Vediamo brevemente in questo appunto qual è l’equazione di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate e con centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi. Si tratta di un argomento che abbiamo già trattato quando abbiamo parlato dell’equazione di un’iperbole ma che qui vedremo nello specifico. In particolare vedremo:
- Breve introduzione all’equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse
- Equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate
- Simmetrie:
- Dominio e Codominio
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Breve introduzione all’equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse
Partiamo riportando il caso che generalmente viene insegnato per primo e con il quale uno studente ha generalmente maggiore familiarità: l’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse e con centro coincidente con l’origine degli assi. L’equazione generica di questo tipo di iperbole è del tipo:
\mathbf{\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1}
La dimostrazione di questa equazione è facilmente ottenibile applicando la definizione di iperbole come luogo geometrico di punti:
L’iperbole è il luogo geometrico di punti del piano per i quali è costante il modulo della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi
Dunque, identificando con la notazione P(x,y) un generico punto appartenente all’iperbole e F1 ed F2 i suoi due fuochi, deve valere la relazione:
|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = 2a
dove 2a è una costante positiva. Se indichiamo le coordinate dei fuochi nel seguente modo:
F_{1}(-c,0); \,\,\, F_{2}(c,0)
possiamo esprimere le distanze del punto P dai fuochi utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra due punti:
|\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}}-\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}|=2a
svolgendo questa equazione sarà possibile ricavare l’equazione dell’ellisse. Non svolgeremo qui i calcoli, ma lo abbiamo già fatto al seguente appunto. Ricordiamo infine il grafico di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse e con il centro coincidente con l’origine degli assi:
Ricordiamo infine le proprietà di simmetria di tale tipo di ellisse:
- assiale rispetto all’asse delle ascisse
- assiale rispetto all’asse delle ordinate
- centrale rispetto all’origine degli assi
Anche in questo caso potrai trovare la verifica di tali simmetria all’appunto precedentemente menzionato.
Equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate
Passiamo adesso all’equazione di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ordinate e con il centro di simmetria coincidente con l’origine degli assi. Potremmo dimostrare l’equazione di tale iperbole considerando ancora la definizione di iperbole come luogo geometrico di punti:
|\overline{PF_{1}}-\overline{PF_{2}}| = 2a
ma considerando adesso i fuochi aventi coordinate del tipo:
F_{1}(0,-c); \,\,\, F_{2}(0,c)
Applicando la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano otteniamo:
|\sqrt{(x_{P}-x_{F_{1}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{1}})^{2}}-\sqrt{(x_{P}-x_{F_{2}})^{2}+(y_{P}-y_{F_{2}})^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{(x+0)^{2}+(y+c)^{2}}-\sqrt{(x-0)^{2}+(y-c)^{2}}|=2a \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ |\sqrt{x^{2}+(y+c)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y-c)^{2}}|=2a
eleviamo entrambi i membri al quadrato in modo tale da poter eliminare il modulo dall’equazione:
x^{2}+(y+c)^{2}+x^{2}+(y-c)^{2}-2\sqrt{[x^{2}+(y+c)^{2}][x^{2}+(y-c)^{2}]}=4a^{2} \\\,\\\Rightarrow \\\,\\ x^{2}+y^{2}+c^{2}+2cy+x^{2}+y^{2}+c^{2}-2cy-4a^{2} =2\sqrt{[x^{2}+y^{2}+c^{2}+2cy][x^{2}+y^{2}+c^{2}-2cy]}\\\,\\ \Rightarrow \\\,\\2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}= 2\sqrt{[x^{2}+y^{2}+c^{2}+2cy][x^{2}+y^{2}+c^{2}-2cy]} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\x^{2}+y^{2}+c^{2}-2a^{2}= \sqrt{[x^{2}+y^{2}+c^{2}+2cy][x^{2}+y^{2}+c^{2}-2cy]}
adesso per eliminare la radice dovremmo elevare tutto al quadrato. Per semplificare i calcoli chiamiamo:
d= x^{2}+y^{2}+c^{2} \\\,\\ e= 2cy
dunque la nostra equazione diventa:
d-2a^{2} =\sqrt{(d+e)(d-e)} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ d-2a^{2} =\sqrt{d^{2}-e^{2}}
eleviamo entrambi i membri al quadrato:
d^{2}+4a^{4}-2a^{2}d=d^{2}-e^{2} \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ 4a^{4}-2a^{2}d+e^{2}=0
sostituiamo a d e ad e i valori iniziali:
4a^{4}-2a^{2}x^{2}-2a^{2}y^{2}-2a^{2}c^{2}+2c^{2}y^{2}=0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}x^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})
imponiamo:
b^{2}=c^{2}-a^{2}
e otteniamo:
\mathbf{b^{2}y^{2}-a^{2}x^{2}=a^{2}b^{2}}
che è la prima forma con la quale può essere espressa l’equazione di un’ellisse. Dividendo entrambi i membri per a2b2 otteniamo:
\mathbf{\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1}
che è l’equazione di un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate!
Si noti la forte somiglianza tra l’equazione del primo paragrafo e la seguente. Si può notare che è possibile ottenere la seconda dalla prima eseguendo la trasformazione:
\left\{\begin{matrix} x \rightarrow y\\ \,\\y \rightarrow x \end{matrix}\right.
o con la trasformazione:
\left\{\begin{matrix} x \rightarrow-y\\ \,\\y \rightarrow -x \end{matrix}\right.
che altro non sono che rispettivamente le trasformazioni associate alle simmetrie rispetto alle bisettrici del primo e terzo quadrante e del secondo e quarto quadrante:
Dimostriamo adesso che anche in questo caso le simmetrie sono verificate.
Simmetria assiale rispetto all’asse delle x
Proviamo a verificare se esiste una simmetria rispetto all’asse delle ascisse per l’equazione dimostrata nel paragrafo precedente. Ricordiamo che una curva è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse se a ciascun punto P(x,y) appartenente alla curva ne esiste un altro di coordinate P(x,-y) anch’esso appartenente alla curva. Sostituiamo dunque le coordinate di questo secondo punto all’equazione dell’iperbole:
\frac{(-y)^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
abbiamo ottenuto l’equazione dell’iperbole iniziale. Abbiamo così provato che l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse delle ascisse.
Simmetria assiale rispetto all’asse delle y
Eseguiamo adesso la stessa verifica rispetto all’asse delle ordinate. Ricordiamo che la simmetria rispetto all’asse delle ordinate accade se ad ogni punto P(x,y) corrisponde un punto P(-x,y). Eseguiamo quindi la sostituzione:
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{(-x)^{2}}{b^{2}}=1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1
Abbiamo ottenuto l’equazione dell’iperbole iniziale. Abbiamo così provato che l’iperbole è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.
Simmetria centrale rispetto all’origine degli assi
Abbiamo visto che quando l’iperbole con centro nell’origine degli assi e fuochi allineati orizzontalmente, essa è simmetrica rispetto ad entrambi gli asse cartesiani. Quando una curva è simmetrica rispetto ad entrambi gli assi cartesiani questa è simmetrica anche rispetto all’origine degli assi! Dunque deve accadere che ad ogni punto P(x,y) corrisponda un punto P(-x,-y). Lasciamo a te la verifica di questa simmetria sull’equazione dell’ellisse.
Dominio e codominio di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate
Un’altra caratteristica importante, che può essere desunta dall’equazione dell’iperbole è relativa al suo dominio e codominio. In modo piuttosto semplice possiamo dire che il dominio rappresenta l’insieme dei valori della variabile x, e quindi delle ascisse, per i quali esistono dei punti dell’iperbole con quei valori di ascisse. Il codominio, rappresenta invece l’insieme delle ordinate per i quali esistono dei punti dell’iperbole con quei valori di ordinate.
Per individuare il dominio dell’iperbole, esplicitiamo l’equazione in funzione della variabile y:
y= \pm a^{2} \sqrt{\frac{x^{2}+b^{2}}{b^{2}}}
poiché i termini nella radice sono tutti positivi, possiamo dire che nel caso di un’iperbole con i fuochi posizionati sull’asse delle ascisse, il dominio è l’intero insieme dei numeri reali:
x \, \epsilon R
per conoscere il codominio, esplicitiamo l’equazione in funzione della variabile x. Otteniamo:
x= \pm b^{2}\sqrt{\frac{y^{2}-a^{2}}{a^{2}}}
ma in questo caso la radice restituisce un valore nell’insieme dei numeri reali se e solo se il numeratore del suo argomento è positivo o uguale a zero. Dunque dobbiamo porre:
y^{2}-a^{2} \geq 0 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ y \leq -a \vee y \geq a
vediamo quanto detto graficamente:
come si evince dalla figura, per le ordinate comprese tra i due valori dei vertici e indicate con una striscia rossa, non esiste alcun punto dell’iperbole corrispondente.
