Equazione di una circonferenza

In questo appunto vediamo l’equazione di una circonferenza in un piano cartesiano. In particolare vedremo:

• Dimostrazione dell’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi
• Caso di una circonferenza con centro in un punto generico del piano cartesiano
• Condizioni necessaria affinché un polinomio di secondo grado in x e in y rappresenti una circonferenza
• Come risolvere gli esercizi
• Esempi di esercizi

Dimostrazione dell’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi

Dimostriamo in questo paragrafo l’equazione di una circonferenza in un piano cartesiano partendo dal caso più semplice di una circonferenza avente il centro nell’origine O del piano cartesiano. Chiamiamo r il raggio della circonferenza e indichiamo con P un generico punto appartenente alla circonferenza e avente coordinate generiche P(x,y).

Poiché il raggio altro non è che la distanza del punto P al punto C, utilizziamo la formula per il calcolo della distanza tra due punti:

\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}

nel nostro caso x₁ e y₁ sono le generiche coordinate del punto P x e y. Le altre due sono invece le coordinate del punto C ed in questo caso sono entrambe 0. Sostituiamo questi valori alla formula della distanza tra due punti e imponiamola uguale al raggio r. Con quest’ultima operazione utilizziamo la definizione di circonferenza come luogo geometrico di punti. Otteniamo dunque:

\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}} = r

elevando entrambi i membri otteniamo:

\mathbf{x^{2} + y^{2} =r^{2}}

che rappresenta l’equazione generica di una circonferenza con centro nell’origine degli assi. Ad esempio la circonferenza che ha centro nell’origine degli assi e raggio pari a 2 avrà equazione x²+y²=4 .

Caso di una circonferenza con centro in un punto generico del piano cartesiano

Cosa succede se la circonferenza con raggio due non avesse centro nell’origine ma nel punto C(-4;5)? Quale equazione rappresenterebbe questa curva? Risolviamo questa domanda applicando una trasformazione geometrica detta traslazione

Il vettore della traslazione è quella che associa all’origine degli assi il centro C(-4;5). Tale vettore è:

\overrightarrow{v}(-4,5)

le equazioni associate alla traslazione saranno:

\left\{\begin{matrix}
x' = x-4\\ 
y' = y+5
\end{matrix}\right.

ricaviamo dunque i valori di x e y:

\left\{\begin{matrix}
x = x'+4\\ 
y = y'-5
\end{matrix}\right.

e li sostituiamo nell’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e svolgendo i calcoli:

x^{2}+y^{2} = 4 \Rightarrow  (x'+4)^{2}+(y'-5)^{2} = 4\\\\ \Rightarrow \\\\\mathbf{ x'^{2}+y'^{2}+8x'-10y'+41=0}

Abbiamo ottenuto l’equazione di una circonferenza con centro in C(-4,5) e raggio pari a 2. In generale, per un generico centro in C(p,q) ed un raggio r abbiamo che:

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}

sviluppandola si avrà:

x^{2}+y^{2}-2px-2qy+p^{2}+q^{2}-r^{2}=0

Procedendo con le seguenti sostituzioni:

a=-2p \\ b=-2q \\c=p^{2}+q^{2}-r^{2}

si ottiene l’equazione della circonferenze in forma canonica:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

L’equazione ottenuta è un’equazione di secondo grado in x e in y priva del termine misto xy.

Condizioni affinché un’equazione di secondo grado in x e y rappresenti una circonferenza

In questo paragrafo ci poniamo il problema opposto a quello risolto con la dimostrazione. Data un’equazione di secondo grado in x e y e priva del termine misto xy (prima condizione), si può sempre dire che questa rappresenta una circonferenza? Per farlo vediamo partiamo dalla generica equazione:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0

dove i termini al quadrato presentano entrambi i coefficienti pari a 1. Se così non fosse la condizione che l’equazione continui a rappresentare una circonferenza è che i due coefficienti siano uguali tra loro (seconda condizione). Adesso organizziamo i termini in maniera da ottenere i quadrati di due binomi. Il termine ax rappresenta dunque il doppio prodotto del monomio x per il coefficiente a/2. Possiamo dunque dire che:

x^{2} + ax +\frac{a^{2}}{4} = \left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}

e che:

y^{2} + by +\frac{b^{2}}{4} = \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}

aggiungiamo a questo punto all’equazione di secondo grado i termini a/4 e b/4. Otteniamo:

x^{2}+y^{2}+ax+by+c+\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}=0

identificando i quadrati dei binomi sopra riportati otteniamo:

\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}+c-\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{2}}{4}=0

che possiamo riscrivere nella forma:

\left(x+\frac{a}{2} \right)^{2}+ \left(y+\frac{b}{2} \right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c

che rappresenta l’equazione di una circonferenza ottenuta nel paragrafo precedente nella forma:

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}

otteniamo dunque che:

r^{2} = \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c \Rightarrow \mathbf{ r=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c }}

affinché il raggio esista, l’argomento della radice deve essere positivo. Ciò significa che:

\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-c  \geq  0 

e quindi (terza condizione):

a^{2}+b^{2}-4c\geq 0

Come risolvere gli esercizi

In questo appunto vediamo come risolvere due tipologie di esercizi:

1. calcolare l’equazione di una circonferenza note le coordinate del suo centro ed il raggio
2. verificare che un polinomio di secondo grado in x e y rappresenti una circonferenza.

Per quanto riguarda la prima tipologia di esercizi, date le coordinate del centro C(p,q) ed il raggio r, per calcolare l’equazione della circonferenza basterà applicare la definizione della stessa:

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}

e sviluppare i termini al quadrato.

Per quanto riguarda invece la seconda tipologia di esercizi bisogna ricordare le condizioni che fanno di un polinomio di secondo grado in x e y l’equazione di una circonferenza. Data un’equazione con un generico polinomio di secondo grado in x e y:

dx^{2}+fy^{2}+gxy+ax+by+c=0

le condizioni necessarie ma non sufficienti da verificare devono essere:

• d=f. I coefficienti dei termini al quadrato devono essere identici. In questo caso sarà possibile riscrivere l’equazione dividendo tutto per d
• Il coefficiente del termine misto g deve essere nullo. g=0

Verificate queste due condizioni, possiamo riscrivere l’equazione dividendo tutto per d:

x^{2}+y^{2}+a'x+b'y+c'=0

dove:

a' = \frac{a}{d} \\ \, \\
b' = \frac{b}{d} \\ \, \\
c' = \frac{c}{d}  

Infine deve verificarsi la terza e ultima condizione da verificare è:

\mathbf{a'^{2}+b'^{2}-4c'\geq 0}

Le tre condizioni elencate sono necessarie ma non sufficienti. Nel senso che devono essere soddisfatte tutte e tre affinché l’equazione rappresenti una circonferenza.

Esempi di esercizi

Esempio 1

Calcolare l’equazione della circonferenza avente centro in C(2,3) e raggio r=3.

Applichiamo la definizione di circonferenza. La distanza di un qualsiasi punto appartenente alla circonferenza deve essere distante dal centro r:

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2} \\ \Rightarrow \\(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=3^{2}

sviluppiamo i quadrati e riorganizziamo:

x^{2} -4x+4+y^{2}-6y+9=9 \\ \Rightarrow \\\mathbf{x^{2}+y^{2}-4x-6y+4=0}

Esempio 2

Calcolare l’equazione della circonferenza avente centro in C(-2,1) e raggio r=1/2

(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2} \\ \Rightarrow \\(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{2}^{2}

Sviluppiamo i quadrati e riorganizziamo:

x^{2} + 4x +4 +y^{2}-2y+1=\frac{1}{4} \\\Rightarrow \,\\ \mathbf{x^{2}+y^{2} + 4x-2y+\frac{19}{4} =0}

L’equazione potrebbe anche essere riscritta nella forma:

\mathbf{4x^{2}+4y^{2} +16x-8y+19=0}

Esempio 3

Verificare che le seguenti equazioni rappresentino una circonferenza:

• x²+y²-4x-2y-4=0 
• 2x² + 3y² +4x-3=0
• 2x² + 2y² +3xy+4x-3 =0
• x² + y² +2x+2y+9=0
• 2x² + 2y² -2x+6y-3=0

Eq 1: x²+y²-4x-2y-4=0 

Le prime due condizioni sono soddisfatte: i coefficienti dei termini al quadrato sono uguali (entrambi uguali ad 1) e manca il termine misto xy. Verifichiamo adesso la condizione:

a^{2}+b^{2}-4c \geq 0 \\ \, \Rightarrow \\ 16+4-16 \geq 0 \\ \, \Rightarrow \\ 4 \geq 0

poiché 4 è maggiore di 0, la condizione è soddisfatta. La verifica ha dato esito positivo

Eq 2: 2x² + 3y² +4x-3=0

L’equazione non può rappresentare una circonferenza perché i coefficienti dei termini al quadrato non sono uguali!

Eq 3: 2x² + 2y² +3xy+4x-3 =0

L’equazione presenta il termine misto xy. Per cui non può rappresentare una circonferenza

Eq 4: x² + y² +2x+2y+9=0

L’equazione presenta entrambi i termini al quadrato con lo stesso coefficiente. Il termine misto xy ha coefficiente nullo. Verifichiamo l’ultima condizione:

a^{2}+b^{2}-4c \geq 0 \\ \, \Rightarrow \, \\4+4-36 \geq 0 \\ \, \Rightarrow \, \\-28 \geq 0

-28 non è maggiore di zero. L’equazione non può rappresentare una circonferenza

Eq 5: 2x² + 2y² -2x+6y-3=0

I coefficienti dei termini al quadrato sono uguali e l’equazione è priva del termine misto xy. Procediamo con l’ultima condizione. Per farlo dividiamo entrambi i membri dell’equazione per 2:

x^{2}+y^{2}-x+3y-\frac{3}{2}=0

Verifichiamo adesso la condizione:

a^{2}+b^{2}-4c \geq 0 \\ \, \Rightarrow \, \\1+9-6 \geq 0 \\ \, \Rightarrow \, \\4\geq 0

La verifica ha dato esito positivo!