) \\ C(3,-3)
\\ O(0,0)

ed il suo grafico è del tipo:

bisettrice secondo-quarto quadrante

dove ancora il termine bisettrice indica il fatto che divide l’angolo tra gli assi in due parti uguali.

Equazioni di alcune rette particolari