In questo appunto vediamo che forma ha l’equazione di un’iperbole traslata avente i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente. Per comprendere al meglio il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire l’equazione per i casi di un’iperbole avente il centro coincidente con l’origine degli assi al seguente link. In questo appunto vedremo in particolare:

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Breve accenno sull’equazione di un’iperbole con centro coincidente con l’origine degli assi

Ricordiamo che la definizione di iperbole come luogo geometrico di punti ci dice che:

L’iperbole è il luogo geometrico di punti del piano per i quali è costante il modulo della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi

Dunque, identificando con la notazione P(x,y) un generico punto appartenente all’iperbole e F1 ed Fi suoi due fuochi, deve valere la relazione:

|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = 2a

in generale i due fuochi possono essere posizionati in qualunque modo sul piano cartesiano ma per avere a che fare con equazioni più semplici da gestire ci si pone in una situazione di comodo con i fuochi posizionati su uno degli assi cartesiani ed equidistanti rispetto all’origine degli assi. Abbiamo dunque i seguenti due casi:

  • iperbole con i fuochi sull’asse delle ascisse e centro nell’origine degli assi. L’equazione tipo per tale iperbole è:
\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}

dove a e b sono delle costanti dell’iperbole e legate ai suoi semiassi. ll grafico di una tale iperbole è del tipo:

iperbole con i fuochi allineati orizzontalmente
  • iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e centro nell’origine degli assi. L’equazione è molto simile alla precedente ed è del tipo:
\mathbf{\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1}

In questo caso il grafico dell’equazione è del tipo:

iperbole con fuochi allineati verticalmente

in entrambi i casi l’iperbole gode di alcune proprietà di simmetria quali:

  • assiale rispetto all’asse delle y
  • assiale rispetto all’asse delle x
  • centrale rispetto all’origine degli assi

Vediamo nel prossimo paragrafo quale forma assume un’iperbole traslata avente comunque i fuochi allineati orizzontalmente o verticalmente.

Equazione di un’iperbole traslata

Le equazioni delle iperbole viste nei due precedenti paragrafi si basano sull’assunzione che il centro dell’iperbole sia posizionato nell’origine degli assi. Abbiamo infatti visto che i due casi di iperbole visti in precedenza sono simmetrici rispetto all’origine degli assi. Ma cosa succede se il centro dell’iperbole, e quindi il centro di simmetria dell’iperbole, non sia coincidente con l’origine degli assi? Immaginiamo che il centro sia posizionato nel punto C(p,q):

iperbole traslata

l’equazione dell’iperbole traslata si otterrà da quella dell’iperbole con centro nell’origine degli assi applicando la seguente trasformazione di traslazione di vettore [p,q]:

\left\{\begin{matrix} x'=x+p  \rightarrow x=x'-p\\ \,\\y'=y+q \rightarrow y=y'-q \end{matrix}\right.

L’equazione di un’iperbole con fuochi allineati orizzontalmente e con centro in C(p,q) sarà dunque del tipo:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

Nel caso invece di un’iperbole con i fuochi allineati verticalmente e con centro in C(p,q), l’equazione sarà de tipo:

\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1

Vediamo nei prossimi paragrafi quali sono le caratteristiche di tale iperbole.

Simmetrie di un’iperbole traslata

Come nei due casi visti nel primo paragrafo, anche l’ellisse traslata gode di alcune proprietà di simmetria. A seguito della traslazione anche gli assi ed il centro risultano traslati. L’ellisse traslata godrà dunque delle seguenti simmetrie:

  • assiale rispetto alla retta di equazione x=q
  • assiale rispetto alla retta di equazione y=p
  • centrale rispetto al puntp C(p,q) detto centro dell’iperbole

Queste simmetrie valgono sia che l’iperbole traslata abbia i fuochi allineati orizzontalmente, sia che abbia i fuochi allineati verticalmente.

Dominio di un’iperbole traslata

Consideriamo il caso di un’iperbole traslata con i fuochi allineati orizzontalmente:

\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1

esplicitiamo l’equazione rispetto alla variabile y:

y= \pm b^{2} \sqrt{\frac{(x-p)^{2}-a^{2}}{a^{2}}}+q

tale equazione ha senso solo se il numerato dell’argomento della radice è positivo. Dunque dobbiamo porre:

(x-p)^{2}-a^{2} \geq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ (x-p)^{2} \geq a^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x-p \leq -a \vee x-p \geq a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ x \leq-a+p \vee x \geq a+p

dunque il dominio dell’iperbole traslata è dato da:

 x \leq-a+p \vee x \geq a+p

Allo stesso modo esplicitando l’equazione per la variabile x si può dimostrare che il codominio, e dunque l’insieme dei valori di y per i quali esiste un punto appartenente all’iperbole è:

y \, \epsilon R

Per un’iperbole traslata con i fuochi allineati verticalmente si può dimostrare che il dominio è:

x \, \epsilon R

mentre il codominio è:

y \leq-a+q \vee y \geq a+q
Esempi di esercizi

Esempio 1

Scrivi l’equazione traslata di vettore v[3,-2] della seguente iperbole:

x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1

applichiamo dunque la trasformazione di traslazione:

\left\{\begin{matrix} x'=x+p  \rightarrow x=x'-p\\ \,\\y'=y+q \rightarrow y=y'-q \end{matrix}\right.

dunque, l’iperbole diventa:

(x-3)^{2}-\frac{(y+2)^{2}}{2}=1

Esempio 2

Definire il centro di simmetria della seguente iperbole:

\frac{(y-4)^{2}}{3}-\frac{x^{2}-6x+9}{2}=1

riscriviamo l’equazione dell’iperbole nella forma:

\frac{(y-q)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-p)^{2}}{b^{2}}=1

otteniamo:

\frac{(y-4)^{2}}{3}-\frac{(x-3)^{2}}{2}=1

il centro di simmetria è C(3,4)

Equazione dell’iperbole traslata