Vediamo in questo appunto come varia l’equazione dell’ellisse quando i fuochi sono disposti sull’asse delle ordinate. Abbiamo già trattato questo argomento al seguente link dove l’equazione dell’ellisse è stata declinata per le possibili disposizioni dei fuochi quando allineati orizzontalmente e verticalmente.

Ripetiamo brevemente quanto già trattato

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Equazione dell’ellisse con i fuochi disposti sull’asse delle ascisse e con centro nell’origine degli assi

Quando i fuochi sono allineati orizzontalmente, con i fuochi disposti sull’asse delle ascisse e con il centro che coincide con l’origine degli assi, l’equazione dell’ellisse è data da:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

con i due coefficienti a e b relazionati tra loro secondo la disuguaglianza:

a > b

il grafico dell’ellisse sarà dunque del tipo:

ellisse con i fuochi sull'asse delle ascisse

vediamo adesso cosa succede all’equazione dell’ellisse quando i fuochi sono disposti verticalmente, sull’asse delle ordinate e con il centro che coincide con l’origine degli assi.

Equazione dell’ellisse con i fuochi disposti sull’asse delle ordinate e con centro nell’origine degli assi

L’equazione dell’ellisse per questo caso può essere ottenuta o applicando la definizione dell’ellisse come luogo geometrico oppure applicando una trasformazione geometrica di simmetria assiale rispetto alla retta y=x. Applichiamo questo secondo metodo in quanto tale simmetria esegue due trasformazioni interessanti:

  • L’origine degli assi è trasformato in se stesso. Dunque, la nuova ellisse avrà ancora il centro nell’origine degli assi
  • Ad un qualsiasi punto sull’asse delle ascisse (i vertici dell’ellisse) corrisponde un punto sull’asse delle ordinate invertendo le coordinate:
P(p,0) \Rightarrow P'(0,p)

Ciò significa che la nuova ellisse avrà i suoi fuochi sull’asse delle ordinate. La trasformazione ci restituisce dunque la seguente situazione:

ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate: simmetria assiale

è possibile dunque ottenere l’equazione generica dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate partendo dall’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse ed operando la seguente trasformazione:

\left\{\begin{matrix}
x'=y\\ y'=x 

\end{matrix}\right. 

per cui l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate diventa:

\mathbf{\frac{x'^{2}}{b^{2}}+\frac{y'^{2}}{a^{2}}=1} \Rightarrow \mathbf{\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1}

L’equazione rimane sostanzialmente invariata così come tutte le sue proprietà. Una nota importante è la seguente. Poiché l’equazione rimane sostanzialmente invariata se i fuochi sono sull’asse delle ascisse o sull’asse delle ordinate, come è possibile riconoscere da un’equazione con valori numerici la posizione dei fuochi? Bene, se il termine al denominatore sotto la x è maggiore del termine al denominatore sotto la y, allora avremo a che fare con una ellisse con fuochi sull’asse delle ascisse. In caso contrario i fuochi saranno sull’asse delle ordinate.

Per cui l’ellisse continua a godere delle seguenti simmetrie:

  • assiale rispetto all’asse delle x. Si può dimostrare tale simmetria andando a sostituire nell’equazione y con -y e verificando che l’equazione non cambi:
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{a^{2}} =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} =1
  • assiale rispetto all’asse delle y. Si può dimostrare tale simmetria andando a sostituire nell’equazione x con -z e verificando che l’equazione non cambi: 
\frac{(-x)^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} =1 \\\,\\ \Rightarrow \\\,\\ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} =1
  • centrale rispetto all’origine. Si può dimostrare tale simmetria andando a sostituire x con -x e y con-y e verificando che l’equazione non cambi:
\frac{(-x)^{2}}{b^{2}}+\frac{(-y)^{2}}{a^{2}} =1 \\\,\\ \Rightarrow  \\\,\\ \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} =1

 

Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle ordinate e centro nell’origine degli assi
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