In questo appunto vediamo qual è l’equazione di un’iperbole e come questa varia a seconda della posizione del centro di simmetria e dell’allineamento dei fuochi. Per comprendere al meglio il contenuto di questo articolo è importante conoscere la definizione di iperbole come luogo geometrico dei punti in quanto sarà alla base della dimostrazione che qui andremo a svolgere per ottenere l’equazione dell’iperbole. In particolare in questo appunto vedremo:

Per approfondire altri argomenti di geometria analitica ti rimandiamo al seguente indice degli argomenti.

Breve definizione di iperbole

L’iperbole è definita in geometria come:

il luogo geometrico di punti del piano per i quali è costante il modulo della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi

se hai già familiarizzato con l’ellisse avrai subito notato che la definizione è molto simile negli elementi se non che qui si parla della differenza delle distanze, mentre nel caso dell’ellisse si parlava di somma delle distanze. Dunque, identificando con la notazione P(x,y) un generico punto appartenente all’iperbole e F1 ed F2 i suoi due fuochi, deve valere la relazione:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = k

dove k identifica una costante. Si noti che l’utilizzo del modulo è necessario. In una iperbole, infatti, ci sono dei punti per i quali la distanza dal primo fuoco è maggiore della distanza dal secondo fuoco ed altri punti in cui la distanza dal secondo fuoco è maggiore rispetto alla distanza dal primo fuoco. Ne consegue che nel primo caso la differenza delle distanze sarebbe positiva, mentre nel secondo caso sarebbe negativa. Avremo dunque due casi:

\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}= k \\\,\\  \overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}= -k

L’utilizzo del modulo semplifica la discussione. Ma come è fatta un’iperbole? La sua forma è di questo tipo:

equazione di un'iperbole

si tratta dunque di una curva caratterizzata da due porzioni non chiuse, dette rami, che si estendono all’infinito e che non si incontrano mai. I suoi due fuochi (segnalati nel disegno con un punto rosso), sono posizionati nelle parti concave dei rami. Presi tre punti a caso appartenenti all’ellisse, valgono le seguenti uguaglianze:

|\overline{P_{1}F_{1}}-\overline{P_{1}F_{2}}|=|\overline{P_{2}F_{1}}-\overline{P_{2}F_{2}}|=|\overline{P_{3}F_{1}}-\overline{P_{3}F_{2}}|
Equazione di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse: equazione in forma canonica e dimostrazione

Dimostriamo adesso l’equazione generale dell’iperbole partendo dalla sua definizione come luogo geometrico di punti. Consideriamo il caso semplice di una iperbole i cui fuochi sono posizionati sull’asse delle ascisse e simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. Tale iperbole è detta iperbole canonica. Ciò significa che, similmente a quanto fatto per l’ellisse, i due fuochi hanno coordinate del tipo:

F_{1}(-c,0); \,\,\, F_{2}(c,0)

adesso consideriamo il generico punto P(x,y) appartenente all’iperbole. In quanto tale deve valere la relazione:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = 2a

dove 2a è una costante positiva. Affinché l’intera dimostrazione abbiamo senso è necessario quinid porre entrambi c ed a maggiori di zero. Esprimiamo adesso la distanza del punto P dai fuochi utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra due punti:

|\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}}-\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}|=2a

eleviamo entrambi i membri al quadrato in modo tale da poter eliminare il modulo dall’equazione:

(x+c)^{2}+y^{2}+(x-c)^{2}+y^{2}-2\sqrt{[(x+c)^{2}+y^{2}][(x-c)^{2}+y^{2}]} = 4a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2}+x^{2}+c^{2}-2xc- 2\sqrt{[x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2}][x^{2}+c^{2}-2xc+y^{2}]} =4a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2} = 2\sqrt{[x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2}][x^{2}+c^{2}-2xc+y^{2}]}

adesso per eliminare ulteriormente la radice dall’equazione, eleviamo nuovamente entrambi i membri al quadrato:

4x^{4}+4y^{4}+4c^{4}+16a^{4}+8x^{2}y^{2}+8c^{2}x^{2}+8c^{2}y^{2}-16a^{2}x^{2}-16a^{2}y^{2}-16a^{2}c^{2} = 4x^{4}+4c^{2}x^{2}-8cx^{3}+ \\\,\\ +4x^{2}y^{2}+4c^{2}x^{2}+4c^{4}-8c^{3}x+4c^{2}y^{2}+8cx^{3}+8c^{3}x-16c^{2}x^{2}+8cxy^{2}+4x^{2}y^{2}+4c^{2}y^{2}-8cxy^{2}+4y^{4}

semplifichiamo:

16a^{4}-16a^{2}x^{2}-16a^{2}y^{2}-16a^{2}c^{2}=-16c^{2}x^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{4}-a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}-a^{2}c^{2}+c^{2}x^{2}=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2} = a^{2}(c^{2}-a^{2})

adesso ponendo:

b^{2}=c^{2}-a^{2}

allora l’equazione diventa:

\mathbf{b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2} = a^{2}b^{2}}

dividendo ancora entrambi i membri per a2b2 otteniamo:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

che ricorda ancora una volta l’equazione di un’ellisse se non per il segno meno tra il termine in x ed il termine in y. Nei prossimi paragrafi vediamo quali sono le caratteristiche principali di questa curva e come collegarli ai coefficienti a,b e c presenti nelle varie forme dell’equazione di una iperbole.

Simmetria assiale rispetto all’asse delle x

Proviamo a verificare se esiste una simmetria rispetto all’asse delle ascisse per l’equazione dimostrata nel paragrafo precedente. Ricordiamo che una curva è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse se a ciascun punto P(x,y) appartenente alla curva ne esiste un altro di coordinate P(x,-y) anch’esso appartenente alla curva. Sostituiamo dunque le coordinate di questo secondo punto all’equazione dell’iperbole:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=1

risolviamo la parentesi e otteniamo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

l’equazione dell’iperbole iniziale. Abbiamo così provato che l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse.

Simmetria assiale rispetto all’asse delle y

Eseguiamo adesso la stessa verifica rispetto all’asse delle ordinate. Ricordiamo che la simmetria rispetto all’asse delle ordinate richiede che ad ogni punto P(x,y) corrisponda un punto P(-x,y):

 
\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y)^{2}}{b^{2}}=1

risolviamo la parentesi ed otteniamo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(y)^{2}}{b^{2}}=1

che è l’equazione iniziale dell’iperbole. Non essendo questa variata possiamo concludere che la simmetria rispetto all’asse delle ordinate è rispettata.

Simmetria centrale rispetto all’origine degli assi

Abbiamo visto che quando l’iperbole con centro nell’origine degli assi e fuochi allineati orizzontalmente, essa è simmetrica rispetto ad entrambi gli asse cartesiani. Quando una curva è simmetrica rispetto ad entrambi gli assi cartesiani questa è simmetrica anche rispetto all’origine degli assi! Dunque deve accadere che ad ogni punto P(x,y) corrisponde un punto P(-x,-y)

Lasciamo a te la verifica di questa simmetria sull’equazione dell’ellisse

Dominio e codominio dell’equazione di un’iperbole

Calcoliamo adesso il dominio ed il codominio dell’equazione di un’iperbole. Per farlo esplicitiamo l’equazione in funzione della variabile y. Otteniamo:

y= \pm b\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1} =\pm b\sqrt{\frac{x^{2}-a^{2}}{a^{2}}}

affinché il secondo membro dell’equazione possa esistere, è necessario che l’argomento della radice sia positivo o nullo e ciò accade quando il numeratore della frazione argomento della radice è positivo p nullo. Ovvero quando:

x^{2}-a^{2} \geq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x\leq -a \,\,\vee\,\, x\geq a 

dunque quando la x è compresa tra -a ed a, la funzione non è definita. Ricordiamo che le coordinate x=a ed x=-a sono le coordinate dei vertici dell’iperbole. Il campo dei numeri reali per i quali la funzione è definita in x è detto campo di esistenza o dominio dell’iperbole.

Esplicitando invece la funzione rispetto alla variabile x otterremo:

x= \pm a\sqrt{\frac{y^{2}+b^{2}}{b^{2}}}

si noti che per qualsiasi valore della variabile y la radice è sempre positiva!. Si dice dunque che il codominio della funzione è l’insieme dei numeri reali R:

y\,\, \epsilon\,\, R
Equazione di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate

Quando si ha a che fare con una iperbole avente i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate, la dimostrazione dell’equazione dell’iperbole è pressoché la medesima di quanto visto nel caso in cui i fuochi siano posizionati sull’asse delle ascisse. Il risultato è ovviamente diverso. L’equazione generica dell’iperbole diventa:

\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1

dove:

F_{1}(0,-c); \,\,\, F_{2}(0,c)

e:

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Si noti che l’equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate può essere ricavata dall’equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse eseguendo la seguente sostituzione:

\left\{\begin{matrix}
x \rightarrow y\\ \,\\y \rightarrow x 

\end{matrix}\right.

L’iperbole ottenuta con questa sostituzione è simmetrica all’originale rispetto alla bisettrice del primo/terzo quadrante e rispetto alla bisettrice del secondo/quarto quadrante.

equazione di un'iperbole: fuochi allineati verticalmente

 

Anche l’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi è tale da essere simmetrica rispetto ad entrambi gli assi e simmetrica rispetto all’origine degli assi. Il calcolo del dominio e del codominio è molto semplice e richiama quanto fatto per il primo caso. Otteniamo infatti:

x \,\,\epsilon\,\, R \\\,\\y\leq -a \,\,\vee\,\, y\geq a 
Come riconoscere se un’iperbole ha i fuochi sull’asse delle ordinate o delle ascisse

Se hai letto l’intero appunto fino a qui saprai sicuramente riconoscere quando un’iperbole ha i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e quando questi sono posizionati sull’asse delle ascisse. Qualora tu sia arrivato direttamente a leggere questo paragrafo ricordiamo che:

  • un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse e centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi ha equazione del tipo:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(y)^{2}}{b^{2}}=1
  • un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi ha equazione:
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
Equazione di un’iperbole traslata

Le equazioni delle iperbole viste nei due precedenti paragrafi si basano sull’assunzione che il centro dell’iperbole sia posizionato nell’origine degli assi. Abbiamo infatti visto che i due casi di iperbole visti in precedenza sono simmetrici rispetto all’origine degli assi. Ma cosa succede se il centro dell’iperbole, e quindi il centro di simmetria dell’iperbole, non sia coincidente con l’origine degli assi? Immaginiamo che il centro sia posizionato nel punto C(p,q):

equazione di un'iperbole: iperbole traslata

l’equazione dell’iperbole traslata si otterrà da quella dell’iperbole con centro nell’origine degli assi applicando la seguente trasformazione:

\left\{\begin{matrix}
x \rightarrow x-p\\ \,\\y \rightarrow y-q 

\end{matrix}\right.

L’equazione di un’iperbole con fuochi allineati orizzontalmente e con centro in C(p,q) sarà dunque del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

L’iperbole si dice dunque traslata di vettore [p,q]. Nel caso invece di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e con centro in C(p,q), l’equazione sarà de tipo:

\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1

L’iperbole traslata sarà dunque simmetrica rispetto alle rette x=p, y=q e rispetto al centro C(p,q)

Esempi di esercizi

Esempio 1

Definisci dove sono posizionati i fuochi ed il centro di simmetria della seguente iperbole:

\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{5}=1

L’equazione fornita è la classica equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi!. Dall’equazione ricaviamo che:

a^{2} =3 \\\,\\ b^{2} = 5

poiché:

c^{2} = a^{2}+b^{2} =3+5 =8 \\\,\\ \Rightarrow c=\pm2\sqrt{2}

possiamo dunque determinare che le coordinate del fuoco sono:

F_{1} (0,-2\sqrt{2}) \\\,\\ F_{2}(0, 2\sqrt{2})

Esempio 2

Determinare le caratteristiche della seguente iperbole:

\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+4)^{2}}{16}=1

Si tratta di un’iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente e e con centro di simmetria traslato, di generica equazione:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

Il centro di simmetria è dunque situato in C(3,-4) ed i coefficienti dei vertici sono tali che:

c^{2}= a^{2}+b^{2} =9+16=25

Possiamo dunque calcolare le coordinate dei vertici:

A_{1}(-a+p,q) = A_{1}(-3+3,-4)=A_{1}(0,-4)\\\,\\A_{2}(a+p,q) = A_{1}(3+3,-4)=A_{1}(6,-4)

I fuochi avranno invece equazione:

F_{1}(-c+p,q) =F_{1}(-5+3,-4)=F_{1}(-2,-4)\\\,\\F_{2}(c+p,q)=F_{2}(5+3,-4)=F_{2}(8,-4)

 

Equazione di un’iperbole canonica