In questo appunto vediamo in cosa consiste l’equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale e come riconoscerla. Per comprendere bene il contenuto di questo appunto consigliamo di approfondire l’equazione di una parabola nel caso più comunemente affrontato in cui l’asse di simmetria sia verticale. In questo appunto vedremo:

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Definizione della parabola come luogo geometrico di punti

La parabola è una conica avente una precisa definizione geometrica:

La parabola è il luogo geometrico di punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice

Nel piano cartesiano le parabole sono in genere rappresentate con il proprio asse parallelo all’asse delle x o all’asse dell y. In generale però, la parabola può avere come asse qualsiasi retta del piano cartesiano. Il motivo per il quale si sceglie di rappresentare le parabole con l’asse in posizione orizzontale e verticale sta nella semplificazione dell’equazione che descrive la parabola stessa. Vediamo graficamente in cosa consiste la definizione per il caso di una parabola con asse verticale:

 

Nella figura sopra, F è il fuoco della parabola, P un generico punto della parabola ed H è la proiezione del generico punto P della parabola rispetto alla retta direttrice di equazione y=k. Per interpretare la definizione della parabola come luogo geometrico di punti data sopra, allora deve accadere che:

\overline{PF}=\overline{PH}

utilizzando questa uguaglianza ed esprimendo PF come distanza fra due punti e PH come distanza di un punto da una retta, è possibile dimostrare l’equazione di una parabola. Abbiamo svolto i calcoli nel seguente appunto.

Equazione di una parabola con asse verticale

Quando la parabola ha un asse verticale come nel caso della figura sopra riportata, si può dimostrare che l’equazione della parabola ha generica equazione del tipo:

y=ax^{2}+bx+c

dove a, b e c sono detti coefficienti della parabola. Il coefficiente a deve essere forzatamente diverso da 0, altrimenti l’equazione rappresenterebbe una generica retta. I coefficienti hanno un impatto combinato sulle caratteristiche della parabola e non è possibile definire con precisione cosa influenzi ciascun coefficiente. Abbiamo comunque provato a fare una sintesi in questo appunto. Il segno del coefficiente a, influenza il verso della concavità della parabola. se a>0 allora la concavità sarà verso l’alto, se a<0, la concavità sarà verso il basso.

parabola con asse verticale

Ricordiamo infine che in una parabola con asse verticale le coordinate del vertice, del fuoco e l’equazione della direttrice sono rispettivamente:

V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right) \\\,\\ F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta}{4a}\right) \\\,\\ y=\frac{-1-\Delta}{4a}

vediamo nel prossimo paragrafo come cambiano le cose per una parabola con asse orizzontale.

Equazione di una parabola con asse orizzontale

Quando abbiamo a che fare con una parabola con asse orizzontale, l’equazione diventa del tipo:

x=ay^{2}+by+c

dunque una equazione di secondo grado in y anziché in x. E’ questa caratteristica che consente di riconoscere facilmente una parabola avente l’asse orizzontale. Il segno del coefficiente a identifica ancora il verso della concavità della parabola:

    • a>0 la concavità è verso destra
    • a<0 la concavità è verso sinistra
parabola con asse orizzontale

Il coefficiente a non può dunque essere pari a zero. I coefficienti b e c invece possono essere nulli. In particolare:

  • se b=0 l’asse della parabola coincide con l’asse delle x e fuoco e vertice saranno qui posizionati
  • se c=0 la parabola passa per l’origine degli assi

Le coordinate di fuoco e vertice e l’equazione della direttrice così diventano:

 

V\left(-\frac{\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right) \\\,\\ F\left(\frac{1-\Delta}{4a};-\frac{b}{2a}\right) \\\,\\ x=\frac{-1-\Delta}{4a}

 

Equazione della parabola con asse di simmetria orizzontale