In questo appunto vedremo la dimostrazione dell’equazione di una parabola i un piano cartesiano con asse parallelo all’asse delle y . In particolare vedremo:
- Definizione di parabola come luogo geometrico di punti
- Dimostrazione dell’equazione di una parabola
- Coordinate del fuoco, del vertice ed equazione della direttrice in funzione dei parametri a,b e c
Definizione di parabola come luogo geometrico di punti
Per definizione la parabola è il luogo geometrico di punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice della parabola. Nel piano cartesiano le parabole sono in genere rappresentate con il proprio asse parallelo all’asse delle x o all’asse dell y. In generale però, la parabola può avere come asse qualsiasi retta del piano cartesiano. In questo appunto considereremo il caso di una parabola con asse parallelo all’asse delle y. Cerchiamo dunque di interpretare la definizione di parabola come luogo geometrico di punti:
Nella figura sopra, F è il fuoco della parabola, P un generico punto della parabola ed H è la proiezione del generico punto P della parabola rispetto alla retta direttrice di equazione y=k. Per interpretare la definizione della parabola come luogo geometrico di punti data sopra, allora deve accadere che:
questa è la relazione che useremo nel prossimo paragrafo per dimostrare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y e che vale per qualsiasi punto P della parabola.
Dimostrazione dell’equazione di una parabola
Partendo dalla relazione sopra individuata, dimostriamo la forma:
per l’equazione di una parabola. Per farlo, dobbiamo calcolare la lunghezza dei segmenti PF e PH e utilizzare la relazione di uguaglianza sopra mostrata. Possiamo calcolare il segmento PF utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra due punti. Poichè P rappresenta qualsiasi punto della parabola, indicheremo le sue coordinate con le generiche variabili x e y. Otteniamo dunque:
Per il segmento PH, dovremmo utilizzare la formula del calcolo della distanza di un punto da una retta. Poiché la direttrice è parallela all’asse delle x ed ha equazione y=k, possiamo assumere che il punto H avrà la stessa ascissa del punto P e avrà un’ ordinata pari a k. La distanza PH sarà pari a :
uguagliando le due formule di PF e PH otteniamo:
eleviamo entrambi i membri dell’equazione al quadrato. Ricordiamo che il quadrato di un modulo è uguale al quadrato del suo argomento. Per cui:
da cui, sviluppando i quadrati:
il termine y quadro si annulla. A questo punto raccogliamo il fattore y:
con
ovvero il fuoco non deve giacere sulla direttrice. L’ultima equazione ottenuta è proprio una forma del tipo:
dove:
abbiamo quindi dimostrato l’equazione della parabola. Nel prossimo paragrafo faremo un processo inverso. In modo del tutto analogo è possibile dimostrare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle x. Dalle relazioni ottenute ricaveremo le coordinate del vertice e della direttrice in funzione dei parametri a, b e c
Coordinate del fuoco, del vertice ed equazione della direttrice in funzione dei parametri a,b e c
Partiamo dalle relazioni di a,b e c viste nell’ultima parte del paragrafo precedente. Dalle 3 equazioni vogliamo ricavare xF, yF e k che adesso diventano le nostre incognite. Per farlo mettiamo a sistema le 3 equazioni:
utilizziamo le prime due equazioni per ottenere le coordinate del fuoco in funzione di a,b e c:
dove a deve essere diverso da zero per poter apparire al denominatore. Ma questo non è un problema in quanto se a fosse zero non avremmo una parabola. In questo primo passaggio abbiamo ottenuto il valore dell’ascissa del fuoco. Continuiamo con le sostituzioni:
dall’ultima equazione risolviamo per k e otteniamo:
adesso ponendo:
otteniamo:
dove il delta è proprio lo stesso utilizzato nella risoluzione delle equazioni e disequazioni di secondo grado. Abbiamo visto quindi come ricavare le informazioni del fuoco e della direttrice, direttamente dai parametri dell’equazione di una parabola. Si possono anche ricavare per via logica le coordinate del vertice di una parabola. Esso ha la stessa ascissa del fuoco e la sua ordinata è equidistante dalla retta e dal fuoco:
