Vediamo in questo appunto come determinare l’equazione dell’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un punto ad essa appartenente. Di seguito i link per ciascuno dei paragrafi di questo appunto:
- Breve accenno sull’equazione dell’ellisse
- Come determinare l’equazione di un’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un punto ad essa appartenente
- Caso di ellisse traslata
- Esempi di esercizi
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Breve accenno sull’equazione dell’ellisse
Senza entrare troppo nel dettaglio ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente e con il centro coincidente con l’origine degli assi, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:
\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1
dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:
- Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i due fuochi allineati orizzontalmente
- Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i due fuochi allineati verticalmente
Si ricordi inoltre che per ciascuna ellisse vale la relazione:
a^{2}=b^{2}+c^{2}
dove c è la semidistanza focale e nel caso di un’ellisse con centro nell’origine degli assi è un’informazione contenuta all’interno delle coordinate dei fuochi F1 e F2.
Come determinare l’equazione di un’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un punto ad essa appartenente
Vediamo adesso il caso particolare di un problema nel quale è chiesto di determinare l’equazione dell’ellisse quando sono note le coordinate di un fuoco e di un punto ad essa appartenente. Poiché l’ellisse è determinata se si conoscono i due parametri a e b, servono due informazioni indipendenti per poter determinare l’equazione dell’ellisse.
Poiché conoscendo le coordinate di uno dei due fuochi, nel caso di un ellisse con centro nell’origine degli assi, vuol dire anche conoscere anche la semidistanza focale c dell’ellisse, la prima relazione indipendente è data da:
a^{2}=b^{2}+c^{2}
La seconda relazione indipendente è invece insita nelle coordinate del punto noto e appartenente all’ellisse. Classicamente, nei problemi di geometria analitica, quando si conoscono le coordinate di un punto di una qualsiasi curva, si tende a sostituire le coordinate del punto all’equazione da inserire con le altre all’interno di un sistema di equazioni. In realtà nel caso dell’ellisse non è molto conveniente eseguire questa operazione.
Proponiamo allora di utilizzare la definizione dell’ellisse secondo la quale, la somma delle due distanze di un qualsiasi punto P dai due fuochi dell’ellisse è una costante ed è pari a 2a:
\overline{PF_{1}} +\overline{PF_{2}} =2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}} +\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}} = 2a
Per poter calcolare le due distanza del punto P dai due fuochi, è necessario conoscere le coordinate di entrambi i fuochi. In questo caso ci aiutano le proprietà di simmetria dell’ellisse. Ricordiamo infatti che:
Ne risulta che per poter determinare l’equazione dell’ellisse bisognerà risolvere il seguente sistema di equazioni:
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}} +\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}} = 2a\\ \,\\
a^{2}=b^{2}+c^{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.
Dunque i passaggi per risolvere un esercizio in cui si ha a che fare con un’ellisse con centro nell’origine degli assi sono:
- Determinare il tipo di ellisse se orizzontale e verticale. Se non è possibile determinare il tipo dell’ellisse allora dovranno essere considerate due ellissi, una orizzontale ed una verticale, come possibili soluzioni del problema.
- Identificare le coordinate del secondo fuoco
- Impostare Il sistema di equazioni
- Scrivere l’equazione dell’ellisse
Nel prossimo paragrafo vediamo cosa comporta avere a che fare con il caso di un’ellisse traslata
Caso di ellisse traslata
Quando abbiamo a che fare con un’ellisse traslata, il centro dell’ellisse non coincide più con l’origine degli assi. L’ellisse ha equazione del tipo:
\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1
a seconda che il semiasse maggiore sia posizionato orizzontalmente o verticalmente. L’unica difficoltà che il caso dell’ellisse traslata aggiunge a quanto visto nel paragrafo precedente sta nel calcolo delle coordinate del secondo fuoco e nel ricavare il valore del parametro c. Per poter eseguire i calcoli infatti sarà necessario conoscere le coordinate del centro dell’ellisse. Nella tabella mostrata nel paragrafo precedente noterai come le coordinate del fuoco sono sì legate al parametro c, ma includono in esso le coordinate del centro.
Immaginiamo di avere un’ellisse orizzontale traslata di cui conosciamo le coordinate del fuoco F1 e del centro C. Abbiamo che:
c = |x_{F_{1}}-x_{C}| \\\,\\ se \,x_{F_{1}} < x_{C} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x_{F_{2}} = x_{C}+c \\\,\\ se \,x_{F_{1}} > x_{C} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{F_{2}} = x_{C}-c
Nel caso di un’ellisse verticale traslata, abbiamo invece:
c = |y_{F_{1}}-y_{C}| \\\,\\ se \,y_{F_{1}} < y_{C} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, y_{F_{2}} = y_{C}+c \\\,\\ se \,y_{F_{1}} > y_{C} \,\,\,\Rightarrow \,\,\,y_{F_{2}} = y_{C}-c
Ricapitoliamo i passaggi nel caso di ellisse traslata sono gli stessi di quelli visti nel paragrafo precedente. Si complica solo il calcolo della semidistanza focale c e delle coordinate del secondo fuoco.
Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi
Esempi di esercizi
Esercizio 1
Calcolare l’equazione dell’ellisse verticale con centro nell’origine degli assi e con fuoco nel punto F(0,3). L’ellisse passa per il punto P(2,4)
L’ellisse è di tipo verticale e con centro nell’origine degli assi. Dunque la sua generica equazione sarà del tipo:
\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1
I suoi generici fuochi hanno coordinate del tipo:
F_{1}(0,c)\,\,\,\,\,\, \\\,\\ F_{2}(0.-c)
possiamo dunque concludere che se F(0,3) allora:
c=3
e
F_{2}(0,-3)
dunque possiamo applicare la definizione di ellisse:
\overline{PF_{1}} +\overline{PF_{2}} =2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}} +\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{(2-0)^{2}+(4-3)^{2}} +\sqrt{(2-0)^{2}+(4-(-3))^{2}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{4+1} +\sqrt{4+49} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{5} +\sqrt{53} = 2a
dunque:
a= \frac{\sqrt{5}}{2} +\frac{\sqrt{53}}{2}
elevando tutto al quadrato:
a^{2}= \left(\frac{\sqrt{5}}{2} +\frac{\sqrt{53}}{2}\right)^{2} = \frac{5}{4}+\frac{53}{4}+\sqrt{265} =\frac{29}{2}+\sqrt{265}
possiamo quindi impostare il sistema:
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}} +\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}} = 2a\\ \,\\
a^{2}=b^{2}+c^{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.
dove abbiamo già semplificato la prima equazione:
\left\{\begin{matrix}
a^{2} = \frac{29}{2}+\sqrt{265} \\ \,\\a^{2}=b^{2}+9 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{matrix}\right.
dunque sostituiamo il valore di a2 della prima equazione nella seconda:
\left\{\begin{matrix}
a^{2} = \frac{29}{2}+\sqrt{265}\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\\\frac{29}{2}+\sqrt{265}+b^{2}=9
\end{matrix}\right.
per cui:
b^{2} = \frac{29}{2}+\sqrt{265} - 9 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2} = \frac{11}{2}+\sqrt{265}
per cui l’equazione della nostra ellisse sarà:
\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{\frac{11}{2}+\sqrt{265} } +\frac{y^{2}}{\frac{29}{2}+\sqrt{265} } =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{2x^{2}}{11+2\sqrt{265} } +\frac{2y^{2}}{29+2\sqrt{265} } =1
potremmo razionalizzare l’equazione ottenuta per eliminare la radice dal denominatore. Lasciamo a voi questo passaggio
Esercizio 2
Calcolare l’equazione dell’ellisse avente centro nell’origine degli assi e fuoco nel punto F(4,0). L’ellisse passa per il punto A(3,1)
Poiché l’ellisse ha centro nell’origine degli assi ed uno dei suoi fuochi è sull’asse delle ascissa, allora possiamo concludere che abbiamo a che fare con un’ellisse orizzontale di generica equazione:
\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1
Dalle coordinate del fuoco possiamo dunque determinare che:
c=|x_{F}| = |4| = 4 \\\,\\ F_{2} (-4,0) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
adesso possiamo calcolare il valore del coefficiente a calcolando la somma delle distanze del punto A da entrambi i fuochi:
\overline{AF_{1}} +\overline{AF_{2}} =2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{(x_{A}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{A}-y_{F_{1}})^{2}} +\sqrt{(x_{A}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{A}-y_{F_{2}})^{2}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{(3-4)^{2}+(1-0)^{2}} +\sqrt{(3-(-4))^{2}+(1-0)^{2}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{1+1} +\sqrt{49+1} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{2} +\sqrt{50} = 2a
da cui è possibile calcolare il valore del quadrato di a:
a^{2} = \frac{2+50+2\sqrt{100}}{4} = 13+\sqrt{25}
adesso impostiamo il sistema di equazioni:
\left\{\begin{matrix}
a^{2}=13+\sqrt{25}\\ \,\\
a^{2}=b^{2}+c^{2} \,\,\,
\end{matrix}\right.
adesso sostituiamo all’ultima equazione il quadrato di a ed il quadrato di b per conoscere il quadrato di b:
b^{2}= a^{2}-c^{2} = 13+\sqrt{25}-16 = \sqrt{25}-3
possiamo dunque scrivere l’equazione dell’ellisse:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\\,\\ \frac{x^{2}}{13+\sqrt{25}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{25}-3} = 1 \\\,\\ \frac{(13-\sqrt{25})x^{2}}{144}+\frac{(\sqrt{25}+3)y^{2}}{16} = 1
Esercizio 3
Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro in C(1,-2), uno dei fuochi F(-2,-2) e passante per A(-3,-5/2)
L’ellisse è di tipo orizzontale. Infatti il fuoco ed il centro sono allineati orizzontalmente avendo l’ordinata in comune. Il coefficiente c è dunque dato da:
c = |x_{F}-x_{C}| = |-2-1| = |-3| = 3
poiché xF < xC allora, l’ascissa del secondo fuoco sarà:
x_{F_{2}} = x_{C}+c = 1+3 = 4
dunque:
F_{2}(4,-2)
Adesso, calcoliamo il coefficiente a utilizzando la definizione di ellisse:
\overline{AF_{1}} +\overline{AF_{2}} =2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\sqrt{(-3+2)^{2}+\left(-\frac{5}{2}+2\right)^{2}} +\sqrt{(-3-4)^{2}+\left(-\frac{5}{2}+2\right)^{2}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{1+\frac{1}{4}} +\sqrt{49++\frac{1}{4}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \sqrt{\frac{5}{4}} +\sqrt{\frac{197}{4}} = 2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{197}}{4}
per cui:
a^{2} = \frac{5+197+2\sqrt{985}}{16} = \frac{111+\sqrt{985}}{8}
impostiamo il sistema:
\left\{\begin{matrix}
a^{2}=\frac{111+\sqrt{985}}{8}\\ \,\\
a^{2}=b^{2}+c^{2} \,\,\,
\end{matrix}\right.
per cui sostituendo i quadrati di a e di c nell’ultima equazione:
b^{2} = a^{2}-c^{2} = \frac{111+\sqrt{985}}{8}-9 =\frac{111-72+\sqrt{985}}{8} =\frac{39+\sqrt{985}}{8}
allora l’equazione della nostra ellisse diventa:
\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} = 1 \\\,\\\frac{8(x-1)^{2}}{111+\sqrt{985}}+\frac{8(y+2)^{2}}{39+\sqrt{985}} =1
lasciamo a voi la razionalizzazione
