In questo appunto vediamo in che modo è possibile esprimere l’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice. In particolare vedremo:

Formula dell’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice

La generica funzione della parabola:

y=ax^{2} + bx+c

può essere espressa in funzione delle coordinate del vertice nella forma:

y-y_{V} = a(x-x_{V})^{2}

Se la parabola ha l’asse di simmetria parallelo all’asse delle x allora l’equazione assumerà la forma:

x-x_{V} = a (y-y_{V})^{2}

questa forma di scrivere l’equazione della parabola è molto comoda nella risoluzione degli esercizi in cui sono note le coordinate del vertice e di un altro elemento quale un punto appartenente alla parabola oppure il fuoco o la direttrice. Questa forma ha il vantaggio di dipendere da un unico coefficiente (il coefficiente a) e consente di esprimere i coefficienti b e c in funzione di a. Sviluppando infatti il quadrato al secondo membro otteniamo:

y= ax^{2} -2ax_{V}x+ax_{V}^{2} +y_{V}

da cui per confronto con la generica equazione di una parabola otteniamo:

b= -2ax_{V} \\\\ c= ax^{2}_{V}+y_{V}

Conoscendo dunque a e le coordinate del vertice, possiamo ricavare l’intera equazione della parabola. Vediamo nel prossimo paragrafo la dimostrazione dell’equazione della parabola nella forma dipendente dalle coordinate del vertice.

Dimostrazione

Vediamo in questo paragrafo come si ricava passo passo la forma dell’equazione della parabola dipendente dalle coordinate del vertice. Partiamo dalla formula generica:

y=ax^{2} + bx +c

portiamo il termine noto al primo membro

y-c = ax^{2}+bx

Raccogliamo il coefficiente a al secondo membro

y-c = a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)

Aggiungiamo e sottraiamo all’interno della parentesi il termine b2/4a2 :

y-c = a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x +\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right )

Riorganizziamo facendo in modo che in parentesi rimanga solo il quadrato di un binomio:

y-c = a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x +\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right ) - \frac{b^{2}}{4a} \Rightarrow y-c+ \frac{b^{2}}{4a} = a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x +\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )  \Rightarrow \\ \\ \\\\\\ \mathbf{ y+\frac{b^{2}-4ac}{4a} = a\left( x + \frac{b}{2a}\right)^{2}}

Ricordiamo però che le coordinate del vertice sono:

V \left( x_{V};y_{V}\right) \Rightarrow V \left( -\frac{b}{2a};-\Delta\right) \Rightarrow V \left( -\frac{b}{2a};-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\right)

per cui possiamo riscrivere l’equazione nella forma:

y-y_{V} = a(x-x_{V})^{2}

Come volevasi dimostrare

Esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della parabola passante nel vertice V(1,1) e per il punto P(-2,3) e avente asse parallelo all’asse delle ordinate

Calcoliamo l’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice e del coefficiente a. Otteniamo:

y-y_{V} = a (x-x_{V})^{2} \Rightarrow y-1=a(x-1)^{2} \Rightarrow \mathbf{y=ax^{2}-2ax+2}

Sostituiamo all’equazione appena calcolata, le coordinate del punto P:

 y=ax^{2}-2ax+2 \Rightarrow  3=4a+4a+2 \Rightarrow \mathbf{a= \frac{1}{8}}

L’equazione della parabola è dunque:

 y=ax^{2}-2ax+2 \Rightarrow y=\frac{1}{8}x^{2}-2\frac{1}{8}x+2 \Rightarrow \mathbf{y=\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x+2}

Esempio 2

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse e avente vertice in V(0,1) e fuoco in F(2;1)

Calcoliamo l’equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice:

 x-x_{V} = a(y-y_{V})^{2} \Rightarrow x-0 = a(y-1)^{2} \Rightarrow  \mathbf{x= ay^{2}-2ay+1}

Adesso sappiamo che l’ascissa del fuoco in funzione dei coefficienti della formula generale della parabola con asse parallelo all’asse delle x è pari a:

 

 \frac{1-\Delta}{4a}= \frac{1-b^{2}+4ac}{4a} 

Ma nel nostro caso abbiamo che b=-2a e c=1. Sostituendo nella formula dell’ascissa abbiamo:

 \frac{1-b^{2}+4ac}{4a} = 2 \Rightarrow \frac{1-(-2a)^{2}+4a(1)}{4a} = 2 \Rightarrow \\ \frac{1+4a^{2}+4a}{4a} = 2 \Rightarrow 1+4a^{2}+4a = 8a \Rightarrow 4a^{2}-4a+1=0 \Rightarrow (2a-1)^{2} = 0 \Rightarrow \\ \mathbf{a=\frac{1}{2}} 

 

per cui l’equazione della parabola diventa:

 x= ay^{2}-2ay+1 \Rightarrow \mathbf{x=\frac{1}{2}y^{2}-y+1}
Equazione della parabola in funzione delle coordinate del vertice
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