Equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità e le coordinate di un punto

Vediamo in questo appunto come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità e le coordinate di un punto. In particolare ricorderemo brevemente la definizione di eccentricità (potrai trovare un dettaglio maggiore qui) e l’equazione generale di un’ellisse (maggiori dettagli qui). La struttura di questo appunto è la seguente:

• Breve cenno sull’equazione dell’ellisse e sull’eccentricità
• Come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità
  • Caso in cui sono note eccentricità e le coordinate di un punto
  • Caso di ellisse traslata
• Esempi di esercizi

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Breve cenno sull’equazione dell’ellisse e sull’eccentricità

Ricordiamo che l’equazione canonica di una generica ellisse, con i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente, altro non è che un’equazione di secondo grado in x ed in y del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 \\\,\\\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

dove a è sempre maggiore di b. I due coefficienti a e b indicano la lunghezza dei semiassi maggiore e minore:

• Se a è posizionato al denominatore del termine in x, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati orizzontalmente
• Se a è posizionato al denominatore del termine in y, allora l’equazione rappresenta un’ellisse che ha i fuochi allineati verticalmente

L’eccentricità e di un’ellisse è invece un parametro che consente di definire quanto l’ellisse è schiacciata ed è definita come il rapporto tra la semidistanza focale c ed il semiasse maggiore a:

e = \frac{c}{a}

Tale parametro è quello che ci consente di distinguere ad esempio le seguenti due ellissi:

Ricordiamo che l’eccentricità assume valori compresi tra 0 e 1. Nel caso di e=0, l’ellisse degenera in una circonferenza con i fuochi che coincidono con il suo centro:

mentre nel caso di e=1, essa degenera in un segmento avente come estremi i due fuochi dell’ellisse:

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo come è possibile calcolare l’equazione di un’ellisse conoscendo il valore della sua eccentricità.

Come calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità

In questo paragrafo vediamo in che modo calcolare l’equazione di un’ellisse nota la sua eccentricità. Poiché per individuare in maniera univoca un’ellisse occorre conoscere i due coefficienti a e b, abbiamo bisogno di due informazioni indipendenti per poter calcolare l’equazione dell’ellisse. L’eccentricità ci fornisce uno di questi dati in quanto direttamente legata al coefficiente a. C’è però una considerazione da fare. L’eccentricità è direttamente legata anche al coefficiente c, per cui introduciamo un terzo coefficiente che richiede un’ulteriore informazione che contenga c. Fortunatamente l’informazione esiste ed è generale per tutte le ellisse:

a^{2}= b^{2}+c^{2}

Dunque con l’eccentricità abbiamo tre coefficienti e due informazioni indipendente. Ne serve dunque un’altra che potrebbe essere:

• Il passaggio dell’ellisse da un punto
• Le coordinate del fuoco

Con la terza informazione dunque si potrà costruire un sistema di tre equazioni a tre incognite la cui risoluzione consentirà di conoscere i coefficienti a e b e dunque l’equazione dell’ellisse. Nel prossimo paragrafo vedremo il primo di questi due casi. In un altro appunto vedremo il secondo caso.

Caso in cui sono note eccentricità e le coordinate di un punto

Vediamo dunque quali sono le tre relazioni da considerare nel caso in cui sono note l’eccentricità e le coordinate di un punto ,che chiameremo A, che ci consentono di costruire il sistema di equazioni risolutivo, che per un’ellisse orizzontale diventa:

\left\{\begin{matrix}
e= \frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \,\, \,\,\,\,\,\,\\a^{2} = b^{2}+c^{2} \\\,\,\, \\
\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{A}^{2}}{b^{2}} =1
\end{matrix}\right.

facciamo una precisazione. Nella risoluzione degli esercizi al posto di e ci sarà il valore fornito dagli esercizi. La prima equazione è la relazione dell’eccentricità, la seconda è quella generica di qualsiasi ellisse che mette in relazione i semiassi con la semidistanza focale, mentre la terza altro non è che la relazione che impone il passaggio dell’ellisse dal punto A. Ne risulta dalla prima equazione che:

c= ea

e che potremmo sostituire tale relazione nella seconda equazione del nostro sistema:

a^{2} = b^{2}+c^{2} = b^{2}+e^{2}a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ b^{2} = a^{2}(1-e^{2})

Abbiamo dunque trovato una formula generale che lega il semiasse minore al semiasse maggiore mediante l’eccentricità. Ne risulta che per risolvere un esercizio di questo tipo, per un’ellisse orizzontale, basta risolvere l’equazione:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}=1

per un’ellisse di tipo verticale, l’equazione diventa:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}+\frac{y_{A}^{2}}{a^{2}}=1

Dunque ricapitolando gli step per risolvere questo tipo di esercizi sono:

1. Capire con che tipo di ellisse abbiamo a che fare, se orizzontale o verticale. Da ciò dipenderà la posizione del coefficiente relativo al semiasse maggiore
2. Una volta identificato il tipo di ellisse si può o impostare il sistema a tre equazioni, oppure applicare direttamente le formule che da esso derivano

Ricorda: per un generico punto A passano le ellissi avente eccentricità di qualsiasi valore. Dunque, è sempre possibile determinare in maniera univoca l’equazione di un’ellisse data la sua eccentricità ed il passaggio per un punto

Caso di ellisse traslata

Nel caso di ellisse traslata, valgono tutte le considerazioni fatte nel paragrafo precedente. Si aggiunge però una complicazione, la comparsa delle coordinate del centro dell’ellisse nell’equazione. Ricordiamo, nel caso di un’ellisse orizzontale, l’equazione generica di un’ellisse traslata è del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 

dunque le coordinate del centro devono essere note per identificare in maniera univoca l’equazione dell’ellisse. Immaginiamo di imporre lo stesso sistema di equazioni visto nel paragrafo precedente, l’equazione risultante dal sistema sarebbe, per un’ellisse orizzontale, del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}(1-e^{2})} =1 

mentre per un’ellisse verticale otterremo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}(1-e^{2})} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}} =1 

Vediamo adesso nel prossimo paragrafo alcuni esempi di esercizi in cui di un’ellisse sono note l’eccentricità e le coordinate di un punto.

Esempi di esercizi

Esercizio 1

Calcolare l’equazione dell’ellisse passante con centro nell’origine degli assi e fuochi posizionati sull’asse delle ordinate, passante per il punto A(3; 12/5) e avente eccentricità e=4/5

Abbiamo a che fare con un’ellisse orizzontale la cui equazione canonica è del tipo:

\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1

Imponendo il passaggio per il punto A ed applicando l’equazione risultante dal sistema di equazioni visto nei paragrafi precedenti, possiamo scrivere:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}=1

sostituendo le coordinate di A ed il valore dell’eccentricità abbiamo:

\frac{3^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}{a^{2}(1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2})}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{\frac{144}{25}}{a^{2}(1-\left(\frac{16}{25}\right))}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{144}{25a^{2}\left(\frac{9}{25}\right)}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{9}{a^{2}}+\frac{16}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{25}{a^{2}}=1

ne risulta dunque che:

a^{2}=25

adesso possiamo calcolarci il valore di b²:

b^{2} = a^{2}(1-e^{2}) = 25 \left(1-\frac{16}{25}\right) = 25\left(\frac{9}{25}\right) = 9

dunque, l’equazione della nostra ellisse sarà:

\frac{x^{2}}{25} +\frac{y^{2}}{9} =1

Esercizio 2

Calcolare l’equazione dell’ellisse verticale con centro nell’origine degli assi di eccentricità e=12/13 e passante per il punto:

A\left(1, \frac{26\sqrt{6}}{5}\right) 

Poiché abbiamo a che fare con un’ellisse di tipo verticale, l’equazione canonica da considerare è del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

Imponendo il passaggio per il A ed applicando l’equazione risultante dal sistema di equazioni visto nei paragrafi precedenti, possiamo scrivere:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}+\frac{y_{A}^{2}}{a^{2}}=1

sostituendo le coordinate di A ed il valore dell’eccentricità abbiamo:

\frac{1^{2}}{a^{2}(1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2})}+\frac{\left(\frac{26\sqrt{6}}{5}\right)^{2}}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{1}{a^{2}(1-\frac{144}{169})}+\frac{\frac{4056}{25}}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{169}{25a^{2}}+\frac{4056}{25a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{4225}{25a^{2}}=1  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{169}{a^{2}}=1

per cui si ricava:

a^{2}=169

ricaviamo adesso il valore di b²:

b^{2} = a^{2}(1-e^{2}) = 169\left(1-\frac{144}{169}\right) = 169\left(\frac{169-144}{169}\right)=169\left(\frac{25}{169}\right) = 25

per cui l’equazione della nostra ellisse sarà:

\frac{x^{2}}{25} +\frac{y^{2}}{169} =1

Esercizio 3

Calcolare l’equazione dell’ellisse verticale, con centro nell’origine degli assi e passante per il punto A(0,4) ed avente eccentricità:

e = \frac{\sqrt{3}}{2}

Poiché l’ellisse è verticale, la sua equazione canonica sarà del tipo:

\frac{x^{2}}{b^{2}} +\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

Imponendo il passaggio per il A ed applicando l’equazione risultante dal sistema di equazioni visto nei paragrafi precedenti, possiamo scrivere:

\frac{x_{A}^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}+\frac{y_{A}^{2}}{a^{2}}=1

sostituiamo ad essa le coordinate del punto A ed il calore dell’eccentricità:

\frac{0^{2}}{a^{2}(1-e^{2})}+\frac{4^{2}}{a^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\,\\ \frac{4^{2}}{a^{2}}=1

da cui:

a^{2}=16

Nota: avremmo potuto ottenere questa informazione considerando che A è un vertice dell’ellisse e che le sue coordinate sono proprio (0,A).

Adesso possiamo calcolarci il valore di b²:

b^{2}= a^{2}(1-e^{2}) = 16\left[1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right] = 16\left(1-\frac{3}{4}\right)= 4

l’equazione della nostra ellisse sarà dunque:

\frac{x^{2}}{4} +\frac{y^{2}}{16} =1

Esercizio 4

Calcolare l’equazione dell’ellisse orizzontale con centro in C(2,3), passante per il punto A(4,5) ed avente eccentricità e=4/5

Poiché l’ellisse non è centrata nell’origine, la sua equazione sarà del tipo:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{b^{2}} =1 

poiché è nota l’eccentricità, possiamo riscriverla nella forma:

\frac{(x-x_{C})^{2}}{a^{2}} +\frac{(y-y_{C})^{2}}{a^{2}(1-e^{2})} =1 

sostituiamo ad essa i dati del problema:

\frac{(4-2)^{2}}{a^{2}} +\frac{(5-3)^{2}}{a^{2}(1-\frac{16}{25})} =1  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{4}{a^{2}} +\frac{4}{a^{2}(\frac{9}{25})} =1  \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{4}{a^{2}} +\frac{100}{9a^{2}} =1 \\\,\\\frac{136}{9a^{2}} =1 

da cui:

a^{2}= \frac{136}{9}

possiamo adesso calcolarci il valore di b²:

b^{2} = a^{2}(1-e^{2}) = \frac{136}{9} \left(1-\frac{16}{25}\right) =  \frac{136}{9} \left(\frac{9}{25}\right) = \frac{136}{25}

l’equazione della nostra ellisse diventa dunque:

\frac{9(x-2)^{2}}{136} +\frac{25(y-3)^{2}}{136} =1