In questo breve appunto tratteremo l’equazione della parabola in forma canonica. Prima di intraprendere la lettura di questo appunto di consigliamo di approfondire il concetto di parabola, la sua definizione, quella dei suoi elementi costituenti (vertice, fuoco e asse di simmetria), dell’equazione di una parabola e dei suoi coefficienti.
In particolare in questo appunto vedremo:
- Forma canonica dell’equazione di una parabola
- Come trasformare una parabola in forma canonica
- Esempio di trasformazione
Forma canonica dell’equazione di una parabola
L’equazione di una parabola si dice espressa in forma canonica se il suo asse di simmetria coincide con uno degli assi cartesiani ed il suo vertice coincide con l’origine degli assi. Seconda questa definizione quindi, tutte le parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle y del tipo:
sono parabole espresse in forma canonica. Ricordiamo infatti, che le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle y sono date da:
Da queste relazioni è facile dimostrare che xV = 0 se il coefficiente b=0 e yV = 0 se sia b che c sono nulli (a non può essere nullo per poter parlare di parabola). Allo stesso modo, per le parabole con asse di simmetria parallelo all’asse delle x, la forma:
esprime una generica parabola in forma canonica.
Come trasformare una parabola in forma canonica
sono parabole espresse in forma canonica. Adesso consideriamo una generica parabola di equazione:
per ridurla in forma canonica occorre trovare un nuovo sistema di assi cartesiani che indicheremo con X e Y tale che l’equazione della parabola diventi:
Il nuovo sistema di assi cartesiani si ottiene dall’originale attraverso un movimento di traslazione. Il che vuol dire che il nuovo sistema di assi cartesiani si ottiene dall’originale mediante un movimento congiunto di tutti i punti in una medesima direzione (espressa in figura dal vettore in blu):
Ma quanto deve essere spostato il nuovo sistema rispetto al precedente per poter ottenere l’equazione in forma canonica? Poniamo la relazione tra le variabili dei due sistemi:
il che significa che da qualsiasi coppia di coordinate (X,Y) del nuovo sistema di assi cartesiani, è possibile calcolare la coppia di coordinate del vecchio sistema. Banalmente, l’origine del nuovo sistema di assi cartesiani O(X=0, Y=0), si troverà nel punto indicato nel vecchio sistema di assi cartesiani A(k,t). Sostituiamo i valori di x e y all’equazione della parabola iniziale. Otteniamo:
da cui si ricava un’equazione generale per la parabola nel nuovo sistema di assi del tipo:
con:
ma la forma canonica che vogliamo ottenere è tale che B=0 e C=0. Per cui dalla relazione ottenuta per B otteniamo:
sostituendo il valore di k nella relazione ottenuta per C, e ponendo C=0 abbiamo:
con:
ma i valori di k e t vedremo nel seguito che corrispondono proprio alle coordinate del vertice della parabola nel sistema di coordinate x e y. Quindi avremo:
per cui, per sapere come i valori delle coordinate di un qualsiasi punto del vecchio sistema si trasformano nel nuovo, possiamo usare la relazione:
ovvero per ciascun punto del vecchio sistema occorre sottrarre le coordinate del vertice della parabola. Relazioni simili si ottengono se la parabola ha un asse di simmetria parallelo rispetto all’asse delle x. Ricorda però che in questo caso le formule delle coordinate del vertice si invertono!
Esempio
In questo appunto vediamo un esempio in cui viene richiesto di riferire una parabola ed una retta rispetto al piano cartesiano in cui è espressa la parabola in forma canonica. Se per la parabola non occorrono calcoli (mantieni il coefficiente a), per la retta o qualsiasi altra funzione, non è così banale. Vediamo l’esempio:
In un piano cartesiano x,y abbiamo una parabola di equazione y=x2 -2x+2 ed una retta di equazione y=3x-4. Individuare il piano X,Y per il quale la parabola può essere espressa in forma canonica e trasformare l’equazione della retta rispetto a tale piano.
Si può calcolare che le coordinate del vertice della parabola sono:
xV=1
yV= 1
Ne risulta che il piano cartesiano in cui la parabola può essere espressa in forma canonica ed il vecchio piano cartesiano saranno in relazione tra loro secondo le equazioni:
nel nuovo piano cartesiano X,Y la parabola avrà quindi equazione Y=X2. Non è necessario applicare quindi la trasformazione per eseguire il calcolo, ma per esercizio lo facciamo:
Per la retta invece non possiamo avanzare alcuna ipotesi circa la nuova equazione. Ci aspettiamo che il coefficiente angolare non cambi (la pendenza della retta non varia con una traslazione) e che varierà solo l’intercetta rispetto al nuovo sistema. Il calcolo quindi è necessario.
