In questo appunto vediamo che tipo di forma assume l’equazione di un’ellisse in un piano cartesiano e le sue principali caratteristiche. In particolare vedremo:

Definizione dell’ellisse come luogo geometrico

L’ellisse come già visto per le altre coniche (parabola e circonferenza) e la retta può essere definita come luogo geometrico di punti. Esiste dunque una proprietà che accomuna tutti i punti ad essa appartenente:

L’ellisse è il luogo geometrico di punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi

raffiguriamo in un piano cartesiano l’esempio di un ellisse con i suoi due fuochi:

equazione di un'ellisse: definizione come luogo geometrico di punti

Nella figura sopra abbiamo indicato i due fuochi dell’ellisse con F1 ed F2. La definizione dell’ellisse come luogo geometrico di punti ci dice che:

P_{1}F_{1} +P_{1}F_{2} \,\,\,\,\cong \,\,\,\,P_{2}F_{1} +P_{2}F_{2} \,\,\,\, \cong \,\,\,\,P_{3}F_{1} +P_{3}F_{2}\,\,\,\, \cong \,\,\,\,P_{4}F_{1} +P_{4}F_{2}\,\,\,\, \cong\,\,\,\, P_{5}F_{1} +P_{5}F_{2}

Dunque, tutti i punti del piano per i quali la somma delle distanze rispetta la relazione sopra, fanno parte dell’ellisse.

Ellisse con fuochi sull’asse delle ascisse: equazione in forma canonica e dimostrazione

Dimostriamo di seguito l’equazione dell’ellisse partendo dal caso più semplice di una ellisse con centro nell’origine degli assi e con i due fuochi posizionati sull’asse delle x. Indichiamo le coordinate dei due fuochi considerando il posizionamento sull’asse delle x e la loro simmetria rispetto all’origine degli assi. Avremo dunque che:

F_{1} (-c,0) \\\,\\F_{2}(c,0)\,\,\,\,\,\,

consideriamo inoltre un generico punto P che appartiene all’ellisse e avente generiche coordinate P(x,y):

equazione di un'ellisse

Adesso applichiamo la definizione di ellisse come luogo geometrico di punti. Un punto P appartiene ad essa se la somma delle distanze dai due fuochi è una costante che in questo caso indicheremo con 2a:

\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}} = 2a

Per come definite, le due costanti a e c sono entrambe positive. Adesso esplicitiamo le distanze del punto P dai due fuochi applicando la formula della distanza di due punti nel piano cartesiano:

\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}} +\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}} =2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{(x+c)^{2}+(y-0)^{2}} +\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}} =2a

portiamo una delle due radici nel secondo membro:

\sqrt{(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}  =2a-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}

ed eleviamo entrambi i membri al quadrato:

(x+c)^{2}+y^{2}  =4a^{2}+(x-c)^{2}+y^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2}  =4a^{2}+x^{2}+c^{2}-2xc+y^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \not{x^{2}}+\not{c^{2}}+2xc+\not{y^{2}}  =4a^{2}+\not{x^{2}}+\not{c^{2}}-2xc+\not{y^{2}}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}

portiamo adesso i termini fuori radice al primo membro:

4xc-4a^{2}=-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}

dividiamo tutto per 4 e cambiamo di segno:

a^{2}-xc=a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}

eleviamo nuovamente al quadrato:

a^{4}+x^{2}c^{2}-2a^{2}xc=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}-2a^{2}xc+a^{2}y^{2}

portiamo al primo membro i termini che dipendono da x e y e gli altri al secondo membro e cambiamo di segno:

a^{2}x^{2}-2a^{2}xc+a^{2}y^{2}-x^{2}c^{2}+2a^{2}xc=a^{4}-a^{2}c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-x^{2}c^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}-x^{2}c^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})

quest’ultima è dunque l’equazione di un’ellisse. Facciamo adesso però una constatazione di tipo geometrico considerando il triangolo PF1F2. Abbiamo detto che la somma dei due lati di tale triangolo è pari a 2a:

\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}} = 2a

il terzo lato di tale triangolo è invece pari a:

\overline{F_{1}F_{2}} = 2c

poiché in un generico triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, possiamo concludere che:

\overline{F_{1}F_{2}} <\overline{PF_{1}}+\overline{PF_{2}}  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 2c<2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ c < a

ne consegue dunque che il termine a2-c2 è sempre positivo. Possiamo allora sostituirlo con il quadrato di un numero reale che indicheremo con b:

a^{2}-c^{2}=b^{2}

l’equazione dell’ellisse diventa dunque:

x^{2}b^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}

Abbiamo dunque semplificato l’equazione dell’ellisse. Dividendo numeratore e denominatore per la grandezza a2b2. Otteniamo dunque:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

che è l’equazione dell’ellisse in forma canonica. Adesso verifichiamo le caratteristiche di questa funzione ed in particolare verifichiamo le simmetrie:

Simmetria rispetto all’asse delle x:

Verifichiamola simmetria rispetto all’asse delle x andando ad eseguire la seguente sostituzione:

\left\{\begin{matrix} x \rightarrow x\\ \,\\y \rightarrow -y \end{matrix}\right. 

otteniamo dunque:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=1} 

che diventa:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

l’equazione dell’ellisse non cambia. La funzione gode di simmetria assiale rispetto all’asse delle x.

Simmetria rispetto all’asse delle y:

Verifichiamola simmetria rispetto all’asse delle x eseguendo la sostituzione x->-x:

\mathbf{\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1} 

che diventa:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

l’equazione dell’ellisse non cambia. La funzione gode di simmetria assiale rispetto all’asse delle y.

Simmetria rispetto all’origine degli assi:

Quando una funzione è contemporaneamente simmetrica rispetto all’asse delle x e all’asse delle y allora automaticamente sarà simmetrico rispetto all’origine. Tale simmetria si verifica sostituendo ad x->-x e ad y->-y. Otteniamo:

\mathbf{\frac{(-x)^{2}}{a^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{b^{2}}=1} 

che diventa:

\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

L’equazione dell’ellisse è simmetrica rispetto all’origine. L’equazione dell’ellisse gode dunque di simmetria centrale.

Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate

Vediamo adesso cosa succede se i fuochi dell’ellisse si trovano sull’asse delle ordinate anziché sull’asse delle ascisse:

equazione di un'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate

Osservando la figura sopra si nota che un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (e anche alla bisettrice del secondo e quarto quadrante) rispetto alla stessa ellisse con i fuochi disposti però sull’asse delle ascisse.

Si potrebbe dunque ottenere l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate operando la seguente trasformazione:

\left\{\begin{matrix}
x'=y\\ 
y'=x
\end{matrix}\right.

per cui l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate diventa:

\mathbf{\frac{x'^{2}}{b^{2}}+\frac{y'^{2}}{a^{2}}=1} \Rightarrow \mathbf{\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1}

L’equazione rimane sostanzialmente invariata così come tutte le sue proprietà. Una nota importante è la seguente. Poiché l’equazione rimane sostanzialmente invariata se i fuochi sono sull’asse delle ascisse o sull’asse delle ordinate, come è possibile riconoscere da un’equazione con valori numerici la posizione dei fuochi? Bene, se il termine al denominatore sotto la x è maggiore del termine al denominatore sotto la y, allora avremo a che fare con una ellisse con fuochi sull’asse delle ascisse. In caso contrario i fuochi saranno sull’asse delle ordinate.

Equazione dell’ellisse traslata

Fino ad ora abbiamo visto il caso di ellissi con il centro posizionato all’origine degli assi. Si tratta sicuramente di una situazione di comodo che consente di semplificare parecchio l’equazione. Ma cosa succede se il centro non coincide con l’origine degli assi? In questo caso per capire l’effetto sull’equazione occorre eseguire una trasformazione di traslazione. Immaginiamo dunque che il centro passi dall’essere O(0,0) ad essere C(xC,yC):

equazione di un'ellisse traslata

traslando l’ellisse di un vettore v(xC,yC) otteniamo che le nuove coordinate dei punti dell’ellisse nel sistema di riferimento XY saranno relazionate alle vecchie secondo le relazioni:

\left\{\begin{matrix}
X=x-x_{C}\\ 
Y=y-y_{C}
\end{matrix}\right.

Per cui il centro C (xC,yC) nel nuovo sistema di riferimento avrà coordinate:

\left\{\begin{matrix}
X=x_{C}-x_{C}=0\\ 
Y=y_{C}-y_{C}=0
\end{matrix}\right.

poiché rispetto al sistema di riferimento XCY, l’ellisse avrà equazione:

\mathbf{\frac{X^{2}}{a^{2}}+\frac{Y^{2}}{b^{2}}=1}

rispetto al sistema x0y, l’equazione diventa:

\mathbf{\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}}=1}

che per l’appunto è l’equazione dell’ellisse traslata di vettore v(xC,yC).

Per quanto riguarda le simmetrie, l’ellisse traslate avrà simmetria assiale rispetto alle rette x=xC y=yC e simmetria centrale rispetto al centro C (xC,yC).

Come riconoscere se un’ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate o delle ascisse

E’ possibile capire dall’equazione di un’ellisse se questa ha i suoi fuochi posizionati sull’asse delle ordinate o sull’asse delle ascisse? La risposta è sì. Data l’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine degli assi:

\frac{x^{2}}{d^{2}}+\frac{y^{2}}{f^{2}}=1

possiamo avere tre possibili casi:

  • Quando il termine al denominatore della x è maggiore di quello sotto la y, l’ellisse ha i suoi fuochi sull’asse delle ascisse
  • Se il termine al denominatore della x è minore di quello sotto la y,: l’ellisse ha i suoi fuochi sull’asse delle ordinate
  • Se i due termini sono uguali l’ellisse degenera in una circonferenza

Attenzione: in genere si utilizza esprimere l’equazione dell’ellisse indicando con il termine a il semiasse maggiore e con il termine b il semiasse minore sia che l’ellisse abbia i fuochi sull’asse delle ascisse che delle ordinate. 

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Definisci se la seguente ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate o sull’asse delle ascisse

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}=1

Poiché a=b possiamo concludere che non abbiamo a che fare con una ellisse ma con una circonferenza avente centro nell’origine degli assi e raggio r=4

Esercizio 2

Definisci se la seguente ellisse ha i fuochi sull’asse delle ordinate o sull’asse delle ascisse:

\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1

Poiché il coefficiente a (36) è maggiore del termine b (16) , possiamo concludere che l’ellisse ha i suoi fuochi sull’asse delle ascisse

Esercizio 3

Calcola l’equazione dell’ellisse avente un fuoco in F1(3,0), centro nell’origine degli assi e a cui appartiene il punto A(3,16/5)

Innanzitutto calcoliamo le coordinate del secondo fuoco che sarà posizionato in maniera simmetrica al primo rispetto all’origine degli assi. Per cui:

F_{2} (-3,0)

Adesso calcoliamo le distanze del punto A da entrambi i fuochi:

\overline{AF_{1}} = \sqrt{(x_{A}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{A}-y_{F_{1}})^{2}} =  \sqrt{(3-3)^{2}+\left(\frac{16}{5}-0\right)^{2}} = \frac{16}{5}  \\\,\\\overline{AF_{2}} = \sqrt{(x_{A}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{A}-y_{F_{2}})^{2}} =  \sqrt{(3+3)^{2}+\left(\frac{16}{5}-0\right)^{2}} = \frac{34}{5}

per cui:

\overline{AF_{1}}+\overline{AF_{2}} = \frac{16}{5}+\frac{34}{5} = 10

Applichiamo adesso la definizione di ellisse:

\sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}} =10 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{(x-3)^{2}+(y-0)^{2}} =10 -\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}}

eleviamo entrambi i membri al quadrato:

x^{2}-6x+9+y^{2} = 100+x^{2}+6x+9+y^{2}-20\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 12x+100 = 20\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 3x+25= 5\sqrt{(x+3)^{2}+(y-0)^{2}}  \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 9x^{2} +625+150x= 25(x+3)^{2}+25(y)^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 9x^{2} +625+150x= 25x^{2}+225+150x +25y^{2}\\\,\\\Rightarrow \\\,\\ 9x^{2} +625= 25x^{2}+225+25y^{2}

riorganizziamo:

16x^{2}+25y^{2}= 400

dividiamo tutto per 400 e otteniamo:

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16} =1

Esercizio 4

Calcolare l’equazione dell’ellisse che passa per i punti:

A(0,6)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\B(-1, -3\sqrt{3})

consideriamo l’equazione generica dell’ellisse:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

sostituiamo le coordinate dei punti A e B all’equazione dell’ellisse:

\left\{\begin{matrix}
\frac{0}{a^{2}} + \frac{36}{b^{2}} = 1\\ \,\\
\frac{4}{a^{2} } + \frac{27}{b^{2}} = 1
\end{matrix}\right.

dalla prima equazione ricaviamo che:

b^{2}=36

sostituiamo tale valore nella seconda:

\frac{4}{a^{2} } + \frac{27}{36} = 1 \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ \frac{4}{a^{2} } + \frac{3}{4} = 1   \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ a^{2} = 16

ne consegue che l’equazione dell’ellisse diventa:

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1

 

Equazione di un’ellisse
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