L’equazione di una retta consente di descrivere in modo univoco una retta all’interno del piano cartesiano. In generale una retta è descritta da un’equazione lineare del tipo:

equazione di una retta: forma implicita

questa viene detta forma implicita di una retta ed è caratterizzata da 3 coefficienti (a, b e c) e da due variabili (x e y). Affinché un punto possa essere considerato appartenente a tale retta, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione quando sostituite alle variabili x e y. Essa può essere scritta anche nella sua forma esplicita:

forma esplicita

Quale relazione esiste tra le due forme? Proviamo a confrontare le due equazioni ed eseguendo semplici passaggi algebrici. Isoliamo la variabile y ottenendo prima:

e di conseguenza:

confrontando con la forma esplicita segue allora che

coefficiente angolare

e

intercetta

Queste ultime due espressioni consentono di passare dalla forma implicita a quella esplicita molto velocemente. I due coefficienti, m e q sono rispettivamente detti coefficiente angolare m e intercettaq.

Le due forme quindi:

nella forma implicita e

nella forma esplicita, identificano la medesima retta nel piano cartesiano:

equazione di una retta: forma implicita ed esplicita

E’ importante segnalare come l’equazione implicita di una retta consenta di rappresentare tutte le possibili rette del piano cartesiano. Questo non è vero per la forma esplicita in y. Infatti, nel caso in cui il coefficiente b dell’equazione esplicita fosse uguale a 0 avremmo la forma ax+c=0. Tale forma rappresenta una qualsiasi retta parallela rispetto all’asse delle y. Queste rette non sono rappresentabili nella forma esplicita in quanto m=-a/b. Ricordiamo, infatti, che in una frazione il denominatore non può essere mai nullo. In questo caso si può esplicitare l’equazione della retta in x, ottenendo l’equazione x=-c/a.

equazione di una retta prallela all'asse delle y

Diversamente dal caso appena proposto, in forma esplicita è possibile rappresentare tutte le rette parallele rispetto all’asse delle x. In questo caso infatti a=0 e l’equazione implicita diventa by+c=0 e y=-c/b.

equazione di una retta parallela all'asse delle x

o i alternativa, in forma esplicita, tale retta sarebbe del tipo y=q.

 

Equazione di una retta: forma implicita e forma esplicita.