Equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi. In particolare ricorderemo brevemente la definizione di eccentricità (potrai trovare un dettaglio maggiore qui) e l’equazione generale di un’ellisse (maggiori dettagli qui). La struttura di questo appunto è la seguente:

• Breve cenno sull’equazione dell’ellisse e sull’eccentricità
• Come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità
  • Caso in cui sono note eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi
  • Caso di ellisse traslata
• Esempi di esercizi

Per altri argomenti di geometria analitica ti rimandiamo al seguente link.

Breve cenno sull’equazione dell’ellisse e sull’eccentricità

Ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:

• Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati orizzontalmente
• Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati verticalmente

L’eccentricità e di un’ellisse è invece un parametro che consente di definire quanto l’ellisse è schiacciata ed è definita come il rapporto tra la semidistanza focale c ed il semiasse maggiore a:

e = \frac{c}{a}

Tale parametro è quello che ci consente di distinguere ad esempio le seguenti due ellissi:

Ricordiamo che l’eccentricità assume valori compresi tra 0 e 1. Nel caso di e=0, l’ellisse degenera in una circonferenza con i fuochi che coincidono con il suo centro:

mentre nel caso di e=1, essa degenera in un segmento avente come estremi i due fuochi dell’ellisse:

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo come è possibile calcolare l’equazione di un’ellisse conoscendo il valore della sua eccentricità.

Come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità

In questo paragrafo vediamo in che modo calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità. Poiché per individuare in maniera univoca un’ellisse occorre conoscere i due coefficienti a e b, abbiamo bisogno di due informazioni indipendenti per poter calcolare l’equazione dell’ellisse. L’eccentricità ci fornisce uno di questi dati in quanto direttamente legata al coefficiente a. C’è però una considerazione da fare. L’eccentricità è direttamente legata anche al coefficiente c, per cui introduciamo un terzo coefficiente che richiede un’ulteriore informazione indipendente che contenga c. Fortunatamente l’informazione esiste ed è generale per tutte le ellisse:

a^{2}= b^{2}+c^{2}

Dunque con l’eccentricità abbiamo tre coefficienti e due informazioni indipendente. Ne serve dunque un’altra che potrebbe essere:

• Il passaggio dell’ellisse da un punto
• Le coordinate del fuoco

Con la terza informazione dunque si potrà costruire un sistema di tre equazioni a tre incognite la cui risoluzione consentirà di conoscere i coefficienti a e b e dunque l’equazione dell’ellisse. Nel prossimo paragrafo vedremo il secondo di questi due casi. In un altro appunto abbiamo trattato il primo caso (link).

Caso in cui sono note eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi

Abbiamo detto che quando l’eccentricità di un’ellisse è nota, nel problema si introduce il terzo coefficiente c. Dunque per risolvere il problema servirebbe costruire un sistema di 3 equazioni indipendenti. In realtà quando sono note l’eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi, il problema si semplifica parecchio. Ricordiamo infatti che, nel caso di un’ellisse orizzontale e con centro situato nell’origine degli assi, i fuochi hanno coordinate:

F_{1} (-c,0) \\\,\\ F_{2}(c,0)

dunque, conoscere le coordinate di uno dei due fuochi significa automaticamente conoscere il coefficiente c. Tale informazione ci consente di ricavare il valore del coefficiente a direttamente dall’eccentricità e. Infatti:

e= \frac{c}{a} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ a=\frac{c}{e}

Per determinare b, basterà dunque utilizzare la seguente relazione, generale per qualsiasi ellisse:

a^{2}= b^{2}+c^{2}

dunque:

b^{2}= a^{2}-c^{2}

o in alternativa possiamo usare la relazione:

b^{2}= a^{2}(1-e^{2})

Ricapitoliamo i passaggi:

• Capire di che ellisse si tratta (se orizzontale o verticale). Le coordinate del fuoco possono essere un’indizio
• Dalle coordinate del fuoco, ricavare il coefficiente c
• Una volta noto il coefficiente c dell’ellisse, calcolare la lunghezza del semiasse maggiore a dall’eccentricità
• Calcolare la lunghezza del semiasse minore b utilizzando il teorema di Pitagora del triangolo in cui il semiasse maggiore a è l’ipotenusa e la semidistanza focale è uno dei cateti
• Una volta calcolati a e b, è possibile trascrivere l’equazione dell’ellisse

Vediamo nel prossimo paragrafo cosa accade quando l’ellisse è traslata

Caso di ellisse traslata

Quando abbiamo a che fare con un’ellisse traslata, dunque un’ellisse per la quale il centro non coincide con l’origine degli assi, i passaggi da eseguire sono praticamente gli stessi. L’unica considerazione da fare è che il valore del parametro c non è contenuto direttamente nelle coordinate dei fuochi. Nel caso di ellisse traslata, valgono tutte le considerazioni fatte nel paragrafo precedente. Si aggiunge però una complicazione, la comparsa delle coordinate del centro dell’ellisse nell’equazione. Ricordiamo, nel caso di un’ellisse orizzontale, l’equazione generica di un’ellisse traslata è del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 

mentre per un’ellisse verticale abbiamo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{b^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1 

Consideriamo il caso di un’ellisse orizzontale il cui centro non è nell’origine degli assi, ma è situato nel punto C(x_C, y_C) e supponiamo di conoscere uno dei due fuochi. Poiché l’ellisse è orizzontale, l’ordinata del fuoco F coinciderà con quella del centro. Dunque le coordinate del fuoco saranno F(x_F, y_C). La semidistanza focale c sarà dunque data dalla differenza delle ascisse del fuoco e del centro:

c= |x_{C}-x_{F}|

Può anche accadere che invece di conoscere le coordinate del centro, si conoscano le coordinate di entrambi i fuochi. Allora:

c = \frac{|x_{F_{1}}-x_{F_{2}}|}{2}

Nel caso in cui si ha a che fare con un’ellisse di tipo verticale, allora le formule per il calcolo della semidistanza focale diventano:

c= |y_{C}-y_{F}| \\\,\\ c=\frac{|y_{F_{1}}-y_{F_{2}}|}{2}

Dunque la differenza chiave nel caso di un’ellisse traslata sta nel fatto che occorre calcolare la semidistanza focale c dai dati del problema. Il resto del procedimento rimane uguale a quello visto nel paragrafo precedente.

Adesso vediamo alcuni esempi di esercizi in cui è richiesto di calcolare l’equazione di un’ellisse quando sono note l’eccentricità e le coordinate di uno dei due fuochi.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi, avente eccentricità 4/5 ed uno dei due fuochi di coordinate F(4,0)

Poiché il fuoco è posizionato sull’asse delle ordinate, abbiamo a che fare con un’ellisse di tipo orizzontalela cui equazione canonica è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Dalle coordinate del fuoco ricaviamo il valore di c che risulta essere pari a 4. Adesso sappiamo che l’eccentricità è 4/5:

e= \frac{c}{a}=\frac{4}{5}

possiamo ricavarci il valore di del semiasse maggiore a:

a= \frac{c}{e} = \frac{4}{\frac{4}{5}} = 5

il valore del semiasse minore b lo ricaviamo dal teorema di Pitagora:

b^{2}= a^{2}-c^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\ b= \sqrt{a^{2}-c^{2}} = \sqrt{25-26}=3

dunque l’equazione della nostra ellisse sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro nell’origine degli assi, avente eccentricità 3/7 e uno dei due fuochi di coordinate F(0,3)

Poiché il fuoco è posizionato sull’asse delle ordinate, possiamo affermare che abbiamo a che fare con un’ellisse di tipo verticale, la cui equazione canonica è del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

Dall’ordinata del fuoco ricaviamo il valore di c che sarà uguale a 3. Dall’eccentricità ricaviamo il valore del semiasse maggiore:

a=\frac{c}{e}= \frac{3}{\frac{3}{7}} =7

adesso calcoliamo il valore del quadrato del semiasse minore:

b^{2}= a^{2}-c^{2} = 49-9 =40

l’equazione della nostra ellisse sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{40}+\frac{y^{2}}{49}=1

Esercizio 3

Calcolare l’equazione dell’ellisse con centro in C(-2,4) , di eccentricità 1/2 e avente fuoco in F(-2,3)

Poiché fuoco e centro hanno in comune l’ascissa, abbiamo a che fare con un’ellisse di tipo verticale. Calcoliamoci il valore della semidistanza focale come differenza delle ordinate di fuoco e centro:

c= |y_{C} - y_{F}| = |4 - 3| =1

Possiamo dunque ricavarci il valore del semiasse maggiore a dall’eccentricità:

a=\frac{c}{e} = \frac{1}{\frac{1}{2}}=2

e il valore del quadrato del semiasse minore b

b^{2} = a^{2}-c^{2} = 4-1 = 3

l’equazione della nostra ellisse è dunque:

\frac{(x+2)^{2}}{3} +\frac{(y-4)^{2}}{4} =1